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2025-2026学年内蒙古鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若复数Z=，则Z的虚部为（　　）
A. 1 B. -1 C. i D. -i
2.已知向量=（0，1），=（2，x），若⊥（），则x=（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3.已知在边长为2的等边△ABC中，向量，满足，，则||=（　　）
A. 2 B. C. D. 3
4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a=2，，A=30°，则B等于（　　）
A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 60°或 135°
5.在△ABC中，已知B=120°，AC=，AB=2，则BC=（　　）
A. 1 B. C. D. 3
6.如图，在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于点M，N.设，则2m+n的值为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7.在平行四边形ABCD中，.若AP∥MN，则x=（　　）
A. B. C. D.
8.在△ABC中，角A，B，C的边分别为a,b,c,知B=60°，b=4，则下列判断中错误的是（　　）
A. 若，则 B. 若该三角形有两解
C. △ABC周长的最小值为12 D. △ABC面积的最大值
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知平面向量=（1，3），=（-2，1），则（　　）
A. ||= B. （2-）⊥
C. 与的夹角为钝角 D. 在上的投影向量的模为
10.下列叙述正确的是（　　）
A. 已知直线l和平面α，若有两个不同点A，B，满足点A∈l,点B∈l且A∈α，B∈α，则l α
B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C. 如果直线a∥b,则a平行于经过b的任何平面
D. 已知α∥β，m α，B∈β，则在β内过点B存在唯一一条与m平行的直线
11.下列说法中正确的是（　　）
A. 在△ABC中，，，，若，则△ABC为锐角三角形
B. 已知点O是平面上的一个定点，并且A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心
C. 已知，，与的夹角为锐角，实数λ的取值范围是
D. 在△ABC中，若，则△AOC与△AOB的面积之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为______.
13.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ m．

14.在△ABC中，点D是边BC上异于端点的一点，若，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量.
（1）若，求实数m的值；
（2）若与的夹角为，求的值.
16.(本小题15分)
如图，在平面四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若AB=CD=2，且_______，求线段AD的长．
从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解．
①△ABC的面积S=2；
②．
17.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G，E，F，P分别为棱AB，D1C1，B1C1，AA1的中点，点M是棱A1D1上的一点，且D1M=3A1M.
（1）求证：D1G∥平面DBFE；
（2）已知点N是棱A1B1上的一点，且B1N=3A1N，求证：平面PMN∥平面DBFE.
18.(本小题17分)
如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，.
（1）用，表示；
（2）求BF：FD的值；
（3）若点G在线段CD上运动，设，求的取值范围.
19.(本小题17分)
记ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=ac,点D在边AC上, BDABC=aC.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求ABC.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】AD
10.【答案】AD
11.【答案】BD
12.【答案】
13.【答案】100
14.【答案】
15.【答案】m=2
16.【答案】解：（Ⅰ）∵，
∴，
∴，
∴，
∵0＜B＜π，
∴sinB≠0，
∴，
∴．
（Ⅱ）选①，∵△ABC的面积S=2，
∴=2，
即，
∴，
∴，
又∵AC平分∠BAD，
∴=，
∴AD=4．
选②，∵，在△ABC中，由余弦定理可得，
解得BC=，
由正弦定理可得，
∴，
∵AC平分∠BAD，
∴，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且∠ADC=90°，
∴AD=4．
17.【答案】连接D1C、GC分别交DE、DB于点H、O，连接HO，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1E∥DC且，
则，，
所以，所以HO∥D1G，
又HO 平面DBFE，D1G 平面DBFE，
所以D1G∥平面DBFE 连接D1B1，因为点E，F分别为棱D1C1，B1C1的中点，则EF∥D1B1，
因为D1M=3A1M，B1N=3A1N，
则，
可得MN∥D1B1，则MN∥EF，
且MN 平面DBFE，EF 平面DBFE，
则MN∥平面DBFE，
取A1D1的中点Q，连接AQ，QF，
因为P，M分别为AA1，A1Q的中点，Q，F分别为A1D1，B1C1的中点，
则QF∥A1B1，PM∥AQ，QF=A1B1，
且AB∥A1B1，AB=A1B1，则QF∥AB，QF=AB，
可知ABFQ为平行四边形，则AQ∥BF，可得PM∥BF，
且PM 平面DBFE，BF 平面DBFE，
则PM∥平面DBFE，
又因为MN∩PM=M，MN，PM 平面PMN，
所以平面PMN∥平面DBFE
18.【答案】 BF：FD=2：3
19.【答案】解：（1）证明：由正弦定理知，，
∴b=2Rsin∠ABC，c=2Rsin∠ACB，
∵b2=ac，
∴b 2Rsin∠ABC=a 2Rsin∠ACB，
即bsin∠ABC=asinC，
∵BDsin∠ABC=asinC．
∴BD=b；
（2）由（1）知BD=b，
∵AD=2DC，
∴AD=，DC=，
在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BDA===，
在△CBD中，由余弦定理知，cos∠BDC===，
∵∠BDA+∠BDC=π，
∴cos∠BDA+cos∠BDC=0，
即=0，
得11b2=3c2+6a2，
∵b2=ac，
∴3c2-11ac+6a2=0，
∴c=3a或c=，
在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC==，
当c=3a时，cos∠ABC=＞1（舍）；
当c=时，cos∠ABC=；
综上所述，cos∠ABC=．
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