资源简介

上海市闵行区2025-2026学年高二下学期期末联考数学试题
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.若为正整数，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.函数，正确的命题是
A. 值域为R B. 在是增函数
C. 有两个不同的零点 D. 过点的切线有两条
3.从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）种
A. 48 B. 288 C. 312 D. 336
4.已知点、，动点在曲线：上，则的面积（ ）
A. 有最大值，没有最小值 B. 没有最大值，有最小值
C. 有最大值，也有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.直线的倾斜角是 ．
6.二项式的展开式中，的系数为 ．
7.双曲线-y2=1的渐近线方程为 ．
8.设为正整数，若，则 ．
9.已知圆的面积为，则实数 .
10.已知，则 ．
11.函数在上的最大值为 .
12.已知直线，若，则与的距离为 .
13.已知，、，则的情况有 种．
14.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为 ．
15.已知，函数在处取得极大值，则的取值范围是 ．
16.能够使得命题“曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形”为真命题的实数a的取值范围是 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
在的二项展开式中．
(1)求常数项；
(2)若第二项不小于第三项，求实数x的取值范围．
18.(本小题14分)
已知，．
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若恒成立，求的取值范围．
19.(本小题14分)
如图，正方形区域边长为，距、的距离都为，距、的距离都为，有一个圆形跑道经过、两点．
(1)建立适当的坐标系，求圆形跑道圆心所在的直线方程；
(2)若直线与该圆形跑道有且只有一个交点，求圆形跑道的周长（结果保留两位小数）．
20.(本小题18分)
已知椭圆：，点是椭圆的右顶点．
(1)求椭圆离心率；
(2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值；
(3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点．
21.(本小题18分)
已知函数，若存在点是函数的图象的两条互相垂直的切线的交点，则称点是函数的“优点”．
(1)判断函数与是否存在“优点”（无须说明理由）；
(2)已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程；
(3)已知，若函数图象上存在“优点”，求实数的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】
6.【答案】10
7.【答案】y=±
8.【答案】 或
9.【答案】
10.【答案】1
11.【答案】2
12.【答案】
13.【答案】8
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】或.
17.【答案】解：（1）二项式的通项为，
当时，可得常数项为；
（2）根据通项可得第二项为；
第三项为；
因为第二项不小于第三项，故，即，
解得，故实数x的取值范围为．

18.【答案】解：（1）当时，，得.
令，解得.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故函数在处取极小值，，无极大值.
因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值；
（2）对，函数定义域为，得，分情况讨论：
①若，因为，所以恒成立，函数在 R上单调递增，
且当时，不满足，舍去；
②若，恒成立，符合要求；
③若，令得，且在 R上单调递增.
当时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
所以函数在处取得极小值也是最小值，最小值为.
令，结合，解得，即
综上所述，的取值范围是.

19.【答案】解：（1）如图以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系.
则， ， ， ， .
∵圆形跑道经过、两点，
∴圆心在线段的垂直平分线上.
∵，
∴线段的垂直平分线的斜率为.
∵中点坐标为，
∴线段的垂直平分线的方程为，即.
∴圆形跑道圆心所在的直线方程为.
（2）∵直线与该圆形跑道有且只有一个交点，
∴直线与该圆相切，即圆心到轴距离为半径.
设圆心为，则.
∴，即.
解得，则.
∴圆形跑道的周长为或.

20.【答案】解：（1）由已知，则，又，.
得，，
故椭圆的离心率为；
（2）由椭圆的标准方程为，
则，设，则，，
由，则，解得，
则有，解得，又，故；
(3)设，，
当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，
由为直角，可得，
也即，解得或（舍去）．
当斜率存在时，设直线方程为，联立，
整理得，可得
且为直角，可得，
所以，即，
整理得，
将①式代入上式得：，
化简得
整理得，可得或，
当时，直线方程为，此时直线过定点，不符合题意，舍去，
当时，直线方程为，此时直线过定点，符合题意．
综上，直线恒过定点．

21.【答案】解：（1）因为，所以，
设两条互相垂直的切线的切点横坐标为，
则它们的斜率分别为，
由两直线垂直得不成立，所以不存在“优点”；
因为，所以，
设两条互相垂直的切线的切点横坐标为，
取，
则它们的斜率分别为，
则切点处的切线方程：，
切点处的切线方程：，
联立方程：，解得，即“优点”为；
(2)因为，所以，
设两切点横坐标为，斜率，
由垂直条件得到，解得，
两个切点分别为，
过的切线方程为，即，
过的切线方程为，即，
联立，
两式相减：，
因为，所以，
将代入得到，
由，故，因此所有“优点”都在直线上.
故函数的所有“优点”在一条定直线上，且这条直线的方程为.
（3）因为，所以，
设两切点横坐标为，则斜率，
两个切点分别为，，
则过的切线方程为
，
过的切线方程为
，
联立两切线方程，令交点为，两式相减，
得到，
左边因式分解：，
右边因式分解：，
因为，所以，
令，则上式变为，
且满足，
由得到，
得到，
即，
要存在“优点”，即存在实数满足上述方程，
将其视为关于的二次方程，
则有，
即，即，即，
这说明存在实数使得，
即或有解，
当时，可取任意实数，故只要，总能找到满足不等式；
当时，，，两条切线斜率均非负，
无法满足乘积为，故不成立，
故实数的取值范围是：.

第1页，共1页

展开更多......

收起↑