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2025-2026学年广东省东莞市第十三高级中学等校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.计算=（　　）
A. 20 B. 90 C. 120 D. 180
2.下列求导正确的是（　　）
A. （π3）′=3π2 B. （2x）′=2x
C. （cosx）′=-sinx D.
3.某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法为（　　）
A. 32 B. 20 C. 16 D. 10
4.如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f（5）+f′（5）=（　　）
A.
B. 1
C. 2
D. 0
5.设a＜b，函数y=（x-a）2（x-b）的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
6.（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
7.一袋中有大小相同的5个红球和2个白球，如果不放回地取2个小球.在第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概率是（　　）
A. B. C. D.
8.已知p：-2＜t＜2，q：函数f（x）=x3+3x2-2在区间（t-4，t）上存在最大值，则p是q的（　　）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 已知，那么n=6
B.
C. 分配6本不同的书，平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本共有90种不同的分配方法
D. 分配6本不同的书，分成3份，1份4本，另外2份每份1本共有30种不同的分配方法
10.已知，则（　　）
A. a0=1 B. a0+a1+a2+ +a9=0
C. a0-a1+a2-a3+ +a8-a9=-512 D. a0+a2+a4+a6+a8=256
11.三次函数f（x）=x2（x-3）的性质，下列说法正确的是（　　）
A. 函数f（x）在x=0处的切线方程为y=0
B. f（x）的极小值点为x=0
C. 当-4＜a＜0时，方程f（x）=a有三个实根
D. f（x）的图象关于点（1，-2）对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设A，B为两个事件，且，，则P（B）= .
13.已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程（x-a）2+（y-b）2=r2可表示不同的圆的个数为 .
14.设x1和x2是函数f（x）=x3+2ax2+x+1的两个极值点.若x2-x1=2，则a2= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设函数f（x）=x3-3x2-3bx+c在x=0处取得极大值1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[-1，3]上的最值.
16.(本小题15分)
若3男3女排成一排，分别求下列排列的种数.
（1）一共有多少种不同的排法？
（2）男生甲在排头或在排尾的排法总数？
（3）男生甲、乙相邻的排法总数？
（4）男女生相间的排法总数？
（5）甲乙两人相隔2人的排法总数？
17.(本小题15分)
已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128.
（1）求n；
（2）求展开式中含x项的系数；
（3）求展开式的第六项.
18.(本小题17分)
设f（x）=lnx,.
（1）当a=-2时，求函数y=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）+g（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（3）若曲线y=f（x）在点P（1，0）处的切线与曲线y=g（x）也相切，求a的值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（1）试用a表示出b，c；
（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】24
14.【答案】3
15.【答案】f（x）=x3-3x2+1 f（x）min=-3，f（x）max=1
16.【答案】720 240 240 72 144
17.【答案】n=7 -280 -672 x4
18.【答案】单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞） [-1，+∞） a=1
19.【答案】解：（1）∵，
∴
∴f（1）=a+a-1+c=2a-1+c．
又∵点（1，f（1））在切线y=x-1上，
∴2a-1+c=0 c=1-2a，
∴．
（2）∵，
f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，
设g（x）=f（x）-lnx，则g（x）=f（x）-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g（x）min≥0，
又∵，
而当时，．
1°当即时，
g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴；
2°当即时，
g'（x）=0时；
且时，g'（x）＜0，
当时，g'（x）＞0；
则①，
又∵与①矛盾，不符题意，故舍．
∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．
（3）证明：由（2）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，
则当时，在[1，+∞）上恒成立，
令x依次取…时，
则有，，
…
，
由同向不等式可加性可得
，
即，
也即，
也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．
解法二：①当n=1时左边=1，右边=ln2+＜1，不等式成立；
②假设n=k时，不等式成立，就是1+++…+＞ln（k+1）+（k≥1）．
那么1+++…++＞ln（k+1）++
=ln（k+1）+．
由（2）知：当时，有f（x）≥lnx （x≥1）
令有f（x）= （x≥1）
令x=得
∴
∴1+++…++＞
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立．
根据（1）和（2），可知不等式对任何n∈N*都成立．
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