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2025-2026学年江苏省宿迁市沭阳县高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.计算：=（　　）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
2.已知空间向量，若共面，则实数m的值为（　　）
A. 0 B. -1 C. 1 D. ±1
3.已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X＞2）=0.2，则P（0＜X≤1）=（　　）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
4.已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若l∥α，则实数x的值为（　　）
A. B. C. D.
5.某校高一新生中的四名同学打算参加“文学社”、“街舞社”、“美术社”三个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（　　）
A. 18 B. 36 C. 48 D. 72
6.在正三棱锥P-ABC中，是棱PA的中点，则点D到直线BC的距离是（　　）
A. 3 B. C. 8 D.
7.有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（k＞3）个白球和（k+1）个黑球，现从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为pi，甲盒中含有白球个数的期望为Ei，则（　　）
A. p1＞p2，E1＞E2 B. p1＞p2，E1＜E2 C. p1＜p2，E1＞E2 D. p1＜p2，E1＜E2
8.如图，在三棱锥P-ABC中，D为BC的中点，PD⊥平面ABC，AB⊥AC，∠PCA=60°，AB=AC=PB=PC=2，则直线BP与平面PAC所成角的正弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的是（　　）
X 0 1
P 0.6 m
A. E（X）=0.4 B. D（X）=0.36 C. E（Y）=1.2 D. D（Y）=0.12
10.已知的展开式中，第5项与第4项的系数之比为3：4，则（　　）
A. n=9 B. 展开式中的常数项为
C. 展开式中二项式系数最大项为 D. 展开式中系数最大的项为
11.如图点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一个动点，F是线段A1B1的中点，则（　　）
A. 当P为B1C1的中点时，AP⊥D1F
B. 当P在面BCC1B1上，且直线AP与CD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为
C. 三棱锥A-PB1D1体积的最大值为
D. 当PF∥平面B1CD1时，线段PF长度最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量=（1，2，3），向量=（2，4，t），且与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 .
13.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有 种.
14.在数轴上，一枚棋子初始位于0，每步移动规则如下，若棋子位于1，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格；若棋子位于其他位置，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格，当棋子首次到达2时游戏获胜，首次到达-1时游戏失败，则获胜的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲、乙、丙三位教师指导五名学生a,b,c,d,e参加全国高中数学联赛，
（1）若每位教师至多指导一名学生，每名学生至多接受一位教师指导，求共有多少种分配方案；
（2）若每位教师至少指导一名学生，教师甲只指导一名学生，每名学生有且只有一位指导教师，求共有多少种分配方案.
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，侧棱PA⊥底面ABCD且PA=4，E是PA的中点.
（1）证明：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求BE与平面PAC所成角的正切值.
17.(本小题15分)
甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为.
（1）求甲连续打前四局比赛的概率；
（2）前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率；
（3）如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为X，求X的分布列和期望.
18.(本小题17分)
把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中AB=AC=3，∠BAC=∠BCD=90°，∠CBD=30°.将△ABC沿BC翻折至△PBC，使得二面角P-BC-D为直二面角.
（1）证明：PB⊥平面PCD；
（2）若P，B，C，D在同一个球面上，求该球的半径；
（3）求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）有极小值，且f（x）≥0，求a的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】（，6）∪（6，+∞）
13.【答案】432
14.【答案】
15.【答案】60 70
16.【答案】证明：连接AC，BD，
因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，
所以BD⊥PA，因为PA∩AC=C，PA，AC 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，因为BD 平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAC；

17.【答案】解：（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜，
第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为；
第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为；
第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为，
所以甲连续打前四局比赛的概率为：；
（2）设事件A：前四局中第二局乙获胜，事件B：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局，
对于前四局中第二局乙获胜：
第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为；
第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为，
所以，
在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空．
第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为，
第四局：乙、丙对打，概率为1，
所以，
根据条件概率知：；
（3）由题意知得分X的可能值为：0，2，4，6，
，，
，，
所以X的分布列为：
X 0 2 4 6
P
所以得分 X的数学期望为：．
18.【答案】易知面PBC⊥面BCD，
又CD⊥BC，CD 面BCD，面PBC∩面BCD=BC，
则CD⊥面PBC，
又PB 面PBC，则PB⊥CD．
PB⊥PC，CD∩PC=C，CD，PC 面PCD，
则PB⊥面PCD
19.【答案】4x-y-1=0 当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增 （0，1]
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