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2025-2026学年河北省沧州市肃宁县第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.如图，在某城市中M，N两地之间有整齐的方格形道路网，A是道路网中的一个交汇处，小明要从道路网的M处出发，途经A处到达N处，则小明可以选择的最短路径条数为（　　）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
2.一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有（　　）
A. 64种 B. 72种 C. 186种 D. 216种
3.设n为自然数，则C2n-C2n-1+…+（-1）kC2n-k+…+（-1）nC=（　　）
A. 2n B. 1 C. -1 D. 0
4.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则q的值为（　　）
X 0 1 2 3
P 0.3-q 0.12 0.9-2q 0.16
A. 0.16 B. 0.09 C. 0.59 D.
5.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=，其中A的各位数中，a1=1，ak（k=2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为．记ξ=a1+a2+a3+a4+a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望Eξ=
A. B. C. D.
6.某同学为了解记忆成语的个数与花费的时间（单位：秒）的关系，做了5次试验，收集到的数据如表所示，由最小二乘法求得的回归直线方程为，则m+n的值为（　　）
成语个数x（个） 10 20 30 40 50
记忆时间y（秒） 61 m n 81 89
A. 127 B. 130 C. 133 D. 136
7.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（　　）
A. 250个 B. 249个 C. 48个 D. 24个
8.某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为80件、60件、60件.为了检验产品的质量，现按分层抽样的方法从以上所有产品中抽取50件进行检验，则应从丙型号产品中抽取（　　）
A. 10件 B. 15件 C. 20件 D. 30件
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知正态分布N（μ，的密度曲线是f（x）=，x∈R的图象.下列说法正确的是（　　）
A. 对任意x∈R，f（μ+x）=f（μ-x）成立
B. 如果随机变量X服从N（μ，σ2），且F（x）=P（X＜x），那么F（x）是R上的增函数
C. 如果随机变量X服从N（108，100），那么X的期望是108，标准差是100
D. 随机变量Ⅹ服从N（μ，σ2），P（X＜1）=，P（X＞2）=P，P（0＜X＜2）=1-2P
10.进入21世纪以来，全球二氧化碳排放量增长迅速，自2000年至今，全球二氧化碳排放量增加了约40%，我国作为发展中国家，经济发展仍需要大量的煤炭能源消耗．如图是2016-2020年中国二氧化碳排放量的统计图表（以2016年为第1年）．
利用图表中数据计算可得，采用某非线性回归模型拟合时，；采用一元线性回归模型拟合时，线性回归方程为，．则下列说法正确的是（　　）
A. 由图表可知，二氧化碳排放量y与时间x正相关
B. 由决定系数可以看出，线性回归模型的拟合程度更好
C. 利用线性回归方程计算2019年所对应的样本点的残差为-0.30
D. 利用线性回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨
11.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（　　）
A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54
B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为AC
C. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是CCA+CA
D. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为（CC+CC）A
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为______．
13.某班有40名学生，一次考试后数学成绩X～N（115，σ2），若P（110≤X≤115）=0.25，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为 .
14.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.在照射后14天的结果如下表所示：
电离辐
射剂量 存活情况
死亡 存活 总计
第一种剂量 14 11 25
第二种剂量 6 19 25
总计 20 30 50
由表中数据算得：χ2= ，说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用 .（填“相同”或“不相同”）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
（1）第1次抽到理科题的概率；
（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
16.(本小题15分)
袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球a+1个，黄球a个，蓝球1个.现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.若从该袋子中任取一个球，所得分数X的数学期望为.
（1）求正整数a的值；
（2）从该袋中一次性任取3个球，求所得分数之和等于5的概率.
17.(本小题15分)
已知展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．
18.(本小题17分)
某商场采用派发抵用券的方式刺激消费，设计了两个抽奖方案.方案一：客户一次性抛掷两个质地均匀的骰子，若点数之积为12，获得900元的抵用券，若点数相同，获得600元的抵用券，其他情况获得180元的抵用券.方案二：盒子中有编号为1，2，3，4的小球各一个（除编号外其他均相同），客户从中有放回地摸球两次，若两次摸球的编号相同，获得600元的抵用券，若两次摸球的编号之和为奇数，获得a（200≤a＜600）元的抵用券，其他情况获得100元的抵用券.
（1）若客户甲从两个方案中随机选择一个抽奖，求甲能获得不低于600元抵用券的概率；
（2）客户乙选择方案二的抽奖方式，记乙获得的抵用券金额为X，若E（X）≥400，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
设，且已知展开式中所有二项式系数之和为1024.
（1）求n的值以及二项式系数最大的项；
（2）求3a1+32a2+ +3nan的值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】4
13.【答案】10人
14.【答案】5.333
不相同

15.【答案】解：一个基本事件是从5道题中不放回地抽取2道，它包含的基本事件数是A52=5×4=20．（1）设第一次抽到理科题为事件A，则它包含的基本事件的个数为A31A41=12，于是P（A）==．
（2）设第1次和第2次都抽到理科题为事件B，则它包含的基本事件数为A31A21=6，于是P（B）=．
（3）因为5道题中有3道理科题和2道文科题，所以第一次抽到理科题的前提下，第2次抽到理科题的概率为P=．
16.【答案】解：（1）由题意有，，，
有，解得a=2；
（2）结合（1）知，袋子中红、黄、蓝球的个数分别是3，2，1，
共6个球，从中任取3个，得分之和为5，包括如下两种情况：
①一个红球，两个黄球，所求概率为；
②两个红球，一个蓝球，所求概率为，
故从该袋中一次性任取3个球，所得分数之和等于5的概率为．
17.【答案】解：展开式中的通项为==，
令=0，可得20-5r=0，即r=4，
则常数项T5=×=16，
由题意得展开式中各项系数之和等于16
又展开式的各项系数之和等于2n，
则2n=16，即n=4，
由题意得的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，
又展开式中二项式系数最大的项是中间项，
则=54，即a=±．
18.【答案】解：（1）若客户选择方案一，则能获得不低于600元抵用券的概率为，
若客户选择方案二，则能获得不低于600元抵用券的概率为，
故甲从两个方案中随机选择一个抽奖，能获得不低于600元抵用券的概率为；
（2）由题可知X的取值可能为100，a,600，
又，，，
则，
由E（X）≥400，解得a≥450．
又200≤a＜600，
所以a的取值范围为[450，600）．
19.【答案】解：（1）∵展开式中所有二项式系数之和为1024，即,∴n=10，
故二项式系数最大的项为T6= =．
（2）∵，
∴令x=0，可得a0=1．
∴=1+a1x+a2x2+a3x3+ +anxn，
令x=3，可得1+3a1+32a2+ +3nan=0，
∴3a1+32a2+ +3nan=-1．
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