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2025-2026学年广东省江门市蓬江区棠下中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f（x）在x=x0处的导数为12，则=（　　）
A. -36 B. -4 C. 4 D. 36
2.随机变量ξ的分布列如表格所示，其中2b=a+c,则b等于（　　）
ξ -1 0 1
P a b c
A. B. C. D.
3.公差不为零的等差数列{an}的前为n项和为Sn，若S15=5（a2+a6+ak），则k=（　　）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 9
4.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（　　）
A. 30种 B. 35种 C. 42种 D. 48种
5.（1-2x）（1+3x）4的展开式中x2的系数是（　　）
A. -26 B. 26 C. -30 D. 30
6.若函数f（x）=-x+alnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
7.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列.则（　　）
A. B. C. D.
8.甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用A1，A2，A3表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列错误的是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.一组数据x1，x2，x3，…，x10满足xi-xi-1=2（2 i 10），若去掉x1，x10后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（　　）
A. 极差变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小
10.如图，正方形ABCD的边长为5cm,取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，{an}的前n项和为Sn，则（　　）
A. B. C. D.
11.已知函数f（x）=exln（x+1），则（　　）
A. 曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=2x
B. f′（x）在（0，+∞）上单调递增
C. 对任意的x1，x2∈（0，+∞），有f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）
D. 对任意的x1，x2，x3∈（0，+∞），x1＜x2＜x3，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{An}的首项为2，公差为8，在{An}中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{an}，数列{an}的通项公式an=______．
13.将5名同学安排到3个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种.（用数字作答）
14.小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知离散型随机变量X的分布列如表所示：
X 0 1 2
P 0.25 1-q q2
求：
（1）常数q的值；
（2）E（X）和D（X）.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-及x=1处取得极值.
（1）求a,b的值；
（2）若方程f（x）=0有三个不同的实根，求c的取值范围.
17.(本小题15分)
某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为ξ.
（1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率；
（2）求离散型随机变量ξ的分布列与期望.
18.(本小题17分)
已知数列{an}的首项为，点（an，an+1）在函数的图象上.
（1）求证：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Sn.
19.(本小题17分)
f（x）是定义在R上的连续可导函数，f′（x）是f（x）的导函数，f′（0）=1，且 x,y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）+ex+y-ex-ey.
（1）求f（0）与f′（1）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）关于x的方程f（x）-kx-a=0（k＞0，a＞1）有两个不同的实数根x1，x2，证明：x1+x2＜2lnk.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】2n,（n∈N+）
13.【答案】150
14.【答案】
15.【答案】q=0.5 E（X）=1，D（X）=0.5
16.【答案】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c,得f′（x）=3x2+2ax+b,
∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-及x=1处取得极值，
∴和1是方程3x2+2ax+b=0的两根，则，解得a=-1，b=-1；
（2）由（1）得f（x）=x3-x2-x+c,
f′（x）=3x2-2x-1，结合（1）可知，该函数的零点为，1，
由f′（x）＜0，得＜x＜1，由f′（x）＞0，得x＜或x＞1，
∴f（x）的极小值为f（1）=c-1，极大值为f（）=+c,
若方程f（x）=0有三个不同的实根，只需，
解得-＜c＜1，
∴c的范围是（-，1）．
17.【答案】；
18.【答案】根据题意，点（an，an+1）在函数的图象上，
则，变形可得①，
则，即，
又，所以是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，整理得
19.【答案】f（0）=1，f′（1）=e f（x）=ex 证明：设g（x）=f（x）-kx-a=ex-kx-a，因此g′（x）=ex-k，
结合k＞0，g′（x）＞0 x＞lnk，g′（x）＜0 x＜lnk，
从而g（x）在（-∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，
又x→-∞，g（x）→+∞，x→+∞，g（x）→+∞，
f（x）-kx-a=0有两个不等实根，因此g（lnk）=k-klnk-a＜0，
设x1＜x2，因此x1＜lnk＜x2，
要证：x1+x2＜2lnk，即证x1＜2lnk-x2，因lnk＜x2，因此2lnk-x2＜lnk，
结合g（x）在（-∞，lnk）上单调递减，
要证x1＜2lnk-x2，即证g（x1）＞g（2lnk-x2），
又g（x1）=g（x2）=0，
要证g（x1）＞g（2lnk-x2），即证：g（x2）＞g（2lnk-x2） g（x2）-g（2lnk-x2）＞0，
令G（x）=g（x）-g（2lnk-x）=ex-kx-e2lnk-x+k（2lnk-x），x≥lnk，
因此（x=lnk时取等号），
即G（x）在[lnk，+∞）上单调递增，从而x2＞lnk时，G（x2）＞G（lnk）=0，
即g（x2）-g（2lnk-x2）＞0，从而命题得证
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