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2025-2026学年江苏省无锡市第三高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数z=2i（4-3i）的虚部为（　　）
A. 6 B. -6 C. 8 D. -8
2.在空间中，若直线l∥平面α，直线m 平面α，则l与m（　　）
A. 相交 B. 平行
C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，c=2，A=60°，则角C等于（　　）
A. 30° B. 60° C. 30°或60° D. 60°或120°
4.若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆面面积为（　　）
A. 4π B. C. 2π D. π
5.如图，三棱锥O-ABC中，G为△ABC的重心，M是OC的中点，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
6.已知平面向量，，则向量-在上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
7.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则它的原图形OABC的周长是（　　）
A. 4 B. 6 C. 2+2 D. 8
8.无锡市第三高级中学东门广场中央有一座唐文治校长的雕塑（如图1），高一数学兴趣小组以“丈量先贤风骨，传承文治精神”为主题，对雕塑的高度进行实地测量，旨在互助协作中，体悟“诚弘勤毅”校训的内涵.他们是这样完成测量的：在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）.已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC=6米，AB=3 米，则唐文治先生雕塑的高度OP=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（　　）
A. （a2+1）i（a∈R）是纯虚数
B. 若复数z1＞z2，则z1，z2∈R
C. 若，则z1=z2=0
D. 若|z-2i+3|=2，则|z|的最大值为
10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中，正确的命题是（　　）
A. 若cos2A+sin2B+sin2C＜1，则△ABC为钝角三角形
B. 当a=5，b=7，A=60°时，满足条件的三角形共有1个
C. 若sinA：sinB：sinC=3：5：7，则这个三角形的最大角是150°
D. 若，，，动点D在△ABC所在平面内且，则动点D的轨迹的长度为
11.如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=OC=2，则下列结论正确的是（　　）
A. 圆锥SO的侧面积为
B. 三棱锥S-ABC体积的最大值为
C. ∠SAB的取值范围是
D. 若，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则圆台的侧面面积是 .
13.已知向量=（1，2），=（2-λ，2λ），若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为 .
14.在△OAB中，，点P是线段OA上的动点，则的最小值为 ；当取得最小值时，sin∠PBA= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=（m2-m）+（m-3）i,m∈R（i为虚数单位）.
（1）当m=2时，求；
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围.
16.(本小题15分)
已知向量.
（1）若，求；
（2）若向量∥，求与夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD-A′B′C′D中，M，N分别是AB，BC的中点.
（1）求证：MN∥平面A′C′B；
（2）若在棱DD′上有一点P，满足BD′∥平面PMN，请你求出的值.
18.(本小题17分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，.
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b,c；
（3）若，求b+c的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，设Ox,Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，，，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对[x,y]叫做在斜坐标系Oxy中的斜坐标.
（1）设m∈R，若，，，，求m的值；
（2）若，，，求在上的投影的“斜坐标”；
（3）若，，，若，求的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
12.【答案】54π
13.【答案】（-）∪（1，+∞）
14.【答案】

15.【答案】 （0，1）
16.【答案】解：（1）根据题意，向量，
则-=（-1，2-x），
若，则 （-）=-1+2（2-x）=3-2x=0，
解可得x=，
则=（2，），故||==；
（2）根据题意，设与夹角为θ，
若向量=（-3，-2），则+=（-1，x-2），
若∥（+），则1×（x-2）=2×（-1），即x-2=-2，解可得x=0，
则=（2，0），
故cosθ===，
即与夹角的余弦值为．
17.【答案】因为M，N分别是AB，BC的中点，所以MN∥AC．
因为AC 平面ACC′A′，而MN不在平面ACC′A′内，
所以MN∥平面ACC′A′
18.【答案】 b=2，c=2
19.【答案】5
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