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2026云南省昭通市中考数学冲刺卷（三）
一．选择题（共15小题，满分30分）
1．在标准大气压下，液态氧、液态氮、酒精、水四种液体的沸点如下表：
液体 液态氧 液态氮 酒精 水
沸点/℃ ﹣183 ﹣196 78 100
其中沸点最低的液体为（　　）
A．液态氧 B．液态氮 C．酒精 D．水
2．（2分）山西是我国煤炭大省，同时蕴藏着极为丰富的煤层气资源．2022年1至11月山西省累计抽采煤层气86.6亿立方米．其中11月份抽采煤层气8.6亿立方米，创历史新高，则2022年1至10月山西省煤层气抽采量用科学记数法可表示为（　　）
A．8.6×103 立方米 B．8.66×109 立方米
C．7.8×109 立方米 D．7.8×1010 立方米
3．（2分）如图，直线a∥b，∠2＝40°，则∠1＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．关于反比例函数，下列结论错误的是（　　）
A．图象位于第一、三象限
B．点（1，2）和（﹣1，﹣2）都在该图象上
C．当x＞2时，0＜y＜1
D．y随x的增大而减小
5．（2分）下列计算正确的是（　　）
A．（n2）3＝n5 B．x3﹣x2＝x
C．（a+b）2＝a2+b2 D．a2 a3＝a5
6．（2分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
7．观察按一定规律排列的代数式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，…，按你发现的规律继续写下去，第8个代数式是（　　）
A．128x8 B．﹣128x8 C．256x7 D．﹣256x8
8．科学用眼，保护视力．在一次视力检查中，某班7位学生的左眼视力检查结果为：5.0、4.2、4.6、4.8、4.5、4.5、4.3，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．4.5，4.5 B．4.5，4.8 C．5.0，4.2 D．5.0，4.8
9．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝140°，则∠ABC的大小为（　　）
A．40° B．80° C．110° D．140°
10．（2分）初三毕业季，某班级班主任老师送给每名同学一张明信片，同学之间又互送了一张明信片，一共有1764张明信片，问班级一共有多少名学生？设班级有x名学生，则可列方程为（　　）
A． B．x（x﹣1）＝1764
C． D．x+x（x﹣1）＝1764
11．（2分）从正面、左面、上面观察一个几何体得到的形状图如图所示，则这个几何体是（　　）

A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体
12．在函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤3 B．x＜3 C．x＜3且x≠﹣2 D．x≤3且x≠﹣2
13．如图，已知△ABC∽△ADE，BC＝2DE，则的值为（　　）
A． B． C． D．
14．（2分）一元二次方程x2﹣2x+5＝0的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
15．（2分）如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形面积是13，小正方形面积是1，直角三角形两条直角边长分别为a、b，则a+b的值是（　　）
A．4 B．5 C．12 D．1
二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分）
16．（2分）因式分解：4a﹣ab2＝　 　 ．
17．（2分）已知一个正多边形的一个外角为60°，则它的内角和为 　 　 ．
18．（2分）为了估计池塘里鱼的数量，从池塘里捕鱼200条并做上记号，后再将这些鱼放回到池塘，待到标记的鱼完全混合于鱼群之后，再次捕鱼100条，其中有标记的鱼为20条，据此可以估计该池塘中的鱼约有 　 　 条．
19．（2分）一个圆锥的母线长为9cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径r为 　 　 cm．
三．解答题（共8小题，满分62分）
20．计算：．
21．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE．
22．随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图的宣传，根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．
23．在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲、乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
（2）这个游戏规则对乙公平吗？答：　 　 （填“公平”或“不公平”）．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作 AF⊥BC 于点F，延长BC到点E，使得CE＝BF，连接DE．
（1）求证：四边形AFED是矩形；
（2）连接OF，若AB＝5，OF＝2，求BD的长．
25．某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共60箱，两种饮料每箱的进价和售价如表所示．设购进果汁饮料x箱（x为正整数），且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为w元（注：总利润＝总售价﹣总进价）．
饮料 果汁饮料 碳酸饮料
进价（元/箱） 40 25
售价（元/箱） 45 32
（1）求总利润w关于x的函数解析式；
（2）如果购进两种饮料的总费用不超过2100元，并且果汁饮料不少于30箱，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．
26．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点（0，3）．
（1）求c的值；
（2）若m是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标，且满足（m+1）（m+2）（m+5）（m+6）的值为60，请求出抛物线的对称轴．
27．（12分）如图，在⊙O中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，AE为切线，连接ED，并延长交⊙O于点F，连接BF交AC于点G．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）求证：△ADE≌△ABG；
（3）若AE＝6，AG＝3GC，求sin∠CBF的值．
2026云南省昭通市中考数学冲刺卷（三）
参考答案
一．选择题（共15小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C B D D D B A C D B
题号 12 13 14 15
答案 B A B B
二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分）
16．a（2+b）（2﹣b）．
17．720°．
18．1000．
19．3．
三．解答题（共8小题，满分32分）
20．解：原式＝21+1﹣4
＝34．
21．证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
22．解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为（x﹣30）吨，
由题意得：，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是原方程的解，且符合题意，
答：新型机器人每天搬运的货物量为90吨．
23．解：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中两球上的数字之和为奇数的结果数为8，所以甲胜的概率；
（2）两球上的数字之和为偶数的结果数为8，所以乙胜的概率，
因为，
所以该游戏不公平．
故答案为：不公平．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵CE＝BF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AFED是平行四边形，
∵AF⊥BC，
∴∠AFE＝90°，
∴平行四边形AFED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
由（1）可知，∠AFC＝90°，
∴OFAC＝OA＝2，
在Rt△AOB中，OB，
∴BD＝2OB＝2．
25．解：（1）购进碳酸饮料（60﹣x）箱，
则w＝（45﹣40）x+（32﹣25）（60﹣x）＝﹣2x+420，
∴总利润w关于x的函数解析式为w＝﹣2x+420．
（2）根据题意，得，
解得30≤x≤40，
∵﹣2＜0，
∴w随x的增大而减小，
∵30≤x≤40，
∴当x＝30时w值最大，w最大＝﹣2×30+420＝360，
60﹣30＝30（箱）．
答：该商场购进果汁饮料和碳酸饮料各30箱才能获利最多，最大利润是360元．
26．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），过点（0，3），
∴0+0+c＝3．
∴c＝3．
（2）解法一：∵（m+1）（m+2）（m+5）（m+6）＝60，
∴[（m+1）（m+6）I（m+2）（m+5）]＝60，（m2+7m+6）（m2+7m+10）＝60，
令t＝m2+7m 则 （t+6）（t+10）＝60，
即t2+16t+60＝60，
解得：t1＝0，t2＝﹣16；
①当t＝0时：m2+7m＝0，
解得：m1＝0，m2＝﹣7；
∴抛物线与x轴的交点为：（﹣7，0），（0，0），
∴抛物线的对称轴为直线；
②当t＝﹣16时：m2+7m＝﹣16，即m2+7m+16＝0，Δ＝49﹣4×1×16＝49﹣64＝﹣15，
∴此方程无解，
综上所述，抛物线对称轴为直线；
解法二：令，
∵（m+1）（m+2）（m+5）（m+6）＝60，
∴．
∴，
∴，
令，则n（n﹣4）＝60，
∴n2﹣4n﹣60＝0，
解得n1＝10，n2＝﹣6，
①当n＝10时，，即t2，
∴，t2，
当t时，m，
解得：m＝0（舍去）；
当t时，m，
解得：m＝﹣7．
∴抛物线与x轴的交点为（﹣7，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣7．
②当n＝﹣6时，，即t2，
此方程无解．
综上所述，抛物线的对称轴为直线x＝﹣7．
27．（1）证明：连接CD，如图，
∵点A，B，C，D为圆周的四等分点，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴AC为⊙O的直径，
∵AE为切线，
∴AC⊥AE，
∴∠CAE＝90°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠CAD＝45°，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分∠CAE；
（2）证明：由（1）得：∠EAD＝∠DAC＝∠BAC＝45°，
∵四边形ADFB为圆的内接四边形，
∴∠ADE＝∠ABF，
在△ADE和△ABG中，
，
∴△ADE≌△ABG（ASA）；
（3）解：连接FC，FA，过点C作CH⊥FB于点H，过点A作AK⊥BF于点K，如图，
∵CH⊥FB，AK⊥BF，
∴CH∥AK，
∴△CHG∽△AKG，
∴，
∵AG＝3GC，
∴．
∵，
∴∠CFH＝∠AFB，
∵∠CHF＝∠AKF＝90°，
∴△CFH∽△AFK，
∴，
设CF＝k，则AF＝3k，
由（1）知：AC为⊙O的直径，
∴∠AFC＝90°，
∴ACk，
∴sin∠FAC，
∵∠CBF＝∠CAF，
∴sin∠CBF＝sin∠FAC．

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