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2025-2026学年湖北省楚天协作体高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在复平面内，对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，则“n=2”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，那么=（　　）
A. B. C. D.
4.在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，且BE：EC=2：1，AE交BD于F，则=（　　）
A. B. C. D.
5.为了得到函数的图像，可以将函数y=3cosx的图象上（　　）
A. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
B. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
C. 每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
D. 每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
6.在△ABC中，向量与满足，且，则△ABC为（　　）
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰非等边三角形
7.如图，在△ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（　　）
A. 3
B.
C. 4
D.
8.已知函数在上存在最值，且是f（x）单调递增区间的子集，则满足条件的正整数ω的取值为（　　）
A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 4或5
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，，λ∈R，则（　　）
A. 若，则
B. 若（+3）⊥，则λ=-6
C. 的最小值为
D. 若向量与向量的夹角为锐角，则λ的取值范围是（-∞，-8）
10.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A.
B. 函数f（x）的零点为
C. 若实数x1，x2满足|f（x1）-f（x2）|=8，则
D. 若f（x）在区间上的值域为，则实数a的取值范围为
11.已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若（c+a）（sinC-sinA）=b（sinC-sinB），则下列选项正确的是（　　）
A. A的大小是
B. sinBsinC的取值范围是
C. 若D是BC边上的一点，且，则△ABC的面积的最大值为
D. 若三角形ABC是锐角三角形，AE平分∠BAC交BC于点E，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足：，，则在上的投影向量的坐标为 .
13.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，若存在0≤x1＜x2≤π，满足，则cos（x1-x2）= .
14.在△ABC中，在边AC所在直线上，且满足，BD⊥BE，则BE= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，M、N分别是△ABC的边BC、AB上的点，且，，AM交CN于P.
（1）若，求x-y的值；
（2）若AB=2，AC=3，∠BAC=60°，求∠MPN的大小.
16.(本小题15分)
如图，某公园新建摩天轮，其半径为50m,圆心距地面的高度为60m,摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，每15min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.
（1）已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π），求函数f（t）解析式及当点P旋转到距离地面的高度为85m时需要的最短时间；
（2）当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩30min,则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求A的值；
（2）若a+1=b,c＞2，当△ABC的周长最小时，求c的值.
18.(本小题17分)
已知向量，函数.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设函数g（x）满足.当时，函数y=g（x）与y=a的图象有两个交点，求a的取值范围；
（3）当时，求函数的最大值.
19.(本小题17分)
如图，设α∈（0，π），且，当∠xOy=α时，定义平面坐标系为α的斜坐标系.在α的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设分别为Ox,Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量在的斜坐标系中.
（1）若向量，求；
（2）已知向量，证明：；
（3）若向量的斜坐标分别为（sinx,1）和（cosx,1），x∈R，设函数，x∈R，求不等式的解集.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】 120°
16.【答案】；5min 5 min
17.【答案】
18.【答案】π [0，3）
19.【答案】 由，则，，
则
=
=，即得证
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