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2025-2026学年广西玉林市九校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数2-3i的虚部为（　　）
A. 3 B. 3i C. -3 D. -3i
2.若直线l在平面α内，则符号表示正确的是（　　）
A. l α B. l∥α C. l∈α D. l∩α=A
3.下列关于平面向量的说法正确的是（　　）
A. 若是共线的单位向量，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知某平面图形OABC的直观图是如图所示的梯形O'A'B'C'且A′B′=2，O′C′=3，O′A′=2，则原图形OABC的面积为（　　）
A. 5
B.
C. 12
D. 10
5.已知直线l,m与平面α，其中m α，则“l⊥m”是“l⊥α”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知向量，则向量在上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
7.已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（　　）
A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,，b=6，c=4，若，（0≤λ≤1），若BD与CE相交于点F，则当取最小值时，λ=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知i为虚数单位，复数z1=1-2i,z2=2-i,则（　　）
A. z1的共轭复数为-1+2i B. |z1|=|z2|
C. z1+z2为实数 D. z1 z2的虚部为-5
10.已知向量，，则（　　）
A. 若，则 B. 若，则m=-2
C. 若，则m=-2或3 D. 若m=1，则与的夹角为135°
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,，，则（　　）
A. B. △ABC外接圆的面积为π
C. △ABC面积的最大值为 D. △ABC周长的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则= .
13.圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小为原来的，则其体积是原来的 倍.
14.已知菱形ABCD的边长为1，，将△ADC沿AC翻折，当三棱锥D-ABC表面积最大时，其内切球表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
平面内给定两个向量，.
（1）求的坐标；
（2）若，且A、B、C三点共线，求m的值.
16.(本小题15分)
如图，三棱柱ABC-A1B1C1内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是16π，底面直径与母线长相等.
（1）求圆柱的底面半径；
（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
17.(本小题15分)
某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50m,∠ABC=45°，∠BCA=105°，在C处测得大楼楼顶D的仰角α为75°.
（1）求A，C两点间的距离；
（2）求大楼的高度.
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c-a=2bcosA，b=3.
（1）求B的大小；
（2）若，求△ABC的面积；
（3）求的最大值.
19.(本小题17分)
三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名.当△ABC内一点P满足条件∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为布洛卡角.如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a,b,c,点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ.
（1）求证：；
（2）若A=2θ，是否存在常数λ∈R，使得a2+b2+c2=λbccos2θ，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
（3）若θ=30°，试判断△ABC的形状.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】BCD
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】（14-8）π
15.【答案】，；

16.【答案】2； ．
17.【答案】解：（1）在△ABC中，∠BAC=180°-105°-45°=30°，
根据正弦定理可知：，则，
所以；
（2）
，
在△DCA中，因为DA⊥AC，则，
所以
∴．
18.【答案】解：（1）因为2c-a=2bcosA，又，
所以2sinC-sinA=2sinBcosA，
所以2sin（A+B）-sinA=2sinBcosA，
所以2sinAcosB-sinA=0，
因为A∈（0，π），sinA≠0，
所以cosB=，
则B=．
（2）因为b2=a2+c2-ac，所以c2-c-6=0，
所以c=2或c=-（舍去），
所以△ABC的面积为S=acsinB=．
（3）由a2+c2-ac=9，得（a+c）2=9+3ac，
因为ac≤，所以（a+c）2≤9+（a+c）2，
所以3＜a+c≤6（当且仅当a=c=3时取等号）．
设t=a+c，则t∈（3，6]，所以=，
设f（t）==（t-），
则f（t）在区间（3，6]上单调递增，所以f（t）的最大值为f（6）=，
所以，的最大值为．
19.【答案】证明见解析；
存在，λ=4；
正三角形．
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