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2025-2026学年广东省揭阳市普宁市第二中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x|x2-9＜0}，B={x|-1＜x＜4}，则A∩B=（　　）
A. {x|-3＜x＜4} B. {x|-1＜x＜3} C. {x|-3＜x＜-1} D. {x|-1＜x＜4}
2.若复数z=1+i,则（z+2）i=（　　）
A. -1+3i B. -1-3i C. 1+3i D. 1-3i
3.已知随机变量X的分布列如下表：若E（X）=0，则D（3X-2）=（　　）
X -2 0 1 2
P n m
A. B. 5 C. 7 D. 21
4.已知数列{an}为等差数列，若an+an+1+an+2=6n+3，则a10=（　　）
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
5.若，则a3=（　　）
A. 8 B. -8 C. 2 D. 42
6.函数y=xln|x|的图象大致为（　　）
A. B. C. D.
7.已知f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导数，且 x∈R，f'（x）＞2x,f（2）=5，则不等式f（x）＞x2+1的解集为（　　）
A. （-∞，2） B. （2，+∞） C. D.
8.2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为p（0＜p＜1）.小明参与活动累计抽奖k次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变量Y表示抽奖n次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得P（Y=6）最大的n值估计总抽奖次数（若有多个n使概率最大，则取其中最小值），并计算E（Y）.下列说法正确的是（　　）
A. E（Y）＜6 B. E（Y）＞6
C. E（Y）=6 D. E（Y）与6的大小关系不确定
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题正确的是（　　）
A. 已知，则x=7
B. 若0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，且，则A，B相互独立
C. 若随机变量，则
D. 三项展开式（a+b+c）n共有项
10.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，则下列说法正确的是（　　）
A. 若|PF1|的最大值为5，最小值为1，则椭圆C的离心率为
B. 若b=2，，则△PF1F2的面积为2
C. 若a=5，b=3，∠F1PF2=60°，则△PF1F2内切圆的半径为
D. 若∠PF1F2=15°，∠PF2F1=105°，则椭圆C的离心率为
11.已知动圆的圆心在曲线y=lnx上运动，则下列结论正确的是（　　）
A. 若圆C经过原点O，则实数x0存在两个不同的值符合题意
B. 若圆C被直线平分，则圆心的坐标为（e,1）
C. 存在x0＞1，使得圆C截两坐标轴所得的弦长相等
D. 圆C上的点到直线y=x+3的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.4名学生和2位老师随机站成一排拍照，则两位老师不相邻的排法有 种.
13.已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为ξ，则E（ξ）= .
14.已知函数，则方程[f（x）]2-4f（x）-5=0的根的个数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，满足（2b-a）cosC=ccosA.
（1）求角C的大小；
（2）已知c=4，a+b=5，求△ABC的边AB上的高h.
16.(本小题15分)
A、B两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人.
（1）求选出的2人来自不同家庭的概率；
（2）在选出的第1个人来自A家庭的条件下，求第2个人也来自A家庭的概率；
（3）若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，求最终游戏成功的概率.
17.(本小题15分)
如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，∠ABB1=90°，AB=2A1B1，侧面BCC1B1⊥侧面ABB1A1，D，E分别为AC，BB1的中点.
（1）求证：A1D∥平面BCC1B1；
（2）已知AB=BB1=4，EC1=C1B1，AC1=2，求二面角A-A1C1-B1的正弦值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex，令a1＞0，过点（a1，f（a1））作曲线y=f（x）的切线，交x轴于点（a2，0），再过（a2，f（a2））作曲线y=f（x）的切线，交x轴于点（a3，0），…，以此类推，得到数列{an}（n∈N*）.
（1）证明：数列{an}为等差数列；
（2）若数列{f（an）}的前4项和为（e2+1）（e+1），求实数a1的值；
（3）当x＞0时，若f（x）≥+x+1恒成立，求实数m的取值范围.
19.(本小题17分)
已知动点P到点F（，0）的距离等于它到直线x=-的距离，记动点P的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）O为坐标原点，过点M（2，0）且斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，直线AO与直线x=-2相交于点D，过点B且与C相切的直线交x轴于点E.
（i）证明：直线DE∥l；
（ii）满足四边形ABDE的面积为12的直线l共有多少条？说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】480
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】
16.【答案】 0.42
17.【答案】证明：取BC的中点F，连接DF，B1F，因为D为AC的中点，
则DF∥AB，．
在三棱台ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，，
则DF∥A1B1，DF=A1B1，
故四边形A1B1FD是平行四边形，则A1D∥B1F，
又A1D 平面BCC1B1，B1F 平面BCC1B1，
故A1D∥平面BCC1B1
18.【答案】解：（1）证明：根据已知得曲线y=f（x）在点（an，f（an））处的切线方程为y-f（an）=f′（an）（x-an），
所以，
设y=0，所以x=an-1，那么an+1=an-1，所以an+1-an=-1（n∈N*），
因此{an}是以-1为公差，a1=2为首项的等差数列；
（2）根据第一问已知可得an+1-an=-1（n∈N*），
因此，
因此{f（an）}是以为公比，f（a1）为首项的等比数列，
其前4项的和为，
因此实数a1=3；
（3）原不等式等价于在（0，+∞）上恒成立，
设函数，x＞0，则导函数，
设函数t（x）=x2+2x+2-2ex，x＞0，所以导函数t′（x）=2（x+1-ex）＜0，
因此函数t（x）在（0，+∞）上递减，因此t（x）＜t（0）=0，
设h′（x）＜0，所以x＞2；设导函数h′（x）＞0，所以0＜x＜2，
因此函数h（x）在（0，2）上递增，在（2，+∞）上递减，因此，
因此实数m的取值范围为．
19.【答案】y2=2x；
（i）证明见解析；（i）有2条，理由见解析．
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