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第2节　平面向量基本定理及坐标表示
课标要求　1.掌握平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量的基本定理
条件 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则
a＋b＝(x1＋x2,y1＋y2),a－b＝(x1－x2,y1－y2),λa＝(λx1,λy1),|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则＝(x2－x1,y2－y1),||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
1.平面内不共线向量都可以作为基底,反之亦然.
2.若a与b不共线,λa＋μb＝0,则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)设a,b是平面内的一个基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2,μ1＝μ2.(　　)
(2)若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成.(　　)
(3)若λa＋μb＝0,则λ＝μ＝0.(　　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(2)若b＝(0,0),则无意义.
(3)若a,b共线,如a＝0,b≠0,则λ∈R,μ＝0.
2.(人教A必修二P31例7改编)已知a＝(4,2),b＝(6,y),且a∥b,则y＝　　　　.
答案　3
解析　因为a∥b,所以4y－2×6＝0,解得y＝3.
3.(人教B必修二P170例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1,－2),B(3,－1),C(5,6),则顶点D的坐标为　　　　.
答案　(1,5)
解析　设D(x,y),则,
得(3－(－1),－1－(－2))＝(4,1)＝(5－x,6－y),
即即D(1,5).
4.(北师大必修二P100例1改编)如图,在 ABCD中,点E,F分别为BC,DC的中点,＝a,＝b,则＝　　　　,＝　　　　(用a,b表示).
答案　b－a　a－b
解析　根据题意,得＝b,
＝－＝－a,
所以＝b－a.
同理＝＝a－b.
考点一　平面向量基本定理的应用
例1 (1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD＝2DA.记＝m,＝n,则＝(　　)
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
(2)(2026·咸阳模拟)在△ABC中,点D在边AB的延长线上,AB＝2BD,＝m＋n,m,n∈R,则mn＝　　　　.
答案　(1)B　(2)
解析　(1)因为BD＝2DA,
所以＝3,
所以＋3＋3()＝－2＋3＝－2m＋3n.
故选B.
(2)因为点D在边AB的延长线上,
AB＝2BD,
所以＝2,即＝2(),
所以.
又＝m＋n,
由平面向量基本定理可得m＝,n＝,故mn＝.
感悟提升　1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的.
训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是(　　)
A.若p＝xa＋yb,则p与a,b共面
B.若p与a,b共面,则存在实数x,y使得p＝xa＋yb
C.若＝x＋y,则P,M,A,B共面
D.若P,M,A,B共面,则存在实数x,y使得＝x＋y
(2)(2026·南通诊断)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若＝λ＋μ(λ,μ∈R),则＝　　　　.
答案　(1)AC　(2)
解析　(1)对于B,若a,b共线,p与a,b不共线,则不存在实数x,y使得p＝xa＋yb,故B错误;
对于D,若M,A,B共线,P在直线AB外,则不存在实数x,y使得＝x＋y,故D错误;
由平面向量基本定理知A,C正确.
(2)由题图可设＝x(0则＝x()＝x＝＋x.
因为＝λ＋μ,不共线,
所以λ＝,μ＝x,所以.
考点二　平面向量的坐标运算
例2 (1)已知向量a＝(0,2),b＝,c＝(－2,5),且c＝xa＋2b,则x的值为(　　)
A.－ B.
C.－2 D.2
(2)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c＝λa＋μb(λ,μ∈R),则＝　　　　.
答案　(1)A　(2)4
解析　(1)因为c＝xa＋2b,
所以(－2,5)＝x(0,2)＋2(－1,3)＝(－2,2x＋6),
所以5＝2x＋6,
解得x＝－.
(2)以向量a 和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),则A(1,－1),B(6,2),C(5,－1),
所以a＝＝(－1,1),b＝＝(6,2),
c＝＝(－1,－3),
因为c＝λa＋μb(λ,μ∈R),
所以(－1,－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2),
则
解得
所以＝4.
感悟提升　平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,可求对应向量的坐标.
(2)解题过程中,常利用向量相等其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.
训练2 (1)在△ABC中,顶点A的坐标为(3,1),边BC的中点D的坐标为(－3,1),则△ABC重心的坐标为　　　　.
(2)(2026·成都模拟)在正方形ABCD中,M是BC的中点.若＝λ＋μ(λ,μ∈R),则λ＋μ的值为　　　　.
答案　(1)(－1,1)　(2)
解析　(1)设△ABC的重心为G(x,y),
因为A(3,1),D(－3,1),
所以＝(－6,0),＝(x－3,y－1),
由题意知,
所以(x－3,y－1)＝(－6,0),
即
即G(－1,1),
即△ABC重心的坐标为(－1,1).
(2)在正方形ABCD中,以点A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,如图,
令AB＝2,则B(2,0),
C(2,2),D(0,2),M(2,1),
＝(2,2),＝(2,1),
＝(－2,2),λ＋μ
＝(2λ－2μ,λ＋2μ),
因为＝λ＋μ,
所以
解得λ＝,μ＝,则λ＋μ＝.
考点三　平面向量共线的坐标表示
角度1　利用向量共线求参数
例3 (2026·肇庆模拟)已知向量a＝(－2,3),b＝(m－1,3m),a∥(a＋2b),则m＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案　A
解析　因a＝(－2,3),b＝(m－1,3m),
故a＋2b＝(－2,3)＋2(m－1,3m)
＝(2m－4,6m＋3),
又a∥(a＋2b),
故－2×(6m＋3)＝3×(2m－4),得m＝.
角度2　利用向量共线求向量或点的坐标
例4 已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.
答案　(3,3)
解析　法一　＝(4,0),＝(4,4),
＝(2,6),
由O,P,B三点共线,
可设＝λ＝(4λ,4λ),λ∈R,
则＝(4λ－4,4λ).
又＝(－2,6),
由共线,得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0,
解得λ＝,所以＝(3,3),
所以点P的坐标为(3,3).
法二　设点P(x,y),则＝(x,y),
因为＝(4,4),且共线,
所以,即x＝y.
又＝(x－4,y),＝(－2,6),
且共线,
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0,解得x＝y＝3,所以点P的坐标为(3,3).
感悟提升　1.两平面向量共线的充要条件有两种形式:
(1)若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0;
(2)若a∥b(b≠0),则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.
训练3 (1)在梯形ABCD中,AB∥CD,且CD＝2AB,若点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为　　　　.
(2)向量＝(k,12),＝(4,5),＝(10,k),若A,B,C三点共线,则k的值可能为　　　　.
答案　(1)(2,4)　(2)－2或11
解析　(1)∵在梯形ABCD中,
CD＝2AB,AB∥CD,
∴＝2,
设点D的坐标为(x,y),
则＝(4－x,2－y),
又＝(1,－1),
∴(4－x,2－y)＝2(1,－1),
即∴
∴点D的坐标为(2,4).
(2)由已知可得＝(k,12)－(4,5)＝(k－4,7),
＝(k,12)－(10,k)
＝(k－10,12－k).
因为A,B,C三点共线,
所以∥,
所以(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0,
整理得k2－9k－22＝0,
解得k＝－2或11.
一、单选题
1.(2026·金华模拟)已知向量a＝(1,2),b＝(x,－4),且a∥b,则实数x的值为(　　)
A.－2 B.2
C.－8 D.8
答案　A
解析　由a∥b可得,解得x＝－2.
2.(2026·福州调研)在平面直角坐标系xOy内,已知点A(－1,1),＝(1,－2),则＝(　　)
A.(2,－3) B.(0,－1)
C.(－2,3) D.(0,1)
答案　B
解析　因为点A(－1,1),＝(1,－2),
所以＝(－1,1),＝(－1,1)＋(1,－2)＝(0,－1).故选B.
3.已知向量a＝(5,2),b＝(－4,－3),c＝(x,y),若3a－2b＋c＝0,则c＝(　　)
A.(－23,－12) B.(23,12)
C.(7,0) D.(－7,0)
答案　A
解析　由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4,－3)＋(x,y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0),
所以
所以c＝(－23,－12).
4.(2026·沈阳模拟)已知向量＝(5,1),＝(m,9),＝(8,5).若A,C,D三点共线,则m＝(　　)
A. B.－11
C.11 D.－
答案　C
解析　因为向量,＝(m,9),
＝(8,5),
所以＝(m＋5,10),
因为A,C,D三点共线,则∥,
所以5(m＋5)＝8×10,解得m＝11.
5.已知{a,b}是平面内的一个基底,若m＝xa＋yb,则称有序实数对(x,y)为向量m在基底{a,b}下的坐标,给定一个平面向量p,已知p在基底{a,b}下的坐标为(1,2),那么p在基底{a－b,a＋b}下的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由p在基底{a,b}下的坐标为(1,2),
得p＝a＋2b,
设p在基底{a－b,a＋b}下的坐标为(m,n),
则p＝m(a－b)＋n(a＋b)
＝(m＋n)a＋(n－m)b,
所以
所以p在基底{a－b,a＋b}下的坐标为
6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD＝1,AB＝2,BC＝3,M,N分别为CD,AD的中点,则|－2|＝(　　)
A.2 B.2
C.3 D.
答案　D
解析　如图,
以B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,
则B(0,0),M(2,1),N,
∴＝(2,1),,
∴－2＝(2,1)－2＝(1,－3),
∴|－2|＝.
7.在△ABC中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),,,AD与BC交于点M,则点M的坐标为(　　)
A. B.
C.(3,－2) D.(－2,3)
答案　A
解析　因为点O(0,0),A(0,5),B(4,3),
所以点C,同理点D.
设M的坐标为(x,y),
则＝(x,y－5),而.
因为A,M,D三点共线,
所以共线,
所以－x－2(y－5)＝0,即7x＋4y＝20.
而,
,
因为C,M,B三点共线,所以共线,
所以x－4＝0,即7x－16y＝－20.
由
所以点M的坐标为.
二、多选题
8.在下列各组向量中,可以作为基底的是(　　)
A.a＝(－3,2),b＝(6,－4)
B.a＝(2,3),b＝(3,2)
C.a＝(1,－2),b＝(7,14)
D.a＝(－2,3),b＝(4,6)
答案　BCD
解析　对于A,由向量a＝(－3,2),b＝(6,－4),可得(－3)×(－4)－2×6＝0,
所以a∥b,所以A错误;
对于B,由向量a＝(2,3),b＝(3,2),可得2×2－3×3≠0,
所以a与b不平行,所以B正确;
对于C,由向量a＝(1,－2),b＝(7,14),可得1×14－7×(－2)≠0,
所以a与b不平行,所以C正确;
对于D,由向量a＝(－2,3),b＝(4,6),
可得－2×6－3×4≠0,
所以a与b不平行,所以D正确.
9.已知等边三角形ABC内接于☉O,D为线段OA的中点,E为BC的中点,则＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　AC
解析　如图所示,
则
＝()
＝×
＝.故选AC.
三、填空题
10.已知点A(1,3),B(4,－1),则与向量同方向的单位向量的坐标是　　　　.
答案　
解析　∵点A(1,3),B(4,－1),
∴＝(3,－4),
可得||＝＝5,
因此,与向量同方向的单位向量为
·(3,－4)＝.
11.已知A(2,3),B(4,－3),点P在线段AB的延长线上,且||＝||,则点P的坐标为　　　　.
答案　(8,－15)
解析　因为点P在线段AB的延长线上,
且||＝||,
所以,
所以＋2＝(4,－3)＋2(2,－6)＝(8,－15),
所以点P的坐标为(8,－15).
12.(2026·银川模拟)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,CD＝2AB,AB⊥AD,E是CD的中点,若＝λ＋μ,则λ＋μ＝　　　　.
答案　1
解析　＝λ＋μ
＝λ＋μ
＝＋(λ＋μ),
而,
所以
解得所以λ＋μ＝1.
四、解答题
13.已知A(－2,4),B(3,－1),C(－3,－4).设＝a,＝b,＝c,且＝3c,＝－2b.
(1)求3a＋b－3c;
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及向量的坐标.
解　由已知得a＝(5,－5),b＝(－6,－3),
c＝(1,8).
(1)3a＋b－3c＝3(5,－5)＋(－6,－3)－3(1,8)＝(15－6－3,－15－3－24)＝(6,－42).
(2)法一　∵mb＋nc＝(－6m＋n,－3m＋8n),
∴
法二　∵a＋b＋c＝0,∴a＝－b－c,
又a＝mb＋nc,b和c不共线,
∴mb＋nc＝－b－c,∴
(3)设O为坐标原点,∵＝3c,
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3,－4)＝(0,20),
∴M(0,20).
又∵＝－2b,
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3,－4)
＝(9,2),
∴N(9,2),∴＝(9,－18).
14.如图所示,已知矩形ABCD中,AB＝2,AD＝1,,,AC与MN相交于点E.
(1)若＝λ＋μ,求实数λ和μ的值;
(2)求.
解　(1)如图,以A点为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,
则D(0,1),B(2,0),M,N,
所以,＝(2,0),＝(0,1),
所以＝λ＋μ＝(2λ,μ),
所以
(2)由(1)可知C(2,1),
设＝t＝t(2,1),所以E(2t,t),
又M,所以,
又,且M,N,E三点共线,
所以∥,
所以·(t－1)＝0,
解得t＝,故.(共52张PPT)
数学
高考总
复
习
第五章　平面向量、复数
第2节　平面向量基本定理及坐标表示
1.掌握平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.平面向量的基本定理
不共线向量
条件 e1,e2是同一平面内的两个_______________
结论 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a＝________________
基底 若e1,e2_________,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
λ1e1+λ2e2
不共线
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个____________的向量,叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则
a＋b＝_______________,a－b＝______________,λa＝___________,|a|＝
.
互相垂直
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
(λx1,λy1)
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则＝___________,||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),向量a,b(b≠0)共线的充要条件是.
(x2-x1,y2-y1)
常用结论与微点提醒
1.平面内不共线向量都可以作为基底,反之亦然.
2.若a与b不共线,λa＋μb＝0,则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.
(2)若b＝(0,0),则无意义.
(3)若a,b共线,如a＝0,b≠0,则λ∈R,μ＝0.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)设a,b是平面内的一个基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2,μ1＝μ2.(　　)
(2)若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成.(　　)
(3)若λa＋μb＝0,则λ＝μ＝0.(　　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(　　)
×
√
2.(人教A必修二P31例7改编)已知a＝(4,2),b＝(6,y),且a∥b,则y＝________.
因为a∥b,所以4y－2×6＝0,解得y＝3.
3
3.(人教B必修二P170例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1,－2),
B(3,－1),C(5,6),则顶点D的坐标为______.
(1,5)
设D(x,y),则,
得(3－(－1),－1－(－2))＝(4,1)＝(5－x,6－y),
即即D(1,5).
4.(北师大必修二P100例1改编)如图,在 ABCD中,点E,F分别为BC,DC的中点,＝a,＝b,则＝____________,＝____________(用a,b表示).
b－a
根据题意,得＝b,＝－＝－a,
所以＝b－a.
同理＝＝a－b.
a－b
考点聚焦突破
02
例1 (1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD＝2DA.记＝m,＝n,则＝(　　)
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
B
因为BD＝2DA,所以＝3,
所以＋3＋3()＝－2＋3
＝－2m＋3n.
故选B.
考点一　平面向量基本定理的应用
(2)(2026·咸阳模拟)在△ABC中,点D在边AB的延长线上,AB＝2BD,＝m＋
n,m,n∈R,则mn＝_______.
因为点D在边AB的延长线上,AB＝2BD,
所以＝2,即＝2(),
所以.
又＝m＋n,
由平面向量基本定理可得m＝,n＝,故mn＝.
感悟提升
1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的.
训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是(　　)
A.若p＝xa＋yb,则p与a,b共面
B.若p与a,b共面,则存在实数x,y使得p＝xa＋yb
C.若＝x＋y,则P,M,A,B共面
D.若P,M,A,B共面,则存在实数x,y使得＝x＋y
AC
对于B,若a,b共线,p与a,b不共线,则不存在实数x,y使得p＝xa＋yb,故B错误;
对于D,若M,A,B共线,P在直线AB外,则不存在实数x,y使得＝x＋y,故D错误;
由平面向量基本定理知A,C正确.
(2)(2026·南通诊断)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若＝λ＋μ(λ,μ∈R),则＝______.
由题图可设＝x(0则＝x()＝x＝＋x.
因为＝λ＋μ,不共线,
所以λ＝,μ＝x,所以.
例2 (1)已知向量a＝(0,2),b＝,c＝(－2,5),且c＝xa＋2b,则x的值为(　　)
A.－ B.
C.－2 D.2
A
因为c＝xa＋2b,
所以(－2,5)＝x(0,2)＋2(－1,3)＝(－2,2x＋6),
所以5＝2x＋6,
解得x＝－.
考点二　平面向量的坐标运算
(2)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c＝λa＋μb(λ,μ∈R),则＝______.
4
以向量a 和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),
则A(1,－1),B(6,2),C(5,－1),
所以a＝＝(－1,1),b＝＝(6,2),
c＝＝(－1,－3),
因为c＝λa＋μb(λ,μ∈R),
所以(－1,－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2),
则
解得
所以＝4.
感悟提升
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,可求对应向量的坐标.
(2)解题过程中,常利用向量相等其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.
训练2 (1)在△ABC中,顶点A的坐标为(3,1),边BC的中点D的坐标为(－3,1),则△ABC重心的坐标为____________.
(－1,1)
设△ABC的重心为G(x,y),因为A(3,1),D(－3,1),
所以＝(－6,0),＝(x－3,y－1),由题意知,
所以(x－3,y－1)＝(－6,0),
即
即G(－1,1),即△ABC重心的坐标为(－1,1).
(2)(2026·成都模拟)在正方形ABCD中,M是BC的中点.若＝λ＋
μ(λ,μ∈R),则λ＋μ的值为_______.
在正方形ABCD中,以点A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,如图,
令AB＝2,则B(2,0),C(2,2),D(0,2),M(2,1),＝(2,2),＝(2,1),
＝(－2,2),λ＋μ＝(2λ－2μ,λ＋2μ),
因为＝λ＋μ,所以解得λ＝,μ＝,则λ＋μ＝.
角度1　利用向量共线求参数
例3 (2026·肇庆模拟)已知向量a＝(－2,3),b＝(m－1,3m),a∥(a＋2b),则m＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
A
因a＝(－2,3),b＝(m－1,3m),
故a＋2b＝(－2,3)＋2(m－1,3m)＝(2m－4,6m＋3),
又a∥(a＋2b),
故－2×(6m＋3)＝3×(2m－4),得m＝.
考点三　平面向量共线的坐标表示
角度2　利用向量共线求向量或点的坐标
例4 已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为_______.
(3,3)
法一　＝(4,0),＝(4,4),＝(2,6),
由O,P,B三点共线,可设＝λ＝(4λ,4λ),λ∈R,
则＝(4λ－4,4λ).又＝(－2,6),
由共线,得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0,
解得λ＝,所以＝(3,3),所以点P的坐标为(3,3).
法二　设点P(x,y),则＝(x,y),
因为＝(4,4),且共线,
所以,即x＝y.
又＝(x－4,y),＝(－2,6),
且共线,
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0,解得x＝y＝3,所以点P的坐标为(3,3).
感悟提升
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式:
(1)若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0;
(2)若a∥b(b≠0),则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.
训练3 (1)在梯形ABCD中,AB∥CD,且CD＝2AB,若点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为____________.
(2,4)
∵在梯形ABCD中,CD＝2AB,AB∥CD,∴＝2,
设点D的坐标为(x,y),则＝(4－x,2－y),
又＝(1,－1),∴(4－x,2－y)＝2(1,－1),
即∴
∴点D的坐标为(2,4).
(2)向量＝(k,12),＝(4,5),＝(10,k),若A,B,C三点共线,则k的值可能为____________.
由已知可得＝(k,12)－(4,5)＝(k－4,7),
＝(k,12)－(10,k)＝(k－10,12－k).
因为A,B,C三点共线,所以∥,
所以(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0,
整理得k2－9k－22＝0,
解得k＝－2或11.
－2或11
课时对点精练
03
一、单选题
1.(2026·金华模拟)已知向量a＝(1,2),b＝(x,－4),且a∥b,则实数x的值为(　　)
A.－2 B.2
C.－8 D.8
A
由a∥b可得,解得x＝－2.
2.(2026·福州调研)在平面直角坐标系xOy内,已知点A(－1,1),＝(1,－2),则＝(　　)
A.(2,－3) B.(0,－1)
C.(－2,3) D.(0,1)
B
因为点A(－1,1),＝(1,－2),
所以＝(－1,1),＝(－1,1)＋(1,－2)＝(0,－1).故选B.
3.已知向量a＝(5,2),b＝(－4,－3),c＝(x,y),若3a－2b＋c＝0,则c＝(　　)
A.(－23,－12) B.(23,12)
C.(7,0) D.(－7,0)
A
由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4,－3)＋(x,y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0),
所以
所以c＝(－23,－12).
4.(2026·沈阳模拟)已知向量＝(5,1),＝(m,9),＝(8,5).若A,C,D三点共线,则m＝(　　)
A. B.－11
C.11 D.－
C
因为向量,＝(m,9),＝(8,5),
所以＝(m＋5,10),
因为A,C,D三点共线,则∥,
所以5(m＋5)＝8×10,解得m＝11.
5.已知{a,b}是平面内的一个基底,若m＝xa＋yb,则称有序实数对(x,y)为向量m在基底{a,b}下的坐标,给定一个平面向量p,已知p在基底{a,b}下的坐标为(1,2),那么p在基底{a－b,a＋b}下的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
B
由p在基底{a,b}下的坐标为(1,2),得p＝a＋2b,
设p在基底{a－b,a＋b}下的坐标为(m,n),
则p＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b,
所以
所以p在基底{a－b,a＋b}下的坐标为
6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD＝1,AB＝2,BC＝3,M,N分别为CD,AD的中点,则|－2|＝(　　)
A.2 B.2
C.3 D.
D
如图,以B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,
则B(0,0),M(2,1),N,∴＝(2,1),,
∴－2＝(2,1)－2＝(1,－3),
∴|－2|＝.
7.在△ABC中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),,,AD与BC交于点M,则点M的坐标为(　　)
A. B.
C.(3,－2) D.(－2,3)
A
因为点O(0,0),A(0,5),B(4,3),
所以点C,同理点D.
设M的坐标为(x,y),
则＝(x,y－5),而.
因为A,M,D三点共线,
所以共线,
所以－x－2(y－5)＝0,即7x＋4y＝20.
而,,
因为C,M,B三点共线,所以共线,
所以x－4＝0,即7x－16y＝－20.
由
所以点M的坐标为.
8.在下列各组向量中,可以作为基底的是(　 　)
A.a＝(－3,2),b＝(6,－4) B.a＝(2,3),b＝(3,2)
C.a＝(1,－2),b＝(7,14) D.a＝(－2,3),b＝(4,6)
BCD
对于A,由向量a＝(－3,2),b＝(6,－4),可得(－3)×(－4)－2×6＝0,
所以a∥b,所以A错误;
对于B,由向量a＝(2,3),b＝(3,2),可得2×2－3×3≠0,
所以a与b不平行,所以B正确;
对于C,由向量a＝(1,－2),b＝(7,14),可得1×14－7×(－2)≠0,
所以a与b不平行,所以C正确;
对于D,由向量a＝(－2,3),b＝(4,6), 可得－2×6－3×4≠0,
所以a与b不平行,所以D正确.
二、多选题
9.已知等边三角形ABC内接于☉O,D为线段OA的中点,E为BC的中点,则＝(　　)
A. B.
C. D.
AC
如图所示,
则
＝()＝×
＝.故选AC.
10.已知点A(1,3),B(4,－1),则与向量同方向的单位向量的坐标是__________.
∵点A(1,3),B(4,－1),
∴＝(3,－4),
可得||＝＝5,
因此,与向量同方向的单位向量为
·(3,－4)＝.
三、填空题
11.已知A(2,3),B(4,－3),点P在线段AB的延长线上,且||＝||,则点P的坐标为____________.
(8,－15)
因为点P在线段AB的延长线上,
且||＝||,
所以,
所以＋2＝(4,－3)＋2(2,－6)＝(8,－15),
所以点P的坐标为(8,－15).
12.(2026·银川模拟)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,CD＝2AB,AB⊥AD,E是CD的中点,若＝λ＋μ,则λ＋μ＝_______.
1
＝λ＋μ＝λ＋μ
＝＋(λ＋μ),
而,
所以解得所以λ＋μ＝1.
13.已知A(－2,4),B(3,－1),C(－3,－4).设＝a,＝b,＝c,且＝3c,＝
－2b.
(1)求3a＋b－3c;
由已知得a＝(5,－5),b＝(－6,－3),c＝(1,8).
3a＋b－3c＝3(5,－5)＋(－6,－3)－3(1,8)＝(15－6－3,－15－3－24)＝(6,－42).
四、解答题
法一　∵mb＋nc＝(－6m＋n,－3m＋8n),
∴
法二　∵a＋b＋c＝0,∴a＝－b－c,
又a＝mb＋nc,b和c不共线,
∴mb＋nc＝－b－c,∴
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m,n;
设O为坐标原点,∵＝3c,
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3,－4)＝(0,20),
∴M(0,20).
又∵＝－2b,
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3,－4)＝(9,2),
∴N(9,2),∴＝(9,－18).
(3)求M,N的坐标及向量的坐标.
14.如图所示,已知矩形ABCD中,AB＝2,AD＝1,,,AC与MN相交于点E.
(1)若＝λ＋μ,求实数λ和μ的值;
如图,以A点为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,
建立平面直角坐标系,
则D(0,1),B(2,0),M,N,
所以,＝(2,0),＝(0,1),
所以＝λ＋μ＝(2λ,μ),
所以
(2)求.
由(1)可知C(2,1),设＝t＝t(2,1),所以E(2t,t),
又M,所以,
又,且M,N,E三点共线,
所以∥,
所以·(t－1)＝0,
解得t＝,故.

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