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2025-2026学年河南省开封市五校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在t=2s时的瞬时速度为（　　）
A. 3m/s B. 6m/s C. 8m/s D. 9m/s
2.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2=4，S3=12，则{an}的公差d=（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3.甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（　　）
A. 61 B. 62 C. 63 D. 64
4.某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（　　）
A. 1440 B. 2160 C. 4320 D. 5760
5.=（　　）
A. B. C. D.
6.已知数列{an}满足a1=1，an-an-1=n（n≥2），设数列的前n项和为Sn，则S2026=（　　）
A. B. C. D.
7.已知定义域为R的函数f（x）满足，且f（x）+f′（x）＜0，则不等式的解集是（　　）
A. （2，+∞） B. （-∞，2） C. （0，+∞） D. （-∞，0）
8.某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中.A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题.参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答.若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.随机变量X的分布列如下：
X -1 0 1
P a b c
其中a,b,c成等差数列，则P（X=1）可以为（　　）
A. B. C. D.
10.学生食堂提供A，B，C，D共4种主食和a,b,c,d,e共5种配菜，李明同学想点2种主食与2种配菜，则（　　）
A. 不选主食A的方法种数为30 B. 主食B和配菜b都选的方法种数为12
C. 配菜c,d至少选1种的方法种数为54 D. 主食D，配菜d,e只选2种的方法种数为21
11.已知函数f（x）=x3-（m+3）x2+4mx+n,（m,n∈R），则下列结论正确的是（　　）
A. 当m＜3且时，f（x3）＞f（x2）
B. 若m=3，则f（x）+f（4-x）=16+2n
C. 若f（x）只有1个零点，则
D. 若f（x）的一个极值点为x1（x1≠2），且f（x1）=f（x2），其中x1≠x2，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量X服从两点分布，且P（X=1）=6P（X=0），则P（X=1）= .
13.（x+y+2z）5的展开式中，xy2z2的系数是 .
14.如图，设t是f（x）=0的根，选取a作为t的初始近似值，过点（a,f（a））作曲线y=f（x）的切线l,l与x轴的交点的横坐标为，称x1是t的一次近似值；过点（x1，f（x1））作曲线y=f（x）的切线，该切线与x轴的交点的横坐标为，称x2是t的二次近似值；…；重复以上过程，得到函数f（x）关于t的近似值数列{xn}，我们称{xn}为f（x）关于t的“牛顿数列”，其中.已知函数，数列{xn}为f（x）关于3的“牛顿数列”，且初始近似值a=9，设，若，则k的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x2-3x+lnx.
（1）求f′（x）的最小值；
（2）求f（x）的极值及在上的值域.
16.(本小题15分)
已知二项式的展开式中，各项系数的和为729.
（1）求的展开式中的常数项；
（2）令，求证：[f（4）]100-1能被6整除.
17.(本小题15分)
某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为0.04，当火灾发生时系统正确发出警报的概率为0.95，当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为0.02.
（1）求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率；
（2）若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率（精确到0.01）.
18.(本小题17分)
已知数列{an}满足a1=3且an+1=3an-2.
（1）证明：数列{an-1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）令，记{cn}的前n项和为Tn，证明：.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex+asinx+blnx+cx-2，a,b,c∈R.
（1）若a=b=0，讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若a=c=0，b=-1，证明：f（x）＞0；
（3）当a=1，b=0，c=-e时，若，且f（x1）=f（x2），f（x）在x=m（m＞0）处取得极值，求证：x1+x2＜2m.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】ABC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】120
14.【答案】4
15.【答案】 极大值为，极小值为-2；
16.【答案】240 由（1），得，所以f（4）=56，
所以[f（4）]100-1=5600-1=（6-1）600-1=+（-1）1…+-1
=…+=6×，
因为，
所以是6的倍数，即[f（4）]100-1能被6整除
17.【答案】0.0572 0.66
18.【答案】证明：∵a1=3且an+1=3an-2，
∴an+1-1=3（an-1），即
∴数列{an-1}是以a1-1=2为首项，3为公比的等比数列， 证明：，
∴{cn}的前n项和为Tn=
=
19.【答案】当c≥-1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当c＜-1时，f（x）在（0，ln（-c））上单调递减，f（x）在（ln（-c），+∞）上单调递增 证明：若a=c=0，b=-1，则f（x）=ex-lnx-2的定义域为（0，+∞），且，
因为在（0，+∞）上单调递增，则在（0，+∞）上单调递增，
且，
可知存在，使得f′（x0）=0，即，
当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0；可知f（x）在（0，x0）内单调递减，在（x0，+∞）内单调递增，
则，
因为，可得，
则，
当且仅当，即x0=1时，等号成立，
但，等号不成立，可得f（x）＞0，
所以a=c=0，b=-1时，f（x）＞0 证明：当a=1，b=0，c=-e时，f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=ex+cosx-e，
令g（x）=f′（x），x＞0，则g′（x）=ex-sinx，
当x∈（0，+∞）时，ex＞1，sinx≤1，则g′（x）=ex-sinx＞0，
可知g（x）在（0，+∞）内单调递增，即f′（x）在（0，+∞）内单调递增，
且，
可知存在，使得f′（m）=0，即em+cosm-e=0，
当x∈（0，m）时，f′（x）＜0；当x∈（m，+∞）时，f′（x）＞0；可知f（x）在（0，m）内单调递减，在（m，+∞）内单调递增，
所以x=m是f（x）的极小值点；因为，且f（x1）=f（x2），
不妨设x1＜x2，则，
要证x1+x2＜2m，即证x2＜2m-x1，
因为0＜x1＜m，则m＜2m-x1＜2m＜π，
又因为f（x）在（m，+∞）上单调递增，且f（x1）=f（x2），
因此只要证f（x1）=f（x2）＜f（2m-x1），
设h（x）=f（x）-f（2m-x）（0＜x＜m），则h（x）=ex+sinx-ex-e2m-x-sin（2m-x）+e（2m-x），
可得h′（x）=ex+e2m-x+cosx+cos（2m-x）-2e，
令φ（x）=h′（x）（0＜x＜m），则φ′（x）=ex-e2m-x-sinx+sin（2m-x），
设λ（x）=φ′（x）=ex-e2m-x-sinx+sin（2m-x）（0＜x＜m），
则λ′（x）=ex+e2m-x-cosx-cos（2m-x）＞1-cosx+1-cos（2m-x）≥0，
可知λ（x）在（0，m）上单调递增，即φ′（x）在（0，m）上单调递增，
则φ′（x）≤φ′（m）=0，可知φ（x）=h′（x）在（0，m）上单调递减，
则h′（x）＞h′（m）=0，可知h（x）在（0，m）上单调递增，可得h（x）＜h（m）=0，
所以x∈（0，m）时，f（x）＜f（2m-x），
又因为0＜x1＜m，所以f（x1）＜f（2m-x1）成立．
综上所述，x1+x2＜2m
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