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2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：第七章 相交线与平行线、第八章 实数、第九章 平面直角坐标系、第十章 二元一次方程组、第十一章 不等式与不等式组、第十二章 数据的收集、整理与描述。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴的对应关系以及无理数的估算．先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案．
【详解】A、因为，所以，则，不符合数轴上手掌遮挡点的位置．
B、因为，所以，则，符合数轴上手掌遮挡点的位置．
C、因为，所以，则，不符合数轴上手掌遮挡点的位置．
D、因为是正数，不符合数轴上手掌遮挡点的位置．
故选：B．
2．点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．
根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征判断即可．
【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，
∴点在第四象限．
故选：D．
3．小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的消元方法，通过计算后的式子，令y的系数为0，即可得到m和n满足的条件．
【详解】解：，
，
，
，
消去了未知数y，
∴y的系数为0，即，
∴选B．
4．小明为了解同学们的课余生活，设计如表调查问卷：小莉认为选项不合理，应该删去的一项是（ ）
你平时最喜欢的一项课余活动是（ ） ①看课外书 ②体育活动 ③做手工 ④打球
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】本题考查了调查问卷的设计要求，调查问卷的选项需满足独立性，不能有包含重复关系，只需判断选项间的关系即可得到答案．
【详解】解：依题意，设计调查问卷时，各选项需互不重叠，本题中④打球属于②体育活动的范畴，二者存在包含重复关系，选项设置不合理，
故应该删去的是④．
5．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；⑤三角形的三条高交于一点
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查平行公理、点到直线的距离、垂线性质、平行线性质及三角形高的性质．需逐一分析各命题的正确性．熟练掌握所学公理即定理是解题的关键．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题；
②从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，②是假命题；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，③是真命题；
④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④是假命题；
⑤三角形的三条高所在的直线交于一点，⑤是假命题；
综上，真命题为③，只有１个．
故选：A．
6．下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查算术平方根，平方根，积的乘方，立方根，根据相关知识判断各选项即可．
【详解】选项A： 表示算术平方根，值为2，不符合题意；
选项B：，不符合题意；
选项C：，不符合题意；
选项D：，则，符合题意；
故选D．
7．已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据题意可得，易知，结合可得的取值范围，进而可得答案．
【详解】解：∵,
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴的最小值是．
8．若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值．
【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为，
将代入第一个方程组的，得：①，
代入第二个方程组的，得：②，
将①和②相加：，
整理得：，
则．
故选：D．
9．对任意两个实数a，b定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题关键，根据新定义计算即可．
【详解】解：∵
∴
∵，，
∴
故
故选：C
10．将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
，
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到，从而可以解答本题．
【详解】解：，，
不一定等于，
和n不一定平行，故①不符合题意；
，，
不一定等于，
和n不一定平行，故②不符合题意；
过点C作，
，，
，
，
，故③符合题意；
，
，
，故④符合题意；
，，，
，
，故⑤符合题意；
故选：C．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．比较大小：3 （填写“”或“”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12．能说明“若 则”是假命题的一个反例是 ．(写出一个即可)
【答案】(答案不唯一）
【分析】本题考查了假命题的反例构造，解题的关键是找到满足但的数值．
选取负数作为，正数作为，验证且即可．
【详解】解：取，，则，，满足，但，故该例子可作为反例．
故答案为：，（答案不唯一）．
13．某市环保部门为了解该市500家化工企业的废水排放达标情况，随机抽取了其中30家企业进行详细检测．这种调查方式是______．（填“普查”或“抽样调查”）
【答案】
抽样调查
【详解】解：由题意，这种调查方式是抽样调查.
14．已知是方程的解，则代数式的值是 ．
【答案】2026
【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，掌握将方程的解代入方程得到系数关系，再整体代入代数式求值是解题的关键．
将方程的解代入方程得到关系式，再代入代数式求值．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：．
15．在平面直角坐标系中，把点向左平移3个单位长度得到点，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移；根据平面直角坐标系中点平移的规律，向左平移时横坐标减少，纵坐标不变，列出等式，再整体代入代数式求值即可．
【详解】解：∵点向左平移3个单位长度后，新点的坐标为，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
16．如图，将直角三角形沿的方向平移得到直角三角形，交于点，若，，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移的性质，梯形的面积公式，解题关键是熟练掌握平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；平移后，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
根据平移的性质，得到，利用梯形公式求出面积，即可得到答案．
【详解】解：由平移的性质可知，
∵，
∴，
∵ ，
∴ ，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了立方根和平方根，熟练掌握定义是解此题的关键．
（1）利用平方根的定义解方程即可得出结果；
（2）利用立方根的定义解方程即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．（8分）解不等式组并将解集在数轴上表示出来．
【答案】
【分析】先分别求出两个不等式的解集，并在数轴上表示，即可得出不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①，得；
解不等式②，得，
在数轴上表示不等式组的解集为：
所以不等式组的解集是．
19．（8分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？
【答案】甜果买了657个，苦果买了343个
【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决古代问题，解题的关键是找准等量关系．
设甜果买x个，苦果买y个根据数量和钱数，列出方程组求解即可．
【详解】解：设甜果买x个，苦果买y个．
列方程组得，，
解得，
答：甜果买了657个，苦果买了343个．
20．（8分）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作的垂线段；
(2)过点作的平行线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段．
（1）可证，则，因，，，即．
（2）可证，则，又，，即可求解．
【详解】（1）如图，连接，即为所求作的垂线段．
如图，则，因，
∴，
∴，即．
（2）如图，即为所求作的平行线．
如图，，则，又，
∴，
∴．
21．（8分）某校八年级学生参加“汉字听写大赛”，成绩分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，随机抽取部分学生的成绩统计如下表：
等级 优秀 良好 合格 不合格
人数 15 25 10 5
(1)求本次抽取的学生人数；
(2)求“良好”等级的人数所占的百分比，精确到．
【答案】(1)55；
(2)．
【分析】（1）根据样本容量等于各频数之和计算即可；
（2）用“良好”等级的人数除以样本容量即可．
【详解】（1）解：总人数（人）．
（2）解：“良好”等级的百分比．
22．（10分）已知点A的坐标为．
(1)若点A在x轴上，求点A的坐标．
(2)若点A在过点且与y轴平行的直线上，求点A的坐标．
(3)若将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，求x的值．
【答案】(1)点A的坐标为
(2)点A的坐标为
(3)或
【分析】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面内点的坐标特征，平移的性质是解题的关键．
（1）根据x轴上点的特征进行解答，即可得出答案；
（2）根据点A在过点且与y轴平行的直线上，得到A，B两点的横坐标相同，求出x的值，则可得出答案；
（3）由题意得出，解方程可得出答案．
【详解】（1）∵点A在x轴上，
∴
∴，
∴，
∴点A的坐标为．
（2）∵点A在过点且与y轴平行的直线上，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标为
（3）∵将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，
∴，
∴或．
23．（12分）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，．
(1)依题意在图1中补全图形，并证明：；
(2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证；
（2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可．
【详解】（1）解：补全图形如图所示：
证明：根据平移的性质可知，，
如图，过点作，
则，
，，
，
；
（2）解：如图，当在的外部时，
∵，，
∴，
根据平移的性质可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当在的内部时，
∵，，
∴，
根据平移的性质可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，与之间的数量关系为或．
24．（12分）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”．
(1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由；
(2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围；
(3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
(3)整数的最小值为2．
【分析】（1）解方程求得方程的解，根据定义判定求解即可；
（2）解方程组求得方程组的解，根据定义建立不等式，求解即可；
（3）根据定义求解即可．
【详解】（1）解：是，理由如下：
解方程，得．
解不等式，得，
又因为，
所以方程的解是不等式的“内含解”；
（2）解：，
由，得，
又因为，
所以，
解得；
（3）解：解方程，得．
因为，
所以．
解不等式，
得．
由“内含解”的定义，得，
解得，
所以整数的最小值为2．
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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：第七章 相交线与平行线、第八章 实数、第九章 平面直角坐标系、第十章 二元一次方程组、第十一章 不等式与不等式组、第十二章 数据的收集、整理与描述。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
2．点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．小明为了解同学们的课余生活，设计如表调查问卷：小莉认为选项不合理，应该删去的一项是（ ）
你平时最喜欢的一项课余活动是（ ） ①看课外书 ②体育活动 ③做手工 ④打球
A．① B．② C．③ D．④
5．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；⑤三角形的三条高交于一点
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（ ）
A．-1 B． C． D．
8．若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
9．对任意两个实数a，b定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于（ ）
A． B．3 C．2 D．
10．将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．比较大小：3 （填写“”或“”）．
12．能说明“若 则”是假命题的一个反例是 ．(写出一个即可)
13．某市环保部门为了解该市500家化工企业的废水排放达标情况，随机抽取了其中30家企业进行详细检测．这种调查方式是______．（填“普查”或“抽样调查”）
14．已知是方程的解，则代数式的值是 ．
15．在平面直角坐标系中，把点向左平移3个单位长度得到点，则代数式的值为 ．
16．如图，将直角三角形沿的方向平移得到直角三角形，交于点，若，，，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
18．（8分）解不等式组并将解集在数轴上表示出来．
19．（8分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？
20．（8分）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作的垂线段；
(2)过点作的平行线．
21．（8分）某校八年级学生参加“汉字听写大赛”，成绩分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，随机抽取部分学生的成绩统计如下表：
等级 优秀 良好 合格 不合格
人数 15 25 10 5
(1)求本次抽取的学生人数；
(2)求“良好”等级的人数所占的百分比，精确到．
22．（10分）已知点A的坐标为．
(1)若点A在x轴上，求点A的坐标．
(2)若点A在过点且与y轴平行的直线上，求点A的坐标．
(3)若将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，求x的值．
23．（12分）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，．
(1)依题意在图1中补全图形，并证明：；
(2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系．
24．（12分）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”．
(1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由；
(2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围；
(3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值．
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