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2025-2026学年江西省赣州市高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在等差数列{an}中，a2+a8=10，则a5=（　　）
A. 10 B. 5 C. 8 D. 6
2.若函数f（x）满足f′（1）=m,，则m=（　　）
A. 3 B. -12 C. -3 D. 12
3.已知直线l1：mx-y-1=0与直线l2：5x-（m+4）y-5=0，若l1∥l2，则m=（　　）
A. 1或-5 B. -1或5 C. 1 D. -5
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则=（　　）
A. -5 B. -3 C. 5 D. 3
5.若二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的x3的系数为（　　）
A. 20 B. -20 C. -15 D. 15
6.盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为( )
A. B. C. D.
7.我国古代数学名著《九章算术》中有一算法它的前两步为：第一步：构造数列1，，，，…，①第二步：将数列①的各项均乘以同一个数，得到一个新数列a1，a2，a3，…，an则当n≥2时，a1a2+a2a3+a3a4+…+an-1an=（　　）
A. B. C. D.
8.如果数列{an}对任意的n∈N*，an+2-an+1＞an+1-an，则称{an}为“速增数列”.若数列{an}为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1=2，a2=4，ak=1024，则正整数k的最大值为（　　）
A. 44 B. 45 C. 46 D. 47
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.给出下列说法，其中正确的有（　　）
A. 两个变量线性相关性越强，则相关系数r就越接近于1
B. 离散型随机变量X服从两点分布，且P（X=1）=7P（X=0），则
C. 随机变量X～N（1，σ2），若，则
D. 用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60
10.下列选项正确的是（　　）
A. 已知等比数列{an}的前n项和为，则
B. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=3，S6=9，则S9=12
C. 已知数列{an}满足an+1=2an+3，a1=1，则
D. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，，则a30=59
11.已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A是双曲线C左支上一点，B为AF2的中点，若|OA|=|OF2|，O为坐标原点，则（　　）
A. 双曲线C的离心率为 B. |BF2|-|BO|=4
C. |AF1| |AF2|=12 D. 点A到x轴的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数y=2x2+1在点（1，3）处切线的斜率为 .
13.已知Tn为数列{an}的前n项积，若，则数列{Tn}的前n项和Sn= .
14.已知数列{an}满足a1=2，，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=9，S5=25.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11日至3月15日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期 3月11日 3月12日 3月13日 3月14日 3月15日
温差x（℃） 10 11 13 12 9
发芽数y（颗） 23 25 30 26 16
（1）从3月11日至3月15日中任选2天，记这两天中发芽的种子数超过25颗（不包含25颗）的天数为随机变量X，求X的分布列与期望；
（2）研究发现种子的发芽数与昼夜温差近似成线性关系，请你求出y关于x的线性回归方程.
附：回归方程中，，，
17.(本小题15分)
在公差不为零的等差数列{an}中，a1=1，且a1，a3，a13成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=2bn-2.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=an bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
18.(本小题17分)
如图，三棱台ABC-A1B1C1中，侧面四边形ACC1A1为等腰梯形，底面三角形ABC为正三角形，且AC=2A1C1=4，设D为棱A1C1上的点.
（1）若D为棱A1C1的中点，求证AC⊥BD；
（2）若三棱台ABC-A1B1C1两底面间的距离为，且侧面ACC1A1⊥底面ABC，试探究是否存在点D，使直线BD与平面BCC1B1所成角的正弦值为？若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由.
19.(本小题17分)
已知数列{an}满足a1=3，.
（1）证明：数列{a2n-1}为等差数列；
（2）求数列{an}的前n项和Tn；
（3）若将数列{an}中满足ai=aj的项ai，aj（i≠j）称为数列{an}中的相同项，将数列{an}的前20项中所有的相同项都剔除，求数列{an}的前20项中余下项的和.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】BD
12.【答案】4
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
X 0 1 2
P

17.【答案】an=2n-1，
18.【答案】证明：如图：取AC中点O，连接OB，OD，
因为四边形ACC1A1为等腰梯形，且D为A1C1中点，所以AC⊥OD，
又△ABC为正三角形，所以AC⊥OB，
OB，OD 平面BOD，OB∩OD=O，所以AC⊥平面BOD，
又BD 平面BOD，
所以AC⊥BD 存在，当D与A1点重合时，直线BD与平面BCC1B1所成角的正弦值为
19.【答案】因为，且a1=3，
设bn=a2n-1，则b1=a1=3，
所以，
所以bn+1-bn=3，
所以数列{bn}是首项为3，公差为3的等差数列，
即数列{a2n-1}为等差数列 564
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