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2025-2026学年江苏省扬州市高邮市高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设x∈R，向量，且，则x=（　　）
A. 5 B. 1 C. -1 D. -5
2.若，则n的值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.已知函数f（x）=sinx,则=（　　）
A. 1 B. -1 C. D. -2
4.已知，若不能构成空间的一个基底，则m=（　　）
A. -7 B. 1 C. 5 D. 7
5.有五名同学排成一排，其中甲、乙两人不能在一起的排法数是（　　）
A. 120 B. 72 C. 36 D. 12
6.设点P在曲线y=xlnx上，点Q在直线y=x-4上，则|PQ|的最小值为（　　）
A. B. C. D.
7.如图，正方体ABCD-EFGH的棱长为1，若P∈平面BDE，且满足，则点P到直线AB的距离为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.已知f（x）为定义在上的奇函数，f′（x）为其导函数，当时，f′（x）tanx＜f（x），则关于x的不等式的解集为（　　）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知m,n为正整数，且m＜n,则下列等式正确的是（　　）
A. B.
C. D.
10.已知函数f（x）=x3-3x2+kex，则（　　）
A. 当k=0时，f（x）的单调减区间为（0，2）
B. 当k=0时，对任意x∈R，都有f（x）+f（2-x）=0
C. 当k=1时，g（x）=f（x）+3x2在[0，1]上的值域为[1，e+1]
D. 若h（x）=f（x）-x3有三个不同的零点，则
11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点E为四边形ABCD内部（不含边界）的一个动点，且CE⊥平面DD1E，则下列说法正确的是（　　）
A. 异面直线BD1与DA所成角的余弦值为
B. 点E到棱CD中点的距离为定值
C. D1E与平面ABCD所成角的正切值为4时，
D. 的最小值为14
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则在上的投影向量为 （用坐标表示）.
13.已知函数f（x）=m2lnx+x2-3mx在x=1处取得极大值，则实数m的值为 .
14.若存在x1＞1，x2＞1使得成立，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于2，∠BAA1=∠CAA1=60°，M为BC的中点，N为线段A1B1上靠近B1的三等分点.
（1）设，试用向量表示；
（2）求线段MN的长度.
16.(本小题15分)
某植物园大门有编号1 5共5个检票口，现有一行6人需进园游玩.
（1）若每人随机选择一个检票口进园，则6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）
（2）若6人中有一老人需由家人A陪同进园，所有人随机选择检票口，且每个检票口均有人选择，则6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）
（3）若6人均在1号检票口排队依次进园，其中两个小孩既不能排在队首，也不能排在队尾，则6人共有多少种不同的进园方法？（用数字作答）
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=x4-3x2+2ax+1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=ax+b（a,b∈R）.
（1）求实数a,b的值；
（2）函数f（x）的导函数为f′（x），求函数f′（x）在区间[0，m]（m＞0）上的最小值.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面.
（1）求证：PA⊥DC；
（2）已知点E为线段PB上的动点（不与P，B重合），
①当点E为线段PB的中点时，求直线CE与平面PAD所成角的余弦值；
②当平面PAD与平面AEC的夹角最小时，试确定点E的位置.
19.(本小题17分)
已知f（x）=ex-ax-1.
（1）若函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）讨论函数f（x）是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；
（3）当时，求证：2x2-sinx≤xex.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】2．
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】15625 120 288
17.【答案】a=2，b=1 当时，f′（x）的最小值为4m3-6m+4；当时，f′（x）的最小值为
18.【答案】证明：∵PD⊥平面ABCD，AD，DC 平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
∴PD⊥AD，PD⊥CD，AD⊥CD，
如图，以为正交基底建立空间直角坐标系D-xyz，
则，
∴，
∴，∴PA⊥DC ①；②E为PB的中点
19.【答案】（-∞，1] 当a≤0时，f（x）无极值点；当a＞0时，函数f（x）的极小值点为x=lna，无极大值点 法一：由（2）知，当a=2时，，则f（x）≥f（ln2），
即ex-2x-1≥eln2-2ln2-1，即ex≥2x+2-2ln2＞0，，
所以要证2x2-sinx≤xex，只要证2x2-sinx≤x（2x+2-2ln2），
也即证（2-2ln2）x+sinx≥0，设，
则h′（x）=2-2ln2+cosx＞0在区间恒成立，
所以h（x）在区间上为增函数，则h（x）≥h（0）=0，故原不等式成立．
法二：当x=0时，2x2-sinx=0=xex，命题成立；当时，要证2x2-sinx≤xex，
只要证，也即证，
由（2）知，当a=2时，，
则f（x）≥f（ln2），即ex-2x-1≥eln2-2ln2-1，得ex-2x≥2-2ln2，
也即证，则，
令h（x）=xcosx-sinx，当时，
可得h′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx＜0恒成立，
则h（x）在区间上为减函数，所以h（x）＜h（0）=0，即g′（x）＜0，
所以g（x）在区间上为减函数，
则，故原不等式成立
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