资源简介

第3节　平面向量的数量积及其应用
课标要求　1.理解平面向量数量积的含义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一点,作＝a,＝b,则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b＝|a||b|cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0·a＝0.
(3)投影向量
如图,在平面内任取一点O,作＝a,＝b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则与e,a,θ之间的关系为＝|a|cos θe.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
(1)数量积:a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模:|a|＝.
(3)夹角:cos θ＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲:(1)用向量表示问题中的几何元素,将几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
1.有关向量夹角的两个结论
已知非零向量a,b.
(1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;
若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0;
若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2;
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2;
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(2)向量a与b的夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cos θ).(　　)
(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)
(4)若a·b＝a·c(a≠0),则b＝c.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
解析　(1)两个向量夹角的范围是[0,π].
(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos＝|a||c|·cos,所以向量b和c不一定相等.
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(人教A必修二P35例11改编)设a＝(5,－7),b＝(－6,－4),设a,b的夹角为θ,则cos θ＝　　　　.
答案　－
解析　cos θ＝＝－.
3.(苏教必修二P47T12改编)已知|a|＝3,|b|＝4,且a与b不共线,若(a＋kb)⊥(a－kb),则实数k＝　　　　.
答案　±
解析　由题意知(a＋kb)·(a－kb)＝a2－k2b2＝9－16k2＝0,解得k＝±.
4.(北师大必修二P113练习T2(2)改编)已知|a|＝6,|b|＝4,a与b的夹角为60°,则(2a－b)·(a＋3b)＝　　　　.
答案　84
解析　(2a－b)·(a＋3b)
＝2|a|2＋5a·b－3|b|2
＝2×36＋5×6×4×－3×16＝84.
考点一　数量积的计算
例1 (1)已知正方形ABCD的边长为4,点P满足＝λ(λ>0),则·的最大值为　　　　.
(2)(2025·天津卷)△ABC中,D为AB中点,,＝a,＝b,则＝　　　　(用a,b表示);若||＝5,AE⊥CB,则·＝　　　　.
答案　(1)－12　(2)a＋b　－15
解析　(1)以A为坐标原点,
AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
则A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),P(4λ,0).
因为＝(4－4λ,4),
＝(4λ,－4)(λ>0),
所以·＝4λ(4－4λ)－16＝－16λ2＋16λ－16＝－16－12,
所以当λ＝时,·取得最大值－12.
(2)
＝()＝
＝a＋b.
∵||＝5,∴25＝,
即900＝a2＋16b2＋8a·b, ①
易得＝b－a,
∵⊥,∴·＝0,
即·(b－a)＝0,
得4b2－a2－3a·b＝0, ②
由①②得2 700＝80b2－5a2,
∴16b2－a2＝540,
∴··
＝(a2－8b2＋2a·b)
＝
＝(a2－16b2)
＝×(－540)＝－15.
感悟提升　计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义:a·b＝|a||b|cos;
(2)利用坐标运算,若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a·b＝x1x2＋y1y2;
(3)利用基底法求数量积;
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
训练1 (1)(2026·苏锡常镇调研)已知平面向量a,b是两个单位向量,a在b上的投影向量为b,则a·(a＋b)＝(　　)
A.1 B.
C. D.
(2)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB,AD向外分别作正方形ABEF,ADMN,其中AB＝2,AD＝1,∠BAD＝,则·＝　　　　.
答案　(1)B　(2)0
解析　(1)由题意得|a|＝|b|＝1,
b,解得a·b＝,
故a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋.
(2)法一　·＝()·()＝····
＝0＋||||cos ＋||||cos ＋0＝－＝0.
法二　建立平面直角坐标系,如图,则A(0,2),
C,
N,F(0,0),
则,
,
则·＝－＝0.
考点二　数量积的应用
角度1　夹角与垂直
例2 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1),b＝(2,x),若b⊥(b－4a),则x＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
(2)(2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|＝|b|＝1,|c|＝,且a＋b＋c＝0,则cos＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)法一　因为b⊥(b－4a),
所以b·(b－4a)＝0,即b2＝4a·b.
因为a＝(0,1),b＝(2,x),
所以b2＝4＋x2,a·b＝x,
得4＋x2＝4x,所以(x－2)2＝0,
解得x＝2,故选D.
法二　因为a＝(0,1),b＝(2,x),
所以b－4a＝(2,x)－4(0,1)＝(2,x)－(0,4)＝(2,x－4).
因为b⊥(b－4a),所以b·(b－4a)＝0,
所以2×2＋x(x－4)＝0,
所以(x－2)2＝0,解得x＝2,故选D.
(2)因为向量|a|＝|b|＝1,|c|＝,
且a＋b＋c＝0,
所以c＝－a－b,等式两边同时平方得
c2＝a2＋b2＋2a·b,
即2＝1＋1＋2a·b,
解得a·b＝0.
法一　a－c＝a－(－a－b)＝2a＋b,
b－c＝b－(－a－b)＝a＋2b,
所以(a－c)·(b－c)
＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝4,
且|a－c|＝|2a＋b|
＝,
|b－c|＝|a＋2b|
＝,
所以cos＝.
法二　如图,令向量a,b的起点均为O,终点分别为A,B,以,分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,
则a＝(1,0),b＝(0,1),c＝－a－b＝(－1,－1),
所以a－c＝(2,1),b－c＝(1,2),
则cos＝.
角度2　平面向量的模
例3 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a－b|＝,|a＋b|＝|2a－b|,则|b|＝　　　　.
(2)(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中,||＝||＝,||＝2,设C(3,4),则|2|的取值范围是(　　)
A.[6,14] B.[6,12]
C.[8,14] D.[8,12]
答案　(1)　(2)D
解析　(1)由|a－b|＝,
得a2－2a·b＋b2＝3,
即2a·b＝a2＋b2－3. ①
由|a＋b|＝|2a－b|,
得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2,
整理得,3a2－6a·b＝0,
结合①,得3a2－3(a2＋b2－3)＝0,
整理得,b2＝3,所以|b|＝.
(2)因为||＝||＝,||＝2,
由平方,
可得·＝0,
所以<,>＝.
2＝2()＋
＝－2,||＝＝5,
所以|2|2
＝＋4－4()·
＝2＋2＋4×25－4()·
＝104－4()·,
又|()·|≤||||
＝5×＝10,
即－10≤()·≤10,
所以|2|2∈[64,144],
即|2|∈[8,12].
感悟提升　1.求平面向量的模的方法
(1)公式法:利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2;(2)几何法:利用向量的几何意义.
2.求平面向量的夹角的方法
(1)定义法:cos θ＝;(2)坐标法.
3.两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0,b≠0).
训练2 (1)(多选)(2026·汉中模拟)已知向量a＝(1,2),b＝(1,－1),则(　　)
A.a＋2b＝(3,1)
B.|a|＝
C.cos＝
D.a在b方向上的投影向量坐标是
(2)已知a,b为单位向量,且|3a－5b|＝7,则a与a－b的夹角为　　　　.
(3)(2024·新高考Ⅱ卷改编)已知向量a,b满足|a|＝1,|a＋2b|＝2,且(b－2a)⊥b,则|b|＝　　　　.
(4)(2026·南京模拟)已知向量a,b满足|a|＝1,|b|＝2,a·b＝0,若向量c满足|a＋b－2c|＝1,则|c| 的取值范围为　　　　.
答案　(1)BD　(2)　(3)　
(4)
解析　(1)对于A,a＋2b＝(1,2)＋(2,－2)＝(3,0),错误;
对于B,|a|＝,正确;
对于C,cos＝＝－,错误;
对于D:a在b方向上的投影向量坐标是|a|cos··b＝－·(1,－1)＝,正确.
(2)因为a,b为单位向量,
由|3a－5b|＝7,得(3a－5b)2＝49,
即9a2－30a·b＋25b2＝49,
即9－30a·b＋25＝49,
得a·b＝－,
设a与a－b的夹角为θ,
则cos θ＝＝,
又θ∈[0,π],所以θ＝.
(3)由(b－2a)⊥b,
得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0,
所以b2＝2a·b.
将|a＋2b|＝2的两边同时平方,
得a2＋4a·b＋4b2＝4,
即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4,
解得|b|2＝,
所以|b|＝.
(4)法一　由题意可设
a＝(0,1),b＝(2,0),c＝(x,y),
则a＋b－2c＝(2－2x,1－2y),
由|a＋b－2c|＝1,
可得(2－2x)2＋(1－2y)2＝1,
化简可得(x－1)2＋,
该方程表示以为圆心,为半径的圆,
则|c|表示圆上的点到原点的距离,
而圆心到原点的距离d＝,
所以|c|＝的取值范围是[d－r,d＋r],
即.
法二　由|a|＝1,|b|＝2,
a·b＝0,
得|a＋b|＝,
又||a＋b|－|2c||≤|a＋b－2c|＝1,
即－1≤|2c|≤＋1,
即|c|∈.
一、单选题
1.(2026·南昌调研)已知单位向量a,b满足a·b＝,则|a＋b|＝(　　)
A.0 B.1
C.2 D.
答案　D
解析　(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋1＝3,则|a＋b|＝.
2.(2026·厦门质检)已知向量a,b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2,则a·b＝(　　)
A.0 B.2
C.2 D.2
答案　B
解析　由|a－b|＝2得a2－2a·b＋b2＝4,
∵|a|＝|b|＝2,∴4－2a·b＋4＝4,
即a·b＝2.
3.(2025·新高考Ⅱ卷改编)已知平面向量a＝(x,1),b＝(x－1,2x),若a⊥(a－b),则|a|＝(　　)
A. B.
C.1 D.
答案　B
解析　由题意得a－b＝(1,1－2x),
又a⊥(a－b),
所以a·(a－b)＝x＋1－2x＝1－x＝0,
解得x＝1,所以|a|＝.
4.(2026·西安模拟)已知平面向量a,b是两个单位向量,若a－2b的模为,则b在a上的投影向量是(　　)
A.a B.b
C.a D.b
答案　C
解析　依题意,|a－2b|＝,
则a2－4a·b＋4b2＝3,
而|a|＝|b|＝1,解得a·b＝,
所以b在a上的投影向量是a＝a.
5.(2026·合肥模拟)已知向量e1＝(1,0),e2＝(1,),设a＝4e1＋e2,b＝3e1－e2,则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为e1＝(1,0),e2＝(1,),
所以a＝4e1＋e2＝(5,),
b＝3e1－e2＝(2,－),
所以a·b＝10－3＝7,|a|＝＝2,
|b|＝,
设a与b的夹角为θ,
则cos θ＝,
又θ∈[0,π],所以θ＝,
即a与b的夹角为.
6.(2026·烟台模拟)在△ABC中,AB＝2AC＝6,∠BAC＝60°,＝3,则||＝(　　)
A. B.
C. D.2
答案　C
解析　在△ABC中,AB＝2AC＝6,∠BAC＝60°,＝3,
所以,
则||＝
＝.
7.(2026·湖北七市(州)联合调研)已知向量m＝(1,0),向量a满足|a－4m|＝|m|,则|a|的最小值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　设a＝(x,y),则a－4m＝(x－4,y),
由|a－4m|＝|m|,得＝1,
所以(x－4)2＋y2＝1,
所以y2＝1－(x－4)2,
由y2≥0,解得3≤x≤5,
所以|a|＝＝,
所以当x＝3时,|a|取得最小值,且最小值为3.
二、多选题
8.(2026·重庆诊断)下列关于向量a,b,c的运算,一定成立的是(　　)
A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c)
C.a·b≤|a||b| D.|a－b|≤|a|＋|b|
答案　ACD
解析　根据数量积的分配律可知A正确;
B中,左边为c的共线向量,右边为a的共线向量,故B不正确;
C中,根据数量积的定义可知
a·b＝|a||b|cos≤|a||b|,故C正确;
D中,|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0,故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2,
即|a－b|≤|a|＋|b|,故D正确.
9.(2026·成都诊断)八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|＝1,则下列结论正确的为(　　)
A.·＝－
B.
C.··
D.||＝||
答案　ACD
解析　由正八边形的几何性质知,每个中心角为,
||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝1,D正确;
∴·＝||·||cos
＝－,A正确;
是方向相反的向量,B错误;
·＝||·||cos,
·＝||·||cos,
··,C正确.
三、填空题
10.物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W＝F·S(其中W是功,F是力,S是位移).一物体在力F1＝(2,4)和F2＝(－5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体的所做的功等于　　　　.
答案　25
解析　因为F1＝(2,4),F2＝(－5,3),
所以F1＋F2＝(－3,7),
又A(1,0),B(2,4),所以＝(1,4),
故W＝(F1＋F2)·＝－3＋7×4＝25.
11.(2026·商洛模拟)已知圆O的半径为3,弦AB＝3,D为圆O上一动点,则·的最大值为　　　　.
答案　
解析　以圆心O为原点,过点O且与
直线AB平行的直线为x轴,
线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
则A,
B,
设点D(3cos θ,3sin θ),＝(3,0),
,
所以·＝9cos θ＋≤,
当且仅当cos θ＝1时,·.
12.(2026·北京人大附中统练)定义平面向量的一种运算a☉b＝|a＋b|×|a－b|×sin,其中是a与b的夹角,给出下列命题:①若＝90°,则a☉b＝a2＋b2;②若|a|＝|b|,
则(a＋b)☉(a－b)＝4a·b;③若|a|＝|b|,则a☉b≤2|a|2;④若a＝(1,2),b＝(－2,2),则(a＋b)☉b＝.其中真命题的序号是　　　　.
答案　①③
解析　对于①,若＝90°,
则|a＋b|＝|a－b|,a·b＝0,
则a☉b＝|a＋b|×|a－b|＝|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2,故①正确;
对于②,若|a|＝|b|,
则(a＋b)⊥(a－b),
则(a＋b)与(a－b)的夹角为90°,
则(a＋b)☉(a－b)＝|(a＋b)＋(a－b)|×|(a＋b)－(a－b)|sin 90°＝4|a||b|,故②错误;
对于③,若|a|＝|b|,则a☉b≤|a＋b|×|a－b|
＝·
＝≤2|a|2,故③正确;
对于④,若a＝(1,2),b＝(－2,2),
则a＋b＝(－1,4),a＋2b＝(－3,6),
则cos＝,
sin＝,
则(a＋b)☉b＝|a＋2b|×|a|×sin
＝3××≠,故④错误.
四、解答题
13.已知向量a,b满足|a|＝,|b|＝4,a·(b－a)＝2.
(1)求向量a与b的夹角;
(2)若|ta－b|＝2,求实数t的值.
解　(1)设向量a与b的夹角为θ,
∵|a|＝,|b|＝4,
∴a·(b－a)＝a·b－a2＝|a||b|cos θ－a2
＝4cos θ－2＝2,
∴cos θ＝,
∵0≤θ≤π,∴θ＝.
∴向量a与b的夹角为.
(2)∵|ta－b|＝2,由(1)知a·b＝4,
∴t2a2－2ta·b＋b2＝2t2－8t＋16＝8,
即t2－4t＋4＝0,解得t＝2.
14.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,＝λ,BC＝2AB＝2AD＝2.
(1)若⊥,求实数λ的值;
(2)若λ＝,求与的夹角θ的余弦值.
解　(1)分别以,的方向为x轴、y轴的正方向,点B为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
所以A(0,1),C(2,0),
D(1,1),E(λ,1),
所以＝(2,－1),
＝(λ,1),
因为⊥,
所以·＝2λ－1＝0,
所以λ＝.
(2)当λ＝时,||＝,
||＝,
因为·＝2λ－1＝,
所以cos θ＝.
故的夹角θ的余弦值为.(共58张PPT)
数学
高考总
复
习
第五章　平面向量、复数
第3节　平面向量的数量积及其应用
1.理解平面向量数量积的含义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一点,作＝a,＝b,则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量_________________叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b＝________________.规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0·a＝0.
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
(3)投影向量
如图,在平面内任取一点O,作＝a,＝b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则______与e,a,θ之间的关系为＝|a|cos θe.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
(1)数量积:a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模:|a|＝.
(3)夹角:cos θ＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲:(1)用向量表示问题中的几何元素,将几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
常用结论与微点提醒
1.有关向量夹角的两个结论
已知非零向量a,b.
(1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;
若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0;
若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π.
常用结论与微点提醒
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2;
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2;
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
(1)两个向量夹角的范围是[0,π].
(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos＝|a||c|·cos,所以向量b和c不一定相等.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(2)向量a与b的夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cos θ).(　　)
(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)
(4)若a·b＝a·c(a≠0),则b＝c.(　　)
√
×
2.(人教A必修二P35例11改编)设a＝(5,－7),b＝(－6,－4),设a,b的夹角为θ,则
cos θ＝________.
cos θ＝＝－.
－
3.(苏教必修二P47T12改编)已知|a|＝3,|b|＝4,且a与b不共线,若(a＋kb)⊥(a－kb),则实数k＝_________.
±
由题意知(a＋kb)·(a－kb)＝a2－k2b2＝9－16k2＝0,解得k＝±.
4.(北师大必修二P113练习T2(2)改编)已知|a|＝6,|b|＝4,a与b的夹角为60°,则(2a－b)·(a＋3b)＝_____.
84
(2a－b)·(a＋3b)
＝2|a|2＋5a·b－3|b|2
＝2×36＋5×6×4×－3×16＝84.
考点聚焦突破
02
例1 (1)已知正方形ABCD的边长为4,点P满足＝λ(λ>0),则·的最大值为________.
－12
以A为坐标原点,
AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
则A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),P(4λ,0).
因为＝(4－4λ,4),＝(4λ,－4)(λ>0),
所以·＝4λ(4－4λ)－16＝－16λ2＋16λ－16＝－16－12,
所以当λ＝时,·取得最大值－12.
考点一　数量积的计算
(2)(2025·天津卷)△ABC中,D为AB中点,,＝a,＝b,则＝____________(用a,b表示);若||＝5,AE⊥CB,则·＝____________.
a＋b
＝()＝＝a＋b.
∵||＝5,∴25＝,
即900＝a2＋16b2＋8a·b, ①
易得＝b－a,
∵⊥,∴·＝0,
即·(b－a)＝0,
得4b2－a2－3a·b＝0, ②
由①②得2 700＝80b2－5a2,
∴16b2－a2＝540,
∴··
＝(a2－8b2＋2a·b)
＝
＝(a2－16b2)
＝×(－540)＝－15.
感悟提升
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义:a·b＝|a||b|cos;
(2)利用坐标运算,若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a·b＝x1x2＋y1y2;
(3)利用基底法求数量积;
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
训练1 (1)(2026·苏锡常镇调研)已知平面向量a,b是两个单位向量,a在b上的投影向量为b,则a·(a＋b)＝(　　)
A.1 B.
C. D.
B
由题意得|a|＝|b|＝1,
b,解得a·b＝,
故a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋.
(2)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB,AD向外分别作正方形ABEF,ADMN,其中AB＝2,AD＝1,∠BAD＝,则·＝_____.
法一　·＝()·()＝····＝0＋||||cos ＋||||cos ＋0＝－＝0.
法二　建立平面直角坐标系,如图,则A(0,2),
C,N,F(0,0),
0
则,
,
则·＝－＝0.
角度1　夹角与垂直
例2 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1),b＝(2,x),若b⊥(b－4a),则x＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
D
法一　因为b⊥(b－4a),
所以b·(b－4a)＝0,即b2＝4a·b.
因为a＝(0,1),b＝(2,x),所以b2＝4＋x2,a·b＝x,
得4＋x2＝4x,所以(x－2)2＝0,
解得x＝2,故选D.
考点二　数量积的应用
法二　因为a＝(0,1),b＝(2,x),
所以b－4a＝(2,x)－4(0,1)＝(2,x)－(0,4)＝(2,x－4).
因为b⊥(b－4a),所以b·(b－4a)＝0,
所以2×2＋x(x－4)＝0,
所以(x－2)2＝0,解得x＝2,故选D.
(2)(2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|＝|b|＝1,|c|＝,且a＋b＋c＝0,则cos＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
D
因为向量|a|＝|b|＝1,|c|＝,且a＋b＋c＝0,
所以c＝－a－b,等式两边同时平方得c2＝a2＋b2＋2a·b,
即2＝1＋1＋2a·b,
解得a·b＝0.
法一　a－c＝a－(－a－b)＝2a＋b,
b－c＝b－(－a－b)＝a＋2b,
所以(a－c)·(b－c)
＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝4,
且|a－c|＝|2a＋b|
＝,
|b－c|＝|a＋2b|
＝,
所以cos＝.
法二　如图,令向量a,b的起点均为O,终点分别为A,B,以,分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,
则a＝(1,0),b＝(0,1),c＝－a－b＝(－1,－1),
所以a－c＝(2,1),b－c＝(1,2),
则cos＝.
角度2　平面向量的模
例3 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a－b|＝,|a＋b|＝|2a－b|,则|b|＝_________.
由|a－b|＝,得a2－2a·b＋b2＝3,
即2a·b＝a2＋b2－3. ①
由|a＋b|＝|2a－b|,得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2,
整理得,3a2－6a·b＝0,
结合①,得3a2－3(a2＋b2－3)＝0,
整理得,b2＝3,所以|b|＝.
(2)(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中,||＝||＝,||＝2,设C(3,4),则|2|的取值范围是(　　)
A.[6,14] B.[6,12]
C.[8,14] D.[8,12]
D
因为||＝||＝,||＝2,
由平方,可得·＝0,所以<,>＝.
2＝2()＋＝－2,||＝＝5,
所以|2|2＝＋4－4()·
＝2＋2＋4×25－4()·＝104－4()·,
又|()·|≤||||
＝5×＝10,
即－10≤()·≤10,
所以|2|2∈[64,144],
即|2|∈[8,12].
感悟提升
1.求平面向量的模的方法
(1)公式法:利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2;(2)几何法:利用向量的几何意义.
2.求平面向量的夹角的方法
(1)定义法:cos θ＝;(2)坐标法.
3.两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0,b≠0).
训练2 (1)(多选)(2026·汉中模拟)已知向量a＝(1,2),b＝(1,－1),则(　　)
A.a＋2b＝(3,1)
B.|a|＝
C.cos＝
D.a在b方向上的投影向量坐标是
BD
对于A,a＋2b＝(1,2)＋(2,－2)＝(3,0),错误;
对于B,|a|＝,正确;
对于C,cos＝＝－,错误;
对于D:a在b方向上的投影向量坐标是
|a|cos··b＝－·(1,－1)＝,正确.
(2)已知a,b为单位向量,且|3a－5b|＝7,则a与a－b的夹角为________.
因为a,b为单位向量,由|3a－5b|＝7,得(3a－5b)2＝49,
即9a2－30a·b＋25b2＝49,即9－30a·b＋25＝49,得a·b＝－,
设a与a－b的夹角为θ,
则cos θ＝＝,
又θ∈[0,π],所以θ＝.
(3)(2024·新高考Ⅱ卷改编)已知向量a,b满足|a|＝1,|a＋2b|＝2,且(b－2a)⊥b,则|b|
＝_______.
由(b－2a)⊥b,得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0,所以b2＝2a·b.
将|a＋2b|＝2的两边同时平方,
得a2＋4a·b＋4b2＝4,
即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4,
解得|b|2＝,所以|b|＝.
(4)(2026·南京模拟)已知向量a,b满足|a|＝1,|b|＝2,a·b＝0,若向量c满足|a＋b－2c|
＝1,则|c| 的取值范围为__________________.
法一　由题意可设
a＝(0,1),b＝(2,0),c＝(x,y),
则a＋b－2c＝(2－2x,1－2y),
由|a＋b－2c|＝1,
可得(2－2x)2＋(1－2y)2＝1,
化简可得(x－1)2＋,
该方程表示以为圆心,为半径的圆,
则|c|表示圆上的点到原点的距离,
而圆心到原点的距离d＝,
所以|c|＝的取值范围是[d－r,d＋r],
即.
法二　由|a|＝1,|b|＝2,a·b＝0,得|a＋b|＝,
又||a＋b|－|2c||≤|a＋b－2c|＝1,即－1≤|2c|≤＋1,
即|c|∈.
课时对点精练
03
一、单选题
1.(2026·南昌调研)已知单位向量a,b满足a·b＝,则|a＋b|＝(　　)
A.0 B.1
C.2 D.
D
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋1＝3,则|a＋b|＝.
2.(2026·厦门质检)已知向量a,b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2,则a·b＝(　　)
A.0 B.2
C.2 D.2
B
由|a－b|＝2得a2－2a·b＋b2＝4,
∵|a|＝|b|＝2,∴4－2a·b＋4＝4,
即a·b＝2.
3.(2025·新高考Ⅱ卷改编)已知平面向量a＝(x,1),b＝(x－1,2x),若a⊥(a－b),则|a|＝(　　)
A. B.
C.1 D.
B
由题意得a－b＝(1,1－2x),
又a⊥(a－b),
所以a·(a－b)＝x＋1－2x＝1－x＝0,
解得x＝1,所以|a|＝.
4.(2026·西安模拟)已知平面向量a,b是两个单位向量,若a－2b的模为,则b在a上的投影向量是(　　)
A.a B.b
C.a D.b
C
依题意,|a－2b|＝,
则a2－4a·b＋4b2＝3,
而|a|＝|b|＝1,解得a·b＝,
所以b在a上的投影向量是a＝a.
5.(2026·合肥模拟)已知向量e1＝(1,0),e2＝(1,),设a＝4e1＋e2,b＝3e1－e2,则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
C
因为e1＝(1,0),e2＝(1,),
所以a＝4e1＋e2＝(5,),
b＝3e1－e2＝(2,－),
所以a·b＝10－3＝7,|a|＝＝2,
|b|＝,
设a与b的夹角为θ,
则cos θ＝,
又θ∈[0,π],所以θ＝,
即a与b的夹角为.
6.(2026·烟台模拟)在△ABC中,AB＝2AC＝6,∠BAC＝60°,＝3,则||＝(　　)
A. B.
C. D.2
C
在△ABC中,AB＝2AC＝6,∠BAC＝60°,＝3,所以,
则||＝
＝.
7.(2026·湖北七市(州)联合调研)已知向量m＝(1,0),向量a满足|a－4m|＝|m|,则|a|的最小值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
C
设a＝(x,y),则a－4m＝(x－4,y),由|a－4m|＝|m|,得＝1,
所以(x－4)2＋y2＝1,所以y2＝1－(x－4)2,
由y2≥0,解得3≤x≤5,
所以|a|＝＝,
所以当x＝3时,|a|取得最小值,且最小值为3.
8.(2026·重庆诊断)下列关于向量a,b,c的运算,一定成立的是(　　 )
A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c)
C.a·b≤|a||b| D.|a－b|≤|a|＋|b|
ACD
根据数量积的分配律可知A正确;
B中,左边为c的共线向量,右边为a的共线向量,故B不正确;
C中,根据数量积的定义可知
a·b＝|a||b|cos≤|a||b|,故C正确;
D中,|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0,故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2,
即|a－b|≤|a|＋|b|,故D正确.
二、多选题
9.(2026·成都诊断)八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|＝1,则下列结论正确的为(　　 )
A.·＝－
B.
C.··
D.||＝||
ACD
由正八边形的几何性质知,每个中心角为,
||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝1,D正确;
∴·＝||·||cos＝－,A正确;
是方向相反的向量,B错误;
·＝||·||cos,
·＝||·||cos,
··,C正确.
10.物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W＝F·S(其中W是功,F是力,S是位移).一物体在力F1＝(2,4)和F2＝(－5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体的所做的功等于_______.
因为F1＝(2,4),F2＝(－5,3),
所以F1＋F2＝(－3,7),
又A(1,0),B(2,4),所以＝(1,4),
故W＝(F1＋F2)·＝－3＋7×4＝25.
三、填空题
25
11.(2026·商洛模拟)已知圆O的半径为3,弦AB＝3,D为圆O上一动点,则·的最
大值为_______.
以圆心O为原点,过点O且与
直线AB平行的直线为x轴,
线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
则A,B,
设点D(3cos θ,3sin θ),＝(3,0),,
所以·＝9cos θ＋≤,当且仅当cos θ＝1时,·.
12.(2026·北京人大附中统练)定义平面向量的一种运算a☉b＝|a＋b|×|a－b|×sin,其中是a与b的夹角,给出下列命题:①若＝90°,则a☉b＝a2＋b2;②若|a|＝|b|,则(a＋b)☉(a－b)＝4a·b;③若|a|＝|b|,则a☉b≤2|a|2;④若a＝(1,2),b＝(－2,2),则(a＋b)☉b＝.其中真命题的序号是_______.
①③
对于①,若＝90°,
则|a＋b|＝|a－b|,a·b＝0,
则a☉b＝|a＋b|×|a－b|＝|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2,故①正确;
对于②,若|a|＝|b|,
则(a＋b)⊥(a－b),则(a＋b)与(a－b)的夹角为90°,
则(a＋b)☉(a－b)＝|(a＋b)＋(a－b)|×|(a＋b)－(a－b)|sin 90°＝4|a||b|,故②错误;
对于③,若|a|＝|b|,则a☉b≤|a＋b|×|a－b|＝·
＝≤2|a|2,故③正确;
对于④,若a＝(1,2),b＝(－2,2),则a＋b＝(－1,4),a＋2b＝(－3,6),
则cos＝,sin＝,
则(a＋b)☉b＝|a＋2b|×|a|×sin
＝3××≠,故④错误.
13.已知向量a,b满足|a|＝,|b|＝4,a·(b－a)＝2.
(1)求向量a与b的夹角;
设向量a与b的夹角为θ,
∵|a|＝,|b|＝4,
∴a·(b－a)＝a·b－a2＝|a||b|cos θ－a2＝4cos θ－2＝2,
∴cos θ＝,
∵0≤θ≤π,∴θ＝.∴向量a与b的夹角为.
四、解答题
∵|ta－b|＝2,由(1)知a·b＝4,
∴t2a2－2ta·b＋b2＝2t2－8t＋16＝8,
即t2－4t＋4＝0,解得t＝2.
(2)若|ta－b|＝2,求实数t的值.
14.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,＝λ,BC＝2AB＝2AD＝2.
(1)若⊥,求实数λ的值;
分别以,的方向为x轴、y轴的正方向,点B为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
所以A(0,1),C(2,0),D(1,1),E(λ,1),
所以＝(2,－1),＝(λ,1),
因为⊥,所以·＝2λ－1＝0,所以λ＝.
(2)若λ＝,求与的夹角θ的余弦值.
当λ＝时,||＝,
||＝,
因为·＝2λ－1＝,
所以cos θ＝.
故的夹角θ的余弦值为.

展开更多......

收起↑