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2025-2026 学年第二学期九年级开学收心检测数学试题
一、选择题(3 分*10，共 30 分)
1. 下列命题中:①4 的平方根是±2；②16 的算术平方根是 2；③若 ，则 x=3；④若 ,则 . 其中是真命题的有( )
A. ①② B. ①④ C. ①②③ D. ①②④
2. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 已知一组数据的方差 ,那么这组数据的总和为( )
A. 24 B. 20 C. 18 D. 6
4. 如图①，古代叫“斗”，在官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具. 如图② 是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是( )
图① 图②
A. B. C. D.
5. 将一张长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形( )， 为折痕，若 ，则 的度数为( )
A. B. C. D.
6. 整理一批图书, 由一个人做要 30 小时完成, 现在计划由一部分人先做 2 小时, 再增加 3人和他们一起做 4 小时,完成这项工作,假设每个人的工作效率相同,具体先安排 人工作, 则可列方程为( )
A. B.
C. D.
7. 已知抛物线 的图象及对称轴如图所示,则下列结论错误的是 ( )
A. B. C. D.
8. 如图一束光线从点 出发，经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 所在直线的解析式为( )
A. B. C. D.
9. 如图 1，在 中，动点 从点 出发沿折线 匀速运动至点 后停止， 设点 的运动路程为 ,线段 的长度为 的高 ，图 2 是 与 的函数关系的大致图象,其中点 为曲线 的最低点,则点 的坐标为 ( )
图1 图2
A. B. C. D.
10. 如图, 中, ,将 绕点 逆时针旋转 ,得到 , 过 作 交 的延长线于点 ,连接 并延长交 于点 ,连接 交 于点O. 下列结论:①DE 平分 ；②DO=OE；③H 是 BF 的中点；④BC-CF=2CE； ⑤CD=HF，其中正确的有( )
A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个
二、填空题(11-14 每题 3 分，15-18 每题 4 分，共 28 分)
11. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料, 如图是二维石墨烯的晶格结构, 图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长 ,将 0.0000000142 用科学记数法表示为_____.
12. 分解因式: _____.
13. 如图, 是双曲线 上的一点,点 是 的中点,过点 作 轴的垂线, 垂足为 ,交双曲线于点 ,则 的面积是_____.
14. 如图是凸透镜成像的光路示意图,线段 分别表示蜡烛、蜡烛的像、凸透镜, 它们均与主光轴 垂直. 一束平行于主光轴的光线 经凸透镜折射后,其折射光线经过焦点 ,一束经过光心的光线 与折射光线 相交于点 . 已知 , 则 的值为_____.
15. 若关于 的一元二次方程 有两个实数根 ,且 ,则 的取值范围为_____.
16. 如图所示，边长为 1 的正方形网格中， 、 、 、 、 是网格线交点，若 与 所在圆的圆心都为点 ,那么阴影部分的面积为_____.
17. 如图，在 中，以点 为圆心，以合适的长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ， 分别以 为圆心,以相同长度为半径作弧,两弧相交于点 ,过点 作 ,交 于点 ，若 ，则 长度的最小值为_____.
18. 如图,直线 与 轴交于点 ,与直线 交于点 ,过点 作 的垂线交 轴于点 ,过点 作 的平行线交 于点 ,过点 作 的垂线交 轴于点 , 过点 作 的平行线交 于点 按此方法作下去,则点 的坐标是
_____.
三、解答题(62 分)
19. ( 1 )求值: ;
(2)先化简,再求值: ,其中 是不等式组 的一个整数解.
20. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神，东营市某学校举办“我参与, 我劳动, 我快乐, 我光荣”活动. 为了解学生周末在家劳动情况, 学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间 (单位:小时)，并进行整理和分析(劳动时间 分成五档: 档: 档: 档: 档: 档: ). 调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下:
根据以上信息，回答下列问题:
(1)本次调查中，共调查了_____名学生，补全条形统计图；
(2)调查的男生劳动时间在 档的数据是: 2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9. 则调查的全部男生劳动时间的中位数为_____小时。
(3)学校为了提高学生的劳动意识，现从 档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率.
21. 如图 1, 是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板, 为了测量此展板的最高点 到地面 的高度. 绘制了如图 2 所示的展板侧面的截面图 (底座高度忽略不计), 并测得 与水平线的夹角 与水平线的夹角 ， 请求出展板最高点 到地面 的距离(精确到 ，参考数据: ， ， , , , )
图1 图2
22. 云南鲜花饼远近闻名，为了更好地服务好顾客，昆明某鲜花店新购进了两种新款鲜花饼， 相关信息如下表:
种别 玫瑰鲜花饼 茉莉鲜花饼
进价 (元/盒) 30 45
备注 ①用不超过 1950 元购进两种鲜花饼共 50 盒; ②茉莉鲜花饼不少于 20 盒；
(1)已知茉莉鲜花饼的标价是玫瑰鲜花饼标价的 1.5 倍，若顾客用 750 元购买两种鲜花饼，能单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少 5 盒, 请求出玫瑰鲜花饼、 茉莉鲜花饼两种鲜花饼的标价;
(2)为了让利给消费者，商店老板便调整了销售方案，茉莉鲜花饼按照标价 8 折销售，玫瑰鲜花饼价格不变, 那么商店应如何进货才能获得最大利润
23. 如图, 为 的直径,点 为 上一点,点 是 的中点,连接 ,过点 的切线与 的延长线交于点 ,弦 相交于点 .
(1)求证: ；
(2)若 ， ，求 的长.
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 为直线 上方抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点 作 交抛物线于 ，若点 为对称轴上一动点，求 周长的最小值及此时点 的坐标；
(3)过点 作 交抛物线于 ，过点 为直线 上一动点，连接
,求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标.
25. 感知: 如图①, 和 都是等腰直角三角形, ,点 在线段 上,点 在线段 上,我们很容易得到 ,不需证明.
探究: 如图②,将 绕点 逆时针旋转 ,连结 和 ,此时 是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由.
应用:如图③，当 绕点 逆时针旋转，使得点 落在 的延长线上，连结 .
① 的度数为_____度；
②若 ， ，则线段 的长为_____.
图① 图② 图③
1. B
2. D
3. A
4. C
5. D
6. D
7. C
8. B
9. D
10. B
11.
12.
13. 4
14. 3
15.
16.
17.
18.
19.解: (1) 原式
;
(2)原式
解 ,得: ,
不等式组的整数解为:0,1,2,
,
,
当 时,原式 .
20.(1)解:依题意， (名)
本次调查中, 共调查了 50 名学生;
则 (名)
(名)
则 档有 2 名男学生,有 2 名女学生,
补全条形统计图如图所示:
(2)解:依题意，
(名)
本次调查的男学生的总人数是 23 名
则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第 12 名,
第 12 名位于 档
∵调查的男生劳动时间在 档的数据是: 2,2,2,2,4,2.5,2.7,2.8,2.9.
则调查的全部男生劳动时间的中位数为 2.5 小时,
故答案为 2.5 ;
(3) 解: 用 表示 2 名男生,用 表示两名女生,列表如下:
A B C D
A (A, B) (A, C) (A, D)
B (B, A) (B, C) (B, D)
C (C, A) (C, B) (C, D)
D (D, A) (D, B) (D, C)
共有 12 种等可能的结果, 其中所选两名学生恰好都是女生的结果有 2 种,
.
21. 解: 如图所示,
图2
在 Rt 中,
在 Rt 中,
到地面 的距离为 .
22. ( 1 )解:设玫瑰鲜花饼的标价为 元/盒，则茉莉鲜花饼的标价为 元/盒，
由题意得: ,
解得: ,
经检验 是原方程的解,
,
答: 玫瑰鲜花饼的标价为 50 元/盒, 茉莉鲜花饼的标价为 75 元/盒.
(2)解:设购进玫瑰鲜花饼 盒，则购进茉莉鲜花饼 盒. 商店利润为 元.
由题意得: ，
根据题意得: ，解得 ，
,
随 的增大而增大,
当 时, ,
此时, ,
答: 购进玫瑰鲜花饼 30 盒, 则购进茉莉鲜花饼 20 盒, 商店利润最大, 最大利润为 900 元.
23.(1)证明: 与 相切于点 ，
，
，
为 的直径,
,
,
,
,
,即 .
(2)解: ，
,
在 Rt 中, ,
,
点 是 的中点,
,
,
,
在 Rt 中, ,
,
的长为 2 .
24.( 1 )解: 抛物线 与 轴交于 两点，
解得 ,
抛物线的解析式为: ;
(2)解:由抛物线 可得，当 时， ， ,对称轴为直线 ,
设直线 的解析式为 ,代入点 ,点 的坐标得, ,
解得
直线 的解析式为 ,
，
可设直线 的解析式为 ,代入点 的坐标得, , 解得 ,
直线 的解析式为 ,
联立 得 ,
解得 或 ,
,
:如图， 关于抛物线的对称轴对称，
直线 与对称轴的交点即为点 ,此时 ,
最小，
的周长为 最小，
直线 的解析式为 ,当 时, ,
的坐标为 ,
,
的周长最小为 ；
(3)解:如图，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，
设点 的坐标为 ,则 ,其中 ,
,
,
,
,
,
当 时,四边形 的面积最大为 ,此时 .
25. 证明: 和 都是等腰直角三角形,
,
将 绕点 逆时针旋转 ，
，
在 与 中,
,
;
应用:① 是等腰直角三角形，
，
同探究可得: ，
,
故答案为:45;
② 在 中， ，
，
，
,
,
,
,
.

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