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2025-2026学年广西玉林市博白县九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-3的绝对值是（　　）
A. 3 B. -3 C. 0 D. 1
2.壮族服饰纹样多种多样，下列壮族服饰纹样图案中既是轴对称图形、又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A. x≠3 B. x≥3 C. x＞3 D. x≥0
4.广西南宁市青秀山是国家5A级旅游景区，该景区规划森林植物园区面积约768万平方米.将7680000用科学记数法表示为（　　）
A. 0.768×107 B. 7.68×106 C. 76.8×105 D. 7.68×105
5.下列算式中，计算结果为a6的是（　　）
A. a3+a3 B. a2 a3 C. （a2）3 D. a12÷a2
6.榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD=（　　）
A. 70° B. 100° C. 110° D. 130°
7.直线y=-2x+6与x轴的交点坐标为（　　）
A. （0，6） B. （3，0） C. （-3，0） D. （6，0）
8.小峰家某月各种支出如图所示，如果小峰家该月总支出3600元，则小峰家该月支出水电费用为（　　）
A. 72元
B. 108元
C. 180元
D. 270元
9.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两个实数根，其中x1=1，则x2的值为（　　）
A. -3 B. 0 C. 1 D. 3
10.如图，A为反比例函数的图象上的一点，AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C.若四边形OCAB的面积为6，则k的值为（　　）
A. 3
B. -3
C. 6
D. -6
11.如图是某电影院中一个圆形影厅的示意图，AD是⊙O的直径，且AD=30m,弦AB是圆形影厅的屏幕，在C处观众的视角∠ACB=45°，则屏幕AB的长为（　　）
A. 20m B. 15m C. D.
12.碳酸钠的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A. t是自变量
B. y是t的函数
C. 对于y的每一个确定的值，t都有唯一确定的对应值
D. 当t=40℃时，碳酸钠的溶解度最大
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.8的立方根是 .
14.若a＞b，则-2a -2b．（用“＜”号或“＞”号填空）
15.某智能巡检机器人从入口A出发，沿指定路线执行巡检任务.行至每个岔路口时，机器人会随机选择前方两条线路，且选择每条线路的可能性相同.如图是该机器人巡检的部分路线示意图，机器人经过H口的概率是 .
16.如图，正方形ABCD中，点P为AD的中点，将△PBC沿BC的方向平移，当点B与点C重合时，得到△QCE，连接AE，分别交CD，CQ于点M，N.已知AB=2，则MN的长为 .
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
17.（1）计算：（-3）×2+20260；
（2）解方程组：.
18.清明过后就是春茶的采摘季节.已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的2倍，每个熟练采茶工人采摘400斤鲜叶比新手采茶工人采摘320斤鲜叶少用15天.
（1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数；
（2）某茶厂计划一天采摘鲜叶不少于400斤，现安排熟练采茶工人和新手采茶工人共30人参与采摘.已知熟练采茶工人每人每天工资300元，新手采茶工人每人每天工资100元，怎样安排熟练采茶工人与新手采茶工人的人数，使一天所付工资最少？并求出所付的最少工资.
四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）.
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1.
20.(本小题10分)
“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益.为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）：
七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8.
八年级：9，7，9，6，10，6，8，m,9，7.
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 8 a b 0.8
八年级 8 8.5 9 1.8
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：a=______，b=______.
（2）求m的值.
（3）综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由.
21.(本小题10分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点O作OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E.
（1）求证：AE=EC.
（2）若DE=2，OA=5，求BC的长.
22.(本小题12分)
综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究.
【问题情境】
如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5.将边AB绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ≤90°）得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F.
【猜想证明】
（1）当θ=90°时，请在图2中补全图形（无需尺规作图），判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论；
（2）如图3，当θ=45°时，连接DE，求此时△ADE的面积；
【能力提升】
（3）是否存在θ，使点F，E，D三点共线？若存在，请直接写出此时DF的长度；若不存在，请说明理由.
23.(本小题12分)
新定义
【定义与性质】
如图1，记二次函数y=a（x-b）2+c和y=-a（x-p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1.
定义：若抛物线C1的顶点Q（p,q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线.
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b,c）在C1上.
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则m=______，n=______；
【思考与探究】
（2）设函数y=x2-2kx+6k+3的图象为抛物线C2.
①若函数y=-x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d,e的值；
②如图2，在①的条件下，抛物线C0与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当tan∠PCD=2时，求点P的坐标.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】D
12.【答案】C
13.【答案】2
14.【答案】＜
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】-5
18.【答案】熟练采茶工人一天能采摘鲜叶16斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶8斤 安排20名熟练采茶工人，10名新手采茶工人时，一天所付工资最少，最少工资为7000元
19.【答案】△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为（-2，3）； △A2B2C2即为所求
20.【答案】8;8 m=9 因为七年级的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于八年级的学生对“校园餐”的满意度的打分，所以七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致
21.【答案】因为AB是⊙O的直径，
所以∠ACB=90°，
因为OD∥BC，
所以∠AEO=∠ACB=90°，
所以OD⊥AC，
所以AE=EC 6
22.【答案】四边形ABFE是正方形；证明：如图2，四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∵将边AB绕点A逆时针旋转（0°＜θ＜180°）得到线段AE，
∴AE=AB，∠EAB=90°，∠AEF=90°，
∴∠B=∠EAB=∠AEF=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∵AE=AB，
∴四边形ABFE是正方形 存在θ，使点F，E，D三点共线；DF=5．理由如下：
当点E在DF上时，如图4，连接AF，
∵∠AEF=∠B=90°，
∴△ABF和△AEF是直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），
∴BF=EF，
设BF=EF=x，则CF=5-x，
∵将边AB绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ≤90°）得到线段AE，
∴AE=AB=4，
∴EF⊥AE，
∴∠AED=∠AEF=90°，
∴AD=5，
在直角三角形ADE中，由勾股定理得：，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：CF2+CD2=DF2，
∴（5-x）2+42=（x+3）2，
解得x=2；∴DF=2+3=5；如图5；当点E在DF延长线上时，
同理EF=BF，DE=3，
设EF=BF=a，则DF=a-3，CF=a-5，
∴（a-5）2+42=（a-3）2，
解得：a=8，
∴DF=8-3=5；综上所述，存在θ，使点F，E，D三点共线；DF=5
23.【答案】3;±1 ①d=6，e=3；②P（4，11）或P（8，-13）
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