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2025-2026学年山东省烟台市爱华高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列说法正确的是（　　）
A. 若||=||，则=或=- B. 若 = ，则=
C. 若=，则 = D. 若 ＞0，则，夹角为锐角
2.若复数z满足i （z+2）=3-i,则=（　　）
A. -3-3i B. -3+3i C. 3-3i D. 3+3i
3.在高为6的三棱柱ABC-A1B1C1中，△A'B'C'是底面△ABC的水平放置的直观图，如图，O'A'=O'B'=2，O′C′=，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为（　　）
A. B. C. D.
4.若复数z满足|z-1+2i|=3，则|z|的最大值为（　　）.
A. B. C. D.
5.若||=1，=（1，），且在上的投影向量为，则与的夹角为（　　）
A. B. C. D.
6.在三角形ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，且acosB+（2c-b）cosA=c,则三角形ABC的形状为（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（　　）
A. B. C. D.
8.在锐角三角形ABC中，若c2=a（a+b），则的取值范围为（　　）
A. （1，） B. （1，） C. （，） D. （，）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z1，z2是关于x的方程x2-bx+4=0（|b|＜4，b∈R）的两根，则（　　）
A. z1z2=4 B.
C. |z1|=|z2|=2 D. |z1+z2|=|z1|+|z2|
10.已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若A＞B，则sinA＞sinB
B. 若，则△ABC为钝角三角形
C. 若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB
D. 若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC为锐角三角形
11.陶艺是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式，某校陶艺社同学制作了一个实心圆锥PO，若该圆锥底面直径和高均为2，现过PO中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱，得到工艺品如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A. 剩下几何体的表面积为
B. 剩下几何体的体积为
C. 挖去圆柱体的外接球表面积为2π
D. 若将挖去的圆柱制成一个实心球体艺术品，若不考虑体积损耗，则该球体的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，若||=2，|2-|=2，则||= .
13.在直三棱柱ABC-A'B'C'中，，，BC=AA′=1，则直三棱柱ABC-A'B'C'外接球的体积为 ，在三棱锥B'-A'BC中，底面A′BC上的高长为 .
14.南方由于雨水较多，三角形斜屋顶建筑在江浙一带随处可见.如图是一三角形木屋的建筑示意图.三角形斜屋顶PMN在地面的投影为△ABC，且∠ABC=45°，∠ACB=60°.在M点测得N点的仰角为15°，在N点测得P点的仰角为30°，M点到地面的距离为3m,N点到地面的距离为4m,则P点到地面的距离为 m.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集.
（1）若复数，求|z|；
（2）在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中O是原点，求向量对应的复数z.
16.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，2），B（2，0），.
（1）若点A，B，P不能构成三角形，求；
（2）当取得最小值时，求△ABP的面积.
17.(本小题15分)
如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，AB=AD=4，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，PA=5，圆台上底面的半径为1.
（1）求该圆台的表面积；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积的最大值.
18.(本小题17分)
请在①向量=（cosC，c-2a），=（b,cosB），且⊥；②（a2-b2）sinA=（b2-c2）sinC这两个条件中任选一个，填入横线上并解答.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足_____.
（1）求B的大小；
（2）若b=2，求△ABC周长的取值范围；
（3）若AC边上的高为1，求△ABC面积的最小值.
19.(本小题17分)
近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐.小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，BC临街，长16米，∠B=75°，在BC上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路GE，GF，小路终点E、F在墙AB、CD上，且∠BGE=∠CGF=60°，GEF为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面EF用防腐木铺设.
（1）GE+GF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值.（最终结果保留整数）（参考数据：）
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】ABC
11.【答案】BCD
12.【答案】3
13.【答案】

14.【答案】5+
15.【答案】|z|= -i
16.【答案】
17.【答案】解：（1），所以，
在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cos∠BAD=48，
得，
由正弦定理可知外接圆直径，
所以下底面半径R=4，上底面半径r=1，
圆台侧面积S侧=π（r+R）l=25π，
，
，
所以圆台表面积S表=42π．
（2）在四边形ABCD中，，
在△BCD中，由余弦定理BD2=BC2+CD2-2BC CD cos∠BCD，
得BD2=BC2+CD2-BC CD≥BC CD，
所以BC CD≤48，
当且仅当时“=”成立，
所以△BCD的面积，
底面ABCD面积的最大值为，
在轴截面PAOO'中，由勾股定理可得h=4，
所以四棱锥P-ABCD的体积的最大值为．
18.【答案】；
（4，6]；
．
19.【答案】为定值，8（1+）米．
8742元．
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