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2025-2026学年湖南省衡阳市常宁市第一中学等学校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x|-2＜x＜6}，B={x|x＜5}，则A∩B=（　　）
A. （-2，5） B. （-2，6） C. （5，6） D. （-∞，5）
2.已知复数z满足z（1-i）=1+i,则|z|=（　　）
A. 2 B. C. 1 D.
3.若a,b是空间中两条不同的直线，则“存在平面α，使a α，b α”是“a∥b”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，log92=b,则3a+2b=（　　）
A. 4 B. C. 8 D. 16
5.某船行驶到甲地看1号灯塔时，1号灯塔在甲地的北偏东75°方向上，相距；在甲地看2号灯塔时，2号灯塔在甲地的南偏西60°方向上，相距2nmile.该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（　　）
A. 4nmile B. 5nmile C. D.
6.已知a＞0，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）
A. （0，1） B. C. [1，+∞） D.
7.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=4，M为BC的中点，则=（　　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
8.如图，在函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象中，若，则点A的纵坐标为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是（　　）
A. 直线AM与BN是平行直线
B. 直线BN与MB1是异面直线
C. 直线MN与AC所成的角为60°
D. M，N，B，A1四点共面
10.设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题正确的是（　　）
A. 若z2=±z3，则|z2|=|z3| B. 若z1z2=z1z3，则z2=z3
C. 若，则|z1z2|=|z1z3| D. 若，则z1=z2
11.在△ABC中，a,b,c分别为内角A，B，C的对边，asinA+bsinB=c,，△ABC的面积为，则下列结论正确的是（　　）
A. B.
C. a=2 D. c=4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若幂函数f（x）=（a2+a-11）xa的定义域为R，则实数a= .
13.若tanα=2，则= .
14.四棱锥P-ABCD的底面为正方形，∠PDA=∠PDC=∠ADC=90°，PD=AD=1，，，PC∩平面DEF=G，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=2sinx.
（1）若，且，求的值；
（2）设函数，，求g（x）的值域.
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,acosAsinB=（2c-a）sinAcosB.
（1）求B；
（2）若c=4，D为AC的中点，，求cos∠ADB.
17.(本小题15分)
已知函数的图象关于原点对称.
（1）求实数a的值；
（2）若f（2log3x）+f（1）＞0，求x的取值范围；
（3）若存在，使得成立，求实数m的取值范围.
18.(本小题17分)
如图所示的几何体，在底面ABCD中，AC⊥BD，AC与BD交于点O，OA=OC=1，，GC垂直于平面ABCD，MD∥GC，且.
（1）证明：BD∥平面AMG；
（2）求三棱锥B-AMG的体积；
（3）在△GAB内部（包括边界）的动点Q满足四棱锥Q-ABCD的体积和三棱锥Q-G CD的体积相等，请找出点Q的轨迹，并说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）满足 a＜b,集合{f（x）|x∈[a,b]}都存在最大值和最小值，记其最大值与最小值之差为D（a,b）.
（1）分别对以下函数f（x）计算（不要求写出计算过程）：
①f（x）=4x-3；
②.
（2）已知f（x）=x2-4x+c,且，求c；
（3）已知 a＜b,D（a,b）=k（b-a），其中k为给定的大于0的常数，且f（0）=0，f（1）＞0，证明：f（x）=kx.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】ABC
11.【答案】AD
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】a=1 [3，+∞）
18.【答案】证明如下，
在平面AGC中，过O作ON∥CG，交AG于N，
因为O为AC的中点，所以N为AG的中点，则ON∥CG，，
又DM∥CG，，所以DM∥ON且DM=ON，
则四边形ONMD为平行四边形，所以MN∥OD，即BD∥MN，
因为MN 平面AGM，平面AGM，所以BD∥平面AGM 线段XY即为点Q的轨迹，理由如下，
四棱锥Q-ABCD和三棱锥Q-G C D中含有相同的字母Q，C，D，
保留这三个字母，将其他字母统一化．VQ-ABCD=3VQ-ACD=3VA-QCD=VG-QCD，
所以点G到平面QCD的距离是点A到平面QCD的距离的三倍，
即平面QCD经过线段GA的一个四等分点X（靠近点A），
VQ-ABCD=2VQ-BCD=2VB-QCD=VG-QCD，
所以点G到平面QCD的距离是点B到平面QCD的距离的两倍，
即平面QCD经过线段GB的一个三等分点Y（靠近点B），
又平面QCD与平面GAB相交于一条直线，点X，Y确定该直线，
因此，线段XY即为点Q的轨迹
19.【答案】①10；② c=-1或 证明：先证明 a＜b，f（x）在[a，b]上的最值点有且仅有a和b．（*）
若存在x0∈（a，b），x0为[a，b]上的最值点，不妨设为最大值点，
再设x1为[a，b]上的最小值点，再不妨设x1＜x0，
此时D（x1，x0）=D（a，b），则k（x0-x1）=k（b-a），即x0-x1=b-a，
而由a≤x1＜x0＜b可知x0-x1＜b-a，矛盾！
故（*）成立，接下来证明f（x）=kx．
故在[0，1]上，由（*）知0，1为[0，1]上唯二最值点．
∵f（0）＜f（1），∴0为最小值点，1为最大值点．（**）
∴f（1）=f（0）+D（0，1）=k．
y∈（0，1），在[0，y]上单调，且f（0）＜f（1），
所以f（x）为增函数，则f（0）＜f（y），
由（*）知y为[0，y]上的最大值点，0为[0，y]上最小值点，
∴f（y）=f（0）+D（0，y）=ky．
y∈（1，+∞），由于f（x）为增函数，在[0，y]上f（0）为最小值，f（y）为最大值，
∴f（y）=f（0）+D（0，y）=ky．
y∈（-∞，0），在[y，1]上，由f（1）＞f（0）知1不为最小值点，
由（*）知y为[y，1]上的最小值点，1为[y，1]上的最大值点．
∴f（y）=f（1）-D（y，1）=ky．
综上：f（x）=kx
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