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2025-2026学年江苏省宿迁市高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若，则=（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2.若展开式中的常数项为90，则常数a的值为（　　）
A. 4 B. 2 C. 8 D. 6
3.已知三点A（1，-1，a），B（2，a,0），C（1，a,-2），满足，则实数a的值为（　　）
A. B. 1 C. D.
4.（2x-y）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n=（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5.在三棱锥ABCD中，点E、F分别是棱AB、CD的中点，若，则x+y+z=（　　）
A. B. C. 2 D. 3
6.战争对百姓伤害极大，现有五个居民区受到战争波及，甲、乙、丙、丁四位医生全部参加救助，每位医生至多负责两个居民区，每个居民区只能有一位医生负责，每个居民区都要有医生负责，则不同的安排方案种数共有（　　）
A. 240 B. 360 C. 600 D. 320
7.已知（x-1）（x-3）5=a0+a1（x-2）+a2（x-2）2+…+a6（x-2）6，则a4=（　　）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 5
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段AC的中点.点P在线段A1C1上，直线OP与平面A1BC1所成的角为θ，则cosθ的最小值是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列正确的是（　　）
A. B.
C. D.
10.下列正确的是（　　）
A. 由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数
B. 由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数
C. 由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码
D. 由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（　　）
A. 在棱AD上不存在点M，使AD⊥平面PMB
B. 异面直线AD与PB所成的角为90°
C. 二面角P-BC-A的大小为45°
D. BD⊥平面PAC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若，则与的夹角为 .
13.（x2+3x+2）5的展开式中x的系数是______．
14.编号为1，2，3，4，5的5个小球放入编号为1，2，3的3个盒子，要求每个盒子都要放球同时小球的编号与盒子的编号不相同，则不同的放法共有 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
有8辆不同品牌的新能源汽车，其中有5辆车合格，3辆车不合格，现车辆检测中心每次抽一辆车进行检测，直到3辆不合格车全部检测出为止.
（1）求前3次检测恰好都是不合格车辆的不同检测情形种数；
（2）求最后1辆不合格车正好在第6次检测时被发现的不同检测情形种数；
（3）若前2次检测都是不合格车辆，求最多有多少种不同的检测情形种数.
16.(本小题15分)
在的展开式中，前3项的系数依次成等差数列.
（1）求展开式中x-2的系数；
（2）求展开式中所有的有理项.
17.(本小题15分)
如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面正方形的对角线AC，BD交于点O，AB=2，OP=1.求：
（1）直线OC与平面PBC所成角的大小；
（2）点A到平面PBC的距离.
18.(本小题17分)
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥AC，AC=BC=1，AA1=2，点M在线段AC1上，.
（1）若∠B1MC为锐角，求实数λ的取值范围；
（2）若二面角M-B1C-B的余弦值为，求线段AM的长度.

19.(本小题17分)
已知函数，其中λ∈R，n∈N.
（1）若n=8，a7=1024，求λ的值；
（2）若λ=2，求；（用n表示）
（3）若，求实数m的值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】240
14.【答案】48
15.【答案】6 3600 720
16.【答案】 x4，，
17.【答案】
18.【答案】解：（1）因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥AC，
所以CC1⊥AC，CC1⊥BC，
所以CA，CB，CC1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系：
因为AC=BC=1，AA1=2，
所以A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），A1（1，0，2），B1（0，1，2），C1（0，0，2），
因为点M在线段AC1上，，
所以0＜λ＜1，
所以（xM-1，yM，zM）=λ（-1，0，2），
所以xM=-λ+1，yM=0，zM=2λ，
所以M（-λ+1，0，2λ），
所以=（λ-1，0，-2λ），=（λ-1，1，2-2λ），
因为∠B1MC为锐角，
所以 =（λ-1，0，-2λ） （λ-1，1，2-2λ）=（λ-1）2+0×1+（-2λ）（2-2λ）=（5λ-1）（λ+1）＞0，
所以λ＜或λ＞1，
又0＜λ＜1，
所以0＜λ＜，
所以λ的取值范围为（0，）．
（2）由题可知平面BB1C法向量=（1，0，0），
设平面MB1C的法向量=（x,y,z），
因为=（λ-1，0，-2λ），=（λ-1，1，2-2λ），
所以，
令x=2λ，则y=2-2λ，z=λ-1，
所以=（2λ，2-2λ，λ-1），
所以cos＜，＞===，
因为二面角M-B1C-B的余弦值为，
所以=，
解得λ=或λ=-1，
又因为0＜λ＜1，
所以λ=，
所以|AM|=|AC1|==．
19.【答案】λ=2 2 n3n-1 m=1
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