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2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则（ ）
A． B． C．4 D．5
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
3．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下表（有两个数据被遮盖）：
组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数
得分 91 86 ■ 90 93 90 ■
被遮盖的两个数据分别是（ ）
A．90，2 B．91，2 C．90，90 D．91，90
4．已知为所在平面内的一点，，则（ ）
A． B． C． D．
5．天气预报预测未来三天每天下雨的概率都为60%．现采用随机的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用计算机产生出之间的整数随机数，指定0，1，2，3表示不下雨，4，5，6，7，8，9表示下雨．经随机产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计这三天中恰有两天下雨的概率为（ ）
A．0.35 B．0.3 C．0.25 D．0.2
6．若一组样本数据，，，的平均数为3，方差为2；另一组样本数据，，，，3的方差为，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．如图，已知四棱锥，平面平面，是边长为4的等边三角形，，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（ ）
A．采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为
C．发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率
D．当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
10．已知为复数，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
11．某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者．竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（ ）
A．的值为0.04
B．估计样本成绩的众数约为85
C．估计样本成绩的上四分位数约为87.5
D．若规定成绩排名前的同学可入围决赛，估计进入决赛的同学成绩应不低于90分
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在如图所示的7个几何体中，有________个是棱柱．
13．若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为____________.
14．容量为的一组数据，它的第百分位数（为1到99之间的整数）各不相同，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：

(1)分别找出与，相反的向量；
(2)分别找出与，相等的向量.
16．（15分）
如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．
(1)画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；
(2)若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
17．（15分）
投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭投入壶中计算得分，每场投中情况分“有初”、“贯耳”、“散射”、“双耳”、“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，投不中算“零筹”.现有比赛分两轮，第一轮是每人单独进行两场，只要获得筹数之和不为零就可以进入第二轮；第二轮为淘汰赛，两人比赛三场，以获得的总筹数多者为胜．假设每场比赛中甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，
(1)求乙每场比赛获得的筹数不超过两筹的概率；
(2)求甲能进入第二轮的概率；
(3)现甲、乙两人均进入第二轮．且比赛第一场，两人平局，第二场，甲投中“贯耳”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，求甲获胜的概率．
18．（17分）
如图，在等腰梯形中，，.将沿着翻折，使得点到点，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角平面角的正切值；
(3)求点到平面的距离.
19．（17分）
为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人.
(1)求图中的值；
(2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小；
(3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.
（注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
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2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据复数模的定义计算可得.
【详解】复数，则,
故选：A.
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
【答案】A
【分析】根据棱锥、棱台、棱柱的定义和性质逐一对选项ABC进行判断，通过举反例对选项D进行判断.
【详解】对于A选项，由棱锥的定义判断A正确；
对于B选项，只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，所以B错误；
对于C选项，棱柱的底面可为任意平面多边形，所以C错误；
对于D选项，斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，所以D错误.
故选：A.
3．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下表（有两个数据被遮盖）：
组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数
得分 91 86 ■ 90 93 90 ■
被遮盖的两个数据分别是（ ）
A．90，2 B．91，2 C．90，90 D．91，90
【答案】C
【分析】设丙的成绩为，根据平均值可求，再根据数据得到众数即可.
【详解】设丙的成绩为，
则平均成绩，解得，众数为90.
故选：C.
4．已知为所在平面内的一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形的几何性质分解向量即可得解.
【详解】如图所示，
由题意得.
故选：C.
5．天气预报预测未来三天每天下雨的概率都为60%．现采用随机的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用计算机产生出之间的整数随机数，指定0，1，2，3表示不下雨，4，5，6，7，8，9表示下雨．经随机产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计这三天中恰有两天下雨的概率为（ ）
A．0.35 B．0.3 C．0.25 D．0.2
【答案】C
【分析】在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨通过列举得到共5组随机数，根据古典概型概率公式得到结果.
【详解】由题意知：在20组随机数中恰有两天下雨的有可以通过列举得到：
907 925 683 257 537共5组随机数，
所以所求概率为.
故选：C
6．若一组样本数据，，，的平均数为3，方差为2；另一组样本数据，，，，3的方差为，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据方差公式代入求解，即可得出答案.
【详解】，，，这组样本数据的平均数为3，可得 ，则，
新增一个数据3后，数据变为 ，
则新数据的平均数为 ，
已知原数据 的方差为 2 ，根据方差公式可得 ，
则，
所以新数据的方差为，,
则 ，化简可得 ，解得.
7．如图，已知四棱锥，平面平面，是边长为4的等边三角形，，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设的中点为，连接，，根据等腰三角形性质，可证，根据面面垂直的性质定理，可证平面，根据线面垂直的性质定理，可证，作于点，连接，可得是二面角的平面角，求得各个长度，根据余弦函数的定义，即可得答案.
【详解】如图，设的中点为，连接，，
在中，，，则，
且，
，为的中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
作于点，连接，
，平面，，平面，
平面，，
是二面角的平面角，
在中，，有，即，
，
在中，，
在中，，
.
故选：B.
8．进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（ ）
A．采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为
C．发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率
D．当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关
【答案】C
【分析】利用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式依次求出各项中对应事件的概率，即可得.
【详解】A：由题意，发送0时，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为，
所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，错；
B：发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为，
采用三次传输方案，发送数码0，译码为0的情况有、、、，
对应概率依次为、、、，故所求概率为，错；
C：由B分析，三重传输时，发送数码0，译码为0的概率为，
单次传输时，发送数码0，译码为0的概率为，
所以，
又，则，即三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率，对；
D：单次传输时，发送0，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为，
三重传输时，发送0，收到0的概率为，发送1，收到1的概率为，
所以时，译码正确的概率与传输数码内容无关，结合C分析，显然或1时，译码正确的概率才与传输方案无关，错.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
【答案】ABD
【分析】根据空间几何体的结构特征判断即可.
【详解】圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确；
因为母线长相等，得到圆锥的轴截面是一个等腰三角形，B正确；
圆台平行于底面的截面是圆面，D正确；
直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体， C不正确，
故选：ABD.
10．已知为复数，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
【答案】BD
【分析】用特殊值法判断A，C；根据复数的运算性质及共轭复数的含义判断B；根据复数的运算性质及复数的模的计算判断D .
【详解】对于A，若，则，而，故A错误；
对于B，设，，
则，所以.
，故B正确；
对于C，若，显然满足，但1，故C错误；
对于D，设，
所以，
所以，
又，所以，故D正确．
故选：BD．
11．某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者．竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（ ）
A．的值为0.04
B．估计样本成绩的众数约为85
C．估计样本成绩的上四分位数约为87.5
D．若规定成绩排名前的同学可入围决赛，估计进入决赛的同学成绩应不低于90分
【答案】ABC
【分析】由所有矩形的面积和为1，求出的值，即可判断A；由众数的定义求出其值，即可判断B；求出上四分位数，即可判断C；由题意可得绩不低于90分的同学占总体的，即可判断D.
【详解】对于A，由题意可得，
解得，故A正确；
对于B，设样本的众数为，则，故B正确；
对于C，设样本成绩的上四分位数为，
由题意可得，
所以，所以，故C正确；
对于D，因为成绩不低于90分的同学占总体的，不满足题意，故D错误.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在如图所示的7个几何体中，有________个是棱柱．
【答案】3
【详解】由棱柱的定义；有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，
其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱，
所以①③⑤是棱柱，即有3个是棱柱．
13．若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为____________.
【答案】
【分析】令，由复数相等可求出复数z,从而得到虚部.
【详解】令，
所以，可得
，其虚部为.
故答案为：
14．容量为的一组数据，它的第百分位数（为1到99之间的整数）各不相同，则的最小值为________．
【答案】
【分析】由百分位数的定义可证明，再说明可能取到，即得结果.
【详解】由百分位数的定义，按从小到大排列原始数据，第百分位数，
如果不是整数，则第百分位数为大于的比邻整数数位的数据，
如果是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数.
所以，一方面，若容量为的一组数据的第百分位数各不相同.
这个数本身有个，相邻两个数的平均数有个，这共有个数.
而每个第百分位数都是这个数之一，这些百分位数又各不相同.
所以，即；
而另一方面，这组数据的第百分位数分别是，各不相同.
所以，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：

(1)分别找出与，相反的向量；
(2)分别找出与，相等的向量.
【答案】(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有，
(2)相等的向量为，，相等的向量为
【分析】运用相等向量，相反向量概念可解.
【详解】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量.
与相反的向量有，，；与相反的向量有，.
（2）方向相同，大小相等的向量是相等向量.
则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，.
同理，与相等的向量为.
16．（15分）
如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．
(1)画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；
(2)若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
【答案】(1)作图见解析，4；
(2)，．
【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出的边长，即可求出四边形的面积.
（2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解.
【详解】（1）在直观图中，，，
则在平面图形中，，，于是，
所以平面四边形的平面图形如下图所示：
由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为．
（2）直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；
圆锥的高为，母线长为，
所以体积；
所以表面积.
17．（15分）
投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭投入壶中计算得分，每场投中情况分“有初”、“贯耳”、“散射”、“双耳”、“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，投不中算“零筹”.现有比赛分两轮，第一轮是每人单独进行两场，只要获得筹数之和不为零就可以进入第二轮；第二轮为淘汰赛，两人比赛三场，以获得的总筹数多者为胜．假设每场比赛中甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，
(1)求乙每场比赛获得的筹数不超过两筹的概率；
(2)求甲能进入第二轮的概率；
(3)现甲、乙两人均进入第二轮．且比赛第一场，两人平局，第二场，甲投中“贯耳”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，求甲获胜的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式计算即可.
（2）根据对立事件的概率公式计算即可.
（3）根据独立事件的概率乘法公式及古典概型枚举法计算即可.
【详解】（1）每场比赛获得的筹数与概率列表如下：
筹数 2 4 5 6 10 0
设乙每场比赛获得的筹数不超过两筹为事件，
（2）设甲能进入第二轮为事件B，.
（3）若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得三筹．分以下四种情况：
①甲得“四筹”，乙得“零筹”，此种情况发生的概率；
②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率；
③甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率；.
④甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”或“六筹”，此情况发生的概率，
故甲获胜的概率．
18．（17分）
如图，在等腰梯形中，，.将沿着翻折，使得点到点，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角平面角的正切值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）要证明面面垂直，可通过线面垂直推导出面面垂直，即证明平面即可.
（2）首先作适当的辅助线，根据线面垂直找出二面角的平面角，然后根据边角关系求出正切值.
（3）根据等体积法，，即可求出点到平面的距离.
【详解】（1）证明：
连接，根据余弦定理，
∴，，∴，
又已知，平面，
∴平面，∵平面，
∴平面平面；
（2）
由（1）知平面平面，平面平面，
作于（中点），则平面，
作于，连接，因为平面，
所以平面，
∴，所以为二面角的平面角，
因为，
∴.
所以二面角平面角的正切值为.
（3）记点到平面的距离为，
∵，∴，
由（2）知，所以根据勾股定理可得，
∴.
所以点到平面的距离为.
19．（17分）
为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人.
(1)求图中的值；
(2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小；
(3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.
（注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解；
（2）利用组中点值与对应频率的乘积和，计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小；
（3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算.
【详解】（1）餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为，
频率分布直方图组距为2，故.
所有区间频率和为，
即，解得，
所以.
（2）餐厅满意指数平均数；
餐厅满意指数平均数.
因为，所以餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数.
（3）餐厅第三组频率为0.4，人数为，平均数7，方差2；
第四组人数为，平均数9，方差1，
混合数据平均数，
方差
.
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