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2025-2026学年陕西省宝鸡市陈仓区天王高级中学等校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列说法正确的是（　　）
A. 若，则 B. 零向量的长度是0
C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是长度相等的向量
2.如图，四边形O'A'B'C'是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形OABC的直观图，其中O′A′∥B′C′，O′A′=2，O′C′=1，B′C′=1.则四边形OABC的面积是（　　）
A. 3 B. C. 6 D. 4
3.i是虚数单位，a,b∈R，则b=0是a+bi为实数的（　　）条件.
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
4.已知是两个不共线的向量，若，，，则A，B，C，D中共线的三点是（　　）
A. A，C，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，B，D
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，c=2，A=60°，则角C等于（　　）
A. 30° B. 60° C. 30°或60° D. 60°或120°
6.在△ABC中，，若，则x-y=（　　）
A. B. C. 1 D. -1
7.△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则△ABC的形状是( )
A. 正三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
8.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（　　）
A. 2π B. 4π C. 6π D. 8π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知i为虚数单位，复数z1=1-2i,z2=2-i,则（　　）
A. z1的共轭复数为-1+2i B. |z1|=|z2|
C. z1+z2为实数 D. z1 z2的虚部为-5
10.下列命题中不正确的是（　　）
A. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
B. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
C. 以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥
D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
11.已知向量，则下列说法正确的是（　　）
A. 若，则ts=2
B. 若，则t=2s
C. 若，则|t|=2|s|
D. 若t=s=1，则在上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一物体在力的作用下，由点A（1，9）移动到点B（8，5），已知=（2，3），则对该物体所做的功为 .
13.已知i是虚数单位，复数z满足z（1+i）=2，则|z|= .
14.如图所示，已知|，∠AOC=30°，用与表示，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，，且与夹角为60°，求：
（1）求；
（2）与的夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
已知复数z=（2m2-3m-2）+（m2-3m+2）i,其中i为虚数单位，m∈R.
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围.
17.(本小题15分)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知b=3，.
（1）求cosA；
（2）若△ABC的面积为，求a.
18.(本小题17分)
已知在△ABC中，N为AB中点，，，.
（1）用和表示；
（2）若∠BAC=60°，求；
（3）设和的夹角为θ，若，求证：CN⊥AB.
19.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且c=2bcosA+b.
（1）证明：A=2B.
（2）若，A的角平分线交BC于D，且AD=2，求a.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】BCD
11.【答案】BCD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】2+
15.【答案】
16.【答案】解：（1）若z是纯虚数，
则，解得m=-；
（2）z在复平面内对应的点在第二象限，
则，解得，
故m的取值范围为（-，1）．
17.【答案】 3
18.【答案】 ∵ N为AB中点，
∴，
∴．
∵与的夹角为θ，，
∴．
计算得：
=，
∴，即CN⊥AB
19.【答案】证明：由正弦定理得sinC=2sinBcosA+sinB，
得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA+sinB，
得sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=sinB．
∵A∈（0，π），B∈（0，π），∴A-B=B，得A=2B a=3
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