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上海市宝山区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（ ）
A. B. C. D.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a8＜0，S11＞0，则Sn的最大值为（　　）
A. S5 B. S6 C. S7 D. S8
3.设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.已知，，，连接动点与、形成的直线斜率记为、，且满足．设点的轨迹为曲线．有以下命题：
①曲线关于原点中心对称；
②曲线与直线恒有交点；
③曲线上的点到原点的距离的最小值为；
④存在直线与曲线有且仅有一个交点．
其中正确的命题序号为（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.直线y=1的斜率是 .
6.已知为等差数列，，，则公差 ．
7.已知向量平行于向量，则 ．
8.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 .
9.平行直线与间的距离为 .
10.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为 ．
11.已知数列满足，，则 ．
12.已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ．
13.数列的通项公式，则 .
14.圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则 ．
15.已知实数、、、满足，则的最小值为 ．
16.某地区新建农田灌溉系统，水渠横断面（垂直于水渠长度方向的截面）采用抛物线型设计（如图所示）：其中的曲线段是顶点为、开口向上的抛物线弧，曲线段与曲线段关于抛物线的对称轴对称，渠宽为2米，渠深（到直线的距离）为1米．现要将该水渠向外扩建（只挖土不填土）变成横断面为等腰梯形的水渠，使得水渠底面与地面平行，不考虑其他因素的条件下，当扩建后水渠的底部宽度为 米时，所挖的土方量最少．（精确到0.01米）
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知直线l1：（m+2）x+my-6=0和直线l2：mx+y-3=0，其中m为实数.
（1）若l1⊥l2，求m的值；
（2）若点P（1，2m）在直线l2上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程.
18.(本小题14分)
如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点、分别在棱和棱上，且，．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成二面角的大小；
(3)求点到平面的距离．
19.(本小题14分)
已知数列满足：，，且对任意正整数都成立．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值．
20.(本小题18分)
在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数、，满足，且．”
(1)请将该命题类比到空间中，并证明．
(2)在四面体中，已知，，．点在平面内，且满足．
①求的值；
②求的值．
21.(本小题18分)
已知抛物线，焦点为．
(1)若抛物线上一点到轴的距离是其到焦点距离的一半，求的长度；
(2)已知、为上两点，且．求面积的最小值；
(3)抛物线的准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于、两点（点在点、之间），点满足．记、的面积分别为、，求的最小值．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】0
6.【答案】2
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】8
15.【答案】
16.【答案】0.71
17.【答案】解：（1）
若m=0，则直线l1：2x-6=0，即x=3，
l2：y=3，两直线垂直，符合题意；
若m≠0，则，
解得m=-3，
综上所述，m=-3或0；
（2）由P（1，2m）在直线l2上，
则m+2m-3=0，解得m=1，
故P（1，2），
显然直线l的斜率一定存在且不为0，
设直线l的方程为y-2=k（x-1），
令x=0，可得y=2-k，
再令y=0，可得，
在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，
所以，解得k=2或k=1，
所以直线l的方程为2x-y=0或x-y+1=0．
18.【答案】解：(1)证明：直三棱柱中，．
以为原点，以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则、、，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，得，
令，则，，
得到平面的一个法向量，
又，，，
因为，所以，
又在平面外，所以平面．
（2）易知平面的一个法向量为．
则，
所以平面与平面所成二面角是或．
（3）因为，，
所以点到平面的距离．

19.【答案】解：(1)因为，对一切正整数成立，
所以，即，
因为，，所以，
所以数列是以为首项，4为公比的等比数列．
（2）由（1）得，
所以通过累加得
，
当时，，满足上式，
综上所述，．
（3），
从而，
所以，
当无限增大，的值越来越趋近于0 且小于0，所以的值越来越趋近于且小于，
所以对任意正整数，不等式恒成立时，，
即实数的最小值为．

20.【答案】解：(1)类比到空间中，该命题为：
若为平面外一点，则点在平面内的充要条件是：
存在实数、、，满足，且．
证明：①若点平面，
由向量共面的充要条件知存在实数、使得，
由向量加减法得，
整理得，
令，，，则，其中．
②反之，若已知，且．
则，
整理得，
即，
根据向量共面的充要条件知、、共面，即、、、共面，
所以点在平面内．
综上所述，若为平面外一点，则点在平面内的充要条件是：
存在实数、、，满足，且．
（2）①由（1）的结论知，从而，
从而，
由已知，，得
，
②因为
，
所以．

21.【答案】解：（1）由题知焦点．准线方程为，
根据抛物线的定义知，
由已知，所以．
（2）思路一：显然，直线的斜率不可能为零，设直线的方程为，与联立，得，所以，化简得．
设，，则，．
因为，
所以，
即，
于是．
将，代入，化简得．
由，得，所以．
由，得，解得或．
由得．所以的面积
，
于是，当时，有最小值为．
故面积的最小值为．
思路二：设，，则，
所以．①
因为．所以．②
当时，不等式②化简得，所以时不等式②成立；
当时，不等式②化简得，解得或．
综上，的取值集合是．
由得，所以的面积
将①代入，得，
所以，当时，有最小值为．
故面积的最小值为．
（3）如图，由已知得，，设，，直线的方程为，与联立，得．
则，，，解得或．
因为，所以，即．
于是
，当且仅当，
即或时等号成立．
故的最小值为．


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