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安徽蚌埠市2025-2026学年第二学期5月份区域高中合作性教研质量评价高一数学试题
一、单选题
1．如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．在中，已知，，那么（ ）
A．8 B． C．12 D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，满足，，则，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，当时函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为．若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．有下列说法，其中错误的说法为（ ）．
A．若∥，∥，则∥
B．若，，则
C．若非零向量,,，满足，则
D．若∥，则存在唯一实数使得
10．黄金三角形是一种特殊的等腰三角形，其底与腰的长度之比为黄金比例（黄金分割比），这一比例在自然界、艺术及建筑设计中都有着广泛的应用，它象征着和谐与完美．已知在顶角为的黄金中，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比，为边上的中点，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．在上的投影向量为 D．当取最小值时，
三、填空题
12．已知点，，向量，若，则实数______.
13．已知，，则______.
14．如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为______
四、解答题
15．如图，在等边中，，点在边上，且.过点的直线分别交射线于不同的两点.
(1)设，试用表示：
(2)设，求的最小值.
16．已知，为锐角，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值
17．向量是同一平面内的两个向量，其中.
(1)若，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
(2)若，与共线且，求.
18．已知函数
(1)求在上的值域；
(2)将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间；
19．设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量.”
(1)设函数，求的“相伴向量”；
(2)记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
(3)记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
【详解】因为是的中点，所以，
因为是的靠近的三等分点，所以，
所以．
2．B
【详解】
；
故选：B.
3．D
【详解】由题意可得，，
所以是等腰直角三角形，
所以，
所以.
4．A
【详解】由，得，即，
则，
故
．
故选：A.
5．C
【详解】由两边平方得，，
又得，
所以，
则．
6．D
【详解】已知 ，因此 ，
所以，
所以，
化简得①；
而，
化简得②；
联立①②，相加得： 相减得： ，
由 ，得 ，
根据半角公式 ，代入 得.
7．C
【详解】，其中，
当时函数取得最大值，则，
所以，所以，
所以，所以，
，
所以.
故选：C.
8．B
【详解】，
因为在曲线与直线的交点中，相邻交点的距离为，
所以，所以，
，则或，
画出函数在之间的图象，
观察图象可得方程在内有且只有一个根，
又方程有三个不等的实根，所以方程有两解，
由在的图象可得，．
9．ACD
【详解】对于A，若，则当∥，∥时不一定满足∥，故A错误.
对于B，当，时，根据向量的传递性则有，故B正确.
对于C，若，则，即，无法推出，故C错误.
对于D，若，则当∥时不一定存在唯一实数使得，故D错误.
故选:ACD
10．BCD
【详解】由题意可知：，，
又∵，
∴，，
∵为等腰三角形底边上中点，
由三角形三线合一可知：，，
设，则，
∴，∴A选项错误；
，B选项正确；
∵，C选项正确；
∵，
代入边长∴，D选项正确.

故选：BCD
11．ABD
【详解】由得：，.
对任意，恒成立，两边平方得：
，
代入，整理得关于的二次不等式：
由对任意实数不等式恒成立，可得：
所以，故A正确；
，则，故B正确；
在上的投影向量为，故C错误；
，
表示动点到两定点距离和的2倍，如图所示，
关于x轴对称的点为，则，
所以由图可知当三点共线时，动点到两定点距离和的2倍取得最小值，此时，
所以当取最小值时，，D正确.
12．2
【详解】由题意，点，，可得，
因为，且，
所以，解得.
13．1
【详解】由，得，
又因为，可得，所以，
所以，
则.
14．11
【详解】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值.
如下图所示，连接、、、，则为的中点，
则，且，故是边长为的等边三角形，
易知，则
，
当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值11.
15．(1)
(2)4
【详解】（1）由，得，
所以.
（2）由（1）知，，而，
因此，而共线，则，
又，于是，
由于
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是4.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由.
所以.
（2）因为，所以，
又，所以，
所以.
所以
.
（3）因为，且，所以，所以.
所以，
且，为锐角，可得，所以.
17．(1)
(2)或.
【详解】（1）由向量，
因为与的夹角为钝角，可得，即，解得；
当与共线时，可得，解得，
当时，与方向相反，夹角为，不符合题意；
综上可得且，即实数的取值范围为
（2）由向量，可得，
因为向量与共线，可设，
又因为，可得，解得，
当时，；当时，.
18．(1)
(2)，
【详解】（1），
因为，则，
所以，故；
（2）将的图象向右平移个单位长度，
可得，
再把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，
得到函数的图象，
由，，可得，，
所以的单调递减区间为，.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：，
所以函数的“相伴向量”；
（2）解：由题知：，
，
因为时，；时，
所以，在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减
又，
所以的函数图象大致如图：
所以，当图象与有且仅有四个不同的交点时，，
所以，实数的取值范围为；
（3）解：由题得，
所以，
由题得，
所以，
因为，，
所以对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
设，当时，取到最大值，

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