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2025-2026学年海南省海口中学高二（下）期中数学试卷（A卷）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数的虚部是（　　）
A. -i B. C. -1 D.
2.若集合，N={x|y=ln（x+1）}，则M∩N=（　　）
A. （-1，16） B. （-∞，16） C. （0，16） D. [0，16）
3.若圆锥曲线C：x2+my2+m=0的焦距为4，则其离心率为（　　）
A. 2 B. C. D.
4.已知a,b∈R，且a＞b,则下列不等式恒成立的是（　　）
A. B.
C. 对任意c∈R，ac2＞bc2 D. ea＞eb
5.已知等比数列{an}的公比为q,则“数列{an}是递增数列”是“q＞0”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.某民俗文化景区，在即将到来的五一假期，预计需要增派6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（　　）
A. 360 B. 450 C. 540 D. 1020
7.如图，设，线段DE与BC交于点F，且，则的最小值为（　　）
A. 5
B. 9
C.
D.
8.已知函数f（x）=ex+e2-x+2|x-1|，若f（a+2）≥f（2a-1）成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. （-∞，3] B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题中正确是（　　）
A. 数据-1，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1
B. 若事件M、N的概率满足P（M）∈（0，1），P（N）∈（0，1）且，则M、N相互独立
C. 已知随机变量，若D（2X+1）=5，则n=5
D. 若随机变量X N（3，σ2），P（X＞2）=0.62，则P（3＜X＜4）=0.12
10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则下列说法中正确的是（　　）
A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使PQ∥平面MBN
C. 三棱锥P-MBN的体积为
D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π
11.如图，曲线C可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线C上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值a（a＞0），则（　　）
A. 曲线C关于直线y=x对称
B. 曲线C经过点（-1，-1），其方程为
C. 曲线C围成的图形面积小
D. 存在a∈（2，6），使得曲线C上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，常数项为 （用数字作答）.
13.已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为5：4：1，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为95%，90%，90%，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为 .
14.已知函数f（x）=ax+b-ex-1-1，若f（x）的最大值为0，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1～7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日
昼夜温差x/oC 10 11 13 12 8 7 6
感冒人数y 23 25 29 26 16 13 9
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
（1）求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率；
（2）若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据：
①求出y关于x的经验回归方程；
②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由.
附：.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx-cos2x.
（1）若f（x）在区间上的最大值为，求m的最小值；
（2）在△ABC中，D为边BC中点，若AB2+AC2=6，AD=1，f（C）=1，求△ABC的面积.
17.(本小题15分)
已知椭圆经过点（0，1），离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点D（1，0）作斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，点E（3，n）不在直线l上，直线AE，BE分别交直线x=2于点M，N.求证：四边形DMEN为平行四边形.
18.(本小题17分)
如图所示，在圆柱OO1中，矩形ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，圆柱过点C的母线为CC1点C，E为圆O上异于点A，B且在线段AB同侧的两点，且OE∥BC，点F为线段A1C的中点，AB=BB1=4.
（1）求证：EF∥平面BCB1；
（2）若平面BCB1与平面A1B1C所成夹角的余弦值为，求∠BAC的大小；
（3）若，平面α经过点C，且直线CC1与平面α所成的角为30°，过C1点作平面α的垂线C1Q（垂足为Q），求直线AQ与直线CC1所成角的范围.

19.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx+ax-b,其中a,b∈R.
（1）若函数f（x）在x=1处取得极大值0，求a,b的值；
（2）函数g（x）=xf（x）.
（i）证明：曲线y=g（x）图象上任意两个不同点处的切线均不重合；
（ii）当b=1时，若g（x）≥2sin（x-1）恒成立，求实数a的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】[3-2ln2，+∞）
15.【答案】 ①；②是理想的，因为由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人
16.【答案】 1
17.【答案】 证明：设直线AB方程为x=my+1，
联立，消去x得（m2+3）y2+2my-2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
直线AE方程为，所以点，
直线BE方程为，所以点，
所以，同理，
所以
=，
所以kDM=kBE，所以DM∥BE，即DM∥NE，
同理，
=，
所以kDN=kAE，所以DN∥AE，即DN∥ME，
故四边形DMEN为平行四边形
18.【答案】解：（1）证明：延长AE，BC交于点Q，连接AC1，QC1，
因为OE∥BC，O是AB中点，
所以OE是△ABQ的中位线，则点E是AQ中点，
又因为AA1，CC1，BB1是圆柱的母线，
所以AA1，CC1，BB1平行且相等，
所以易得AC1，CA1相交于点F，F是AC1的中点，
则在△AQC1中，EF∥C1Q，
又因因为CC1∥BB1，Q在BC延长线上，
所以可得C1Q 平面BCB1，而EF不在平面BCB1内，
所以EF∥平面BCB1．
（2）由题意可知CC1⊥ABC面，且因为AB直径，所以AC⊥BC则，CA，CB，CC1三线两两垂直，则建立如图所示空间直角坐标系C-xyz,
又因为AB=BB1=4，所以设∠BAC=θ，则AC=4cosθ，BC=4sinθ，
可得点坐标为C（0，0，0），B（0，4sinθ，0），
A1（4cosθ，0，4），B1（0，4sinθ，4），
则，
由题意平面BCB1在yCz平面内，所以平面BCB1的法向量为，
设平面A1B1C的法向量为，
则，则，即，
令z=-1，则解得，
所以，
又因为平面BCB1与平面A1B1C所成夹角的余弦值为：，解得或5（舍），
且因为，则，
即．
（3）因为过点C的平面α与直线CC1所成的角为30°，
又因为过C1点作平面α的垂线C1Q（垂足为Q），
所以△C1CQ为直角三角形，且，
所以点Q是绕CC1旋转的圆，且半径，
圆心距离点C1的长度为，
所以设点Q（x,y,3）且x2+y2=3，又因为点A为，
所以，
而，
所以，
又因为x2+y2=3，
所以，
且因为，所以，
所以直线AQ与直线CC1所成角的范围为．
19.【答案】a=-1，b=-1 （i）证明：函数g（x）=xf（x）=xlnx+ax2-bx，求导得g′（x）=2ax+lnx-b+1，
设点A（x1，g（x1））和点B（x2，g（x2）），不妨令0＜x1＜x2，
则曲线y=g（x）在点A处的切线l1方程为y-g（x1）=g′（x1）（x-x1），
即y=g′（x1）x-g′（x1）x1+g（x1）；同理曲线y=g（x）在点B处的切线l2方程为y=g′（x2）x-g′（x2）x2+g（x2），
假设l1与l2重合，则，
化简得，则，
即，令，
求导得，函数h（t）在（0，1）上单调递增，
因此h（t）＜h（1）=0，即h（t）=0无解，即l1与l2不重合，
所以对于曲线y=g（x）图象上任意两个不同点处的切线均不重合．
（ii）[1，+∞）
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