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2025-2026学年福建省福州市第三中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={-4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B=（　　）
A. {0，1，2} B. {1，2，8} C. {2，8} D. {0，1}
2.设复数z满足（1+i)z=2i，则|z|=（　　）
A. B. C. D. 2
3.一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是s=3t-t2，则当t=0时物体的瞬时速度为（　　）
A. 0 B. 3 C. -2 D. 3-2t
4.在等差数列{an}中，“m=5”是“a3+a7=2am”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　）
A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种
6.某同学喜爱球类和游泳运动，在暑假期间，该同学上午去打球的概率为，若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为.已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（　　）
A. B. C. D.
7.已知抛物线C：y2=16x上任意一点P，定点A（6，2），若点M是圆（x-4）2+y2=4上的动点，则|PA|+|PM|的最小值为（　　）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
8.已知实数x,y满足x2+2log4x=2y+log2y,则x,y的大小关系不可能是（　　）
A. x＜y＜1 B. y＜x＜1 C. 1＜x＜y D. 1＜y＜x
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知空间中三点A（0，1，1），B（2，2，1），C（2，1，0），则（　　）
A.
B. 方向上的单位向量是
C. 是平面ABC的一个法向量
D. 在上的投影向量的模为
10.若，则（　　）
A. a0=2
B. a0+a1+a2+…+a2025=1
C.
D. a1+2a2+3a3+…+2025a2025=2025
11.双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与曲线C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M=，则（　　）
A. ∠A1MA2=
B. |MA1|=2|MA2|
C. C的离心率为
D. 当a=时，四边形NA1MA2的面积为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，an+1+an=2n-1，则S7= .
13.曲线在点（0，1）处的切线在y轴上的截距为 .
14.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5～1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量X，若其数学期望E（X）和方差D（X）均存在，则对任意正实数c,有P（|X-E（X）|＜ε）≥1-.根据该不等式可以对事件|x-E（X）|＜ 的概率作出估计，在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X，为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间（0.4，0.6）内，估计信号发射次数n的值至少为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽选了50名男生和50名女生，统计数据如下表所示：
经常锻炼 不经常锻炼 合计
男生 40 10 50
女生 30 20 50
合计 70 30 100
（1）从这100人中随机选一人，已知选到的学生不经常锻炼，求此人是女生的概率；
（2）试依据小概率值α=0.01的独立性检验，判断学生体育锻炼的经常性与性别是否有关.附：，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.01 0.001
xα 2.706 6.635 10.828
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足.
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
已知定义在R上的函数f(x)满足: 对任意x, yR都有f(x+y)= f(x)+f(y),
且当x>0时,f(x)>0.
(1)求f(0)的值,并证明f(x)为奇函数;
(2)判断函数f(x)的单调性,并证明;
(3)若f(k)+f(--)>0对任意x[-1,2]恒成立,求实数k的取值范围.
18.(本小题17分)
设O为坐标原点，椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）求△ABM面积的最大值；
（3）证明：∠OMA=∠OMB.
19.(本小题17分)
如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务．A市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：
消费金额（单位：百元） [0，5] （5，10] （10，15] （15，20] （20，25] （25，30]
频数 20 35 25 10 5 5
（1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，σ=660）．现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望；
（2）A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格．棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中P0=1），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到k+1），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k到k+2）．重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束．
①设棋子移到第n格的概率为Pn，求证：当1≤n≤59时，{Pn-Pn-1}是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9973．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】24
13.【答案】1
14.【答案】1250
15.【答案】 不能认为学生体育锻炼经常性与性别有关
16.【答案】（1） （2）
17.【答案】(1)证明:因为定义在R上的函数f(x)满足: 对任意x, yR都有f(x+y)= f(x)+f(y),
令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0,
令y=-x,则有f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x),
故函数 f(x)为奇函数.
(2)f(x)是R上的增函数.
证明如下:设>, 则, 所以 ,
由 ,得 ，
所以f(x)是R上的增函数;
(3)由题意可知,f(k+--)>0对任意x[-1,2]恒成立,
即f(k+--)>0对任意x[-1,2]恒成立,
由(1)知, f(0)=0, 所以f(k+--)>f(0)对任意x[-1,2]恒成立,
因为y=f(x)是R上的增函数, 所以k+-->0对任意x[-1,2]恒成立,
所以k>+-对任意x[-1,2]恒成立,
即k>1+-对任意x[-1,2]恒成立,
令t=,则t[,4],则g(t)=-4t+1,所以k>g,
当t=4时,g(t)的最大值为g(4)=16-16+1=1.
所以k>1
18.【答案】或 证明：当直线l与x轴重合时，
显然有∠OMA=∠OMB；当直线l与x轴不重合时，
设直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由（2）知．
点A关于x轴的对称点N（x1，-y1），
则直线BN的方程为（y+y1）（x2-x1）=（y1+y2）（x-x1），
令y=0，
解得，
则直线BN过点M．
故∠OMA=∠OMB
19.【答案】解：（1），
因为Z服从正态分布N（1050，6602），
所以．
所以X～B（20，0.8186），
所以X的数学期望为E（X）=20×0.8186=16.372．
（2）①棋子开始在第0格为必然事件，P0=1．
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即．
棋子移到第n（2≤n≤59）格的情况是下列两种，而且也只有两种：
（ⅰ）棋子先到第n-2格，又掷出反面，其概率为；
（ⅱ）棋子先到第n-1格，又掷出正面，其概率为，
所以，
即，且，
所以当1≤n≤59时，数列{Pn-Pn-1}是首项，公比为的等比数列．
②由①知，
以上各式相加，得，
所以=．
所以闯关成功的概率为，
闯关失败的概率为．
，
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率．
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