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第4节　复 数
课标要求　1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.理解复数的代数表示法及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算. 5.掌握复数代数形式的加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
(1)定义:我们把集合C＝{a＋bi|a,b∈R}中的数,即形如a＋bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类
满足条件(a,b为实数)
复数的 分类 a＋bi为实数 b＝0
a＋bi为虚数 b≠0
a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
(3)复数相等:a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a,b,c,d∈R).
(4)共轭复数:a＋bi与c＋di共轭 a＝c,b＝－d(a,b,c,d∈R).
(5)模:向量的模叫做复数z＝a＋bi的模,记作|a＋bi|或|z|,即|z|＝|a＋bi|＝(a,b∈R).
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量＝(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则:设z1＝a＋bi,z2＝c＋di,a,b,c,d∈R.
(2)几何意义:复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即,.
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1,i4n＋1＝i,i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i,i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0,n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i,＝i,＝－i,.
3.复数的模与共轭复数的关系z·＝|z|2＝||2.
4.r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心,以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环;
|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a,b∈R)中,虚部为bi.(　　)
(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.(　　)
(3)原点是实轴与虚轴的交点.(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)虚部为b;(2)虚数不可以比较大小.
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(人教A必修二P69例1改编)若复数z＝m＋1＋(m－1)i为纯虚数,则实数m＝　　　　.
答案　－1
解析　由题意知解得m＝－1.
3.(人教A必修二P94T1(2)改编)复数的共轭复数是　　　　.
答案　－2＋i
解析　＝－2－i,
故其共轭复数是－2＋i.
4.(北师大必修二P183例5改编)计算:
(－2－i)(3＋i)＝　　　　.
答案　－5－5i
解析　(－2－i)(3＋i)
＝－2×3－2×i－3×i－i×i
＝－6－2i－3i－i2
＝－6－2i－3i＋1
＝－5－5i.
考点一　复数的概念
例1 (1)(2026·沈阳模拟)已知(1－2i)a＋(3＋4i)b＝2＋6i,其中a,b为实数,则(　　)
A.a＝1,b＝－1 B.a＝－1,b＝1
C.a＝－1,b＝－1 D.a＝1,b＝1
(2)(2026·温州适考)已知复数z＝1－2i是方程x2＋ax＋b＝0(a,b∈R)的根,则|a＋bi|等于(　　)
A. B.4
C. D.
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)因为(1－2i)a＋(3＋4i)b＝2＋6i,
所以(a＋3b)＋(－2a＋4b)i＝2＋6i,
所以解得a＝－1,b＝1.
(2)由题意得,＝1＋2i是方程x2＋ax＋b＝0(a,b∈R)的另一个根,由根与系数的关系得1＋2i＋1－2i＝－a,(1＋2i)(1－2i)＝b,
故a＝－2,b＝1－4i2＝1＋4＝5,
故|a＋bi|＝|－2＋5i|＝.
感悟提升　解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
训练1 (1)(2025·新高考Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.6
(2)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1,且复数z对应的点在第一象限,则下列结论正确的是(　　)
A.复数z的虚部为－
B.z＝i
C.z2＝z＋1
D.复数z的共轭复数为i
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)由题意(1＋5i)i＝－5＋i,其虚部为1.故选C.
(2)设复数z＝a＋bi(a,b∈R),
因为|z|＝|z－1|＝1,且复数z对应的点在第一象限,
所以
即z＝i.
对于A,复数z的虚部为,故A错误;
对于B,z＝i,故B错误;
对于C,因为z2＝＝－i≠z＋1,故C错误;
对于D,复数z的共轭复数为i,故D正确.
考点二　复数的四则运算
例2 (1)(2025·北京卷)已知复数z满足i·z＋2＝2i,则|z|＝(　　)
A. B.2
C.4 D.8
(2)(2026·厦门模拟)已知z＝,则＋z2 026＝　　　　.
答案　(1)B　(2)－1＋i
解析　(1)由i·z＋2＝2i,可得z＝＝2＋2i,
所以|z|＝＝2.
(2)因为z＝＝－i,所以＝i,
所以＋z2 026＝i＋(－i)2 026＝i＋i2＝－1＋i.
感悟提升　1.复数的乘法类似于多项式的乘法运算;
2.复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
训练2 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)已知z＝1＋i,则＝(　　)
A.－i B.i
C.－1 D.1
(2)(2026·青岛模拟)若(1＋2i)z＝5,则z·＝　　　　.
答案　(1)A　(2)5
解析　(1)由题意＝－i,故选A.
(2)z＝＝1－2i,
所以＝1＋2i,所以z·＝(1－2i)(1＋2i)＝5.
考点三　复数的几何意义
例3 (1)(2026·石家庄质检)复数z＝在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(2025·上海卷)已知复数z满足z2＝()2,|z|≤1,则|z－2－3i|的最小值是　　　　.
答案　(1)B　(2)2
解析　(1)z＝＝－,
所以复数z＝位于第二象限.故选B.
(2)设z＝a＋bi(a,b∈R),则＝a－bi,
由z2＝()2,可得(a＋bi)2＝(a－bi)2,
即a2－b2＋2abi＝a2－b2－2abi,故ab＝0.
又|z|≤1可得≤1,即a2＋b2≤1.
法一　当a＝0时,b2≤1,|z－2－3i|＝
|－2＋(b－3)i|＝,
此时|z－2－3i|min＝＝2.
当b＝0时,a2≤1,|z－2－3i|＝|a－2－3i|＝,
此时|z－2－3i|min＝.
当a＝0,b＝0时,|z－2－3i|＝|－2－3i|＝.
综上,|z－2－3i|的最小值为2.
法二　设复数z在复平面内对应的点的坐标为(x,y),其中x＝0(－1≤y≤1)或y＝0(－1≤x≤1),|z－2－3i|表示z在复平面内对应的点与点(2,3)的距离,作出图形如图,结合图知,当z在复平面内对应的点为(0,1)时,|z－2－3i|取到最小值,为＝2.
感悟提升　1.复数z＝a＋bi(a,b∈R)Z(a,b)＝(a,b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此解题时可运用数形结合的方法,把复数、向量与解析几何联系在一起,使问题的解决更加直观.
训练3 (1)(2026·安阳模拟)若复数(2＋i)·(a＋i)在复平面内对应的点位于y轴上,则实数a＝(　　)
A.－2 B.－
C. D.2
(2)已知复数z满足|z－2|＝1,则|z－i|的最小值为　　　　.
答案　(1)C　(2)－1
解析　(1)因为(2＋i)(a＋i)＝2a－1＋(a＋2)i在复平面内对应的点位于y轴上,
所以2a－1＝0,得a＝,此时a＋2＝,满足题意.
(2)设z＝x＋yi(x,y∈R),
因为|z－2|＝|x－2＋yi|＝＝1,
所以(x－2)2＋y2＝1,
即z在复平面内对应点的轨迹为圆C:(x－2)2＋y2＝1,如图,
又|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝,
所以|z－i|表示圆C上的点到点A(0,1)的距离,所以|z－i|min＝CA－1＝－1.
一、单选题
1.(2026·西安模拟)已知a∈R,z＝(3－ai)(1＋i)是纯虚数,则|a＋4i|＝(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案　C
解析　因为z＝(3－ai)(1＋i)＝3＋a＋i是纯虚数,
所以a＋3＝0且a≠3,所以a＝－3,
则|a＋4i|＝|－3＋4i|＝＝5.
2.(2026·菏泽模拟)已知z＝,则＝(　　)
A.－i B.i
C.－i D.i
答案　C
解析　因为z＝＝－i－＝－i,
所以＝－i.
3.(2026·昆明月考)在复平面内,O为坐标原点,复数2－i,－1＋3i对应的向量分别是,,则对应的复数为(　　)
A.－3＋4i B.1－2i
C.3－4i D.1＋2i
答案　A
解析　复数2－i,－1＋3i对应的点为M(2,－1),N(－1,3),
所以＝(－1,3)－(2,－1)
＝(－3,4),对应的复数为－3＋4i.
4.(2026·重庆诊断)已知m,n为实数,1－i(i为虚数单位)是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根,则m＋n等于(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
答案　D
解析　由1－i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根,
则1＋i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的另一个根,则m＝1－i＋1＋i＝2,n＝(1－i)×(1＋i)＝2,即m＝2,n＝2,则m＋n＝4.
5.(2026·湘豫名校联考)已知z＝1－i,则在复平面内,复数zi＋对应的点位于(　　)
A.实轴上 B.虚轴上
C.直线y＝x上 D.直线y＝－x上
答案　C
解析　因为z＝1－i,所以zi＋＝i(1－i)＋＝i＋1＋＝i＋1＋
＝2＋2i,
所以在复平面内,复数zi＋对应的点的坐标为(2,2),位于直线y＝x上.
6.(2026·淄博模拟)若复数 z 满足z(1＋i)＝3＋i,则·i2 026＝(　　)
A.2－i B.2＋i
C.－2－i D.2＋i
答案　C
解析　z(1＋i)＝3＋i,得z＝＝2－i,
则·i2 026＝(2＋i)i2 026＝(2＋i)i2＝－2－i.
7.(2026·泰州调研)已知复数z满足＝i(i为虚数单位),则z的虚部为(　　)
A.i B.
C.i D.
答案　B
解析　已知＝i,
可得z－2＝i(3z－4),整理得z(1－3i)＝2－4i,
则z＝i.
所以z的虚部为.
8.在复平面内,已知复数z1＝1－i对应的向量为,现将向量绕点O逆时针旋转90°,并将其长度变为原来的2倍得到向量,设对应的复数为z2,则等于(　　)
A.2i B.2i
C.2 D.2
答案　A
解析　依题意,＝(1,－1),
设将向量绕点O逆时针旋转90°所得向量坐标为(x,y),x>0,
则有解得y＝x＝1,
因此＝2(1,1)＝(2,2),即z2＝2＋2i,
所以＝2i.
二、多选题
9.(2026·十堰质检)已知虚数z满足z2＝,则(　　)
A.z的实部为－ B.z的虚部为
C.|z|＝1 D.z可能为纯虚数
答案　AC
解析　设z＝a＋bi(a,b∈R,b≠0),
由z2＝,可得a2－b2＋2abi＝a－bi,
所以a2－b2＝a,2ab＝－b,
解得a＝－,b＝±,则z＝－±i,
所以z的实部为－,z的虚部为±,
|z|＝1,z不可能为纯虚数.故选AC.
10.(2026·郑州调研)已知z满足|z＋i2－i3|＝|z|,且z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)
A.x－y－1＝0 B.x＋y＋1＝0
C.|z|的最小值为 D.|z|的最小值为
答案　AC
解析　由题意z＝x＋yi(x,y∈R),
由|z＋i2－i3|＝|z|,
得|x＋yi－1＋i|＝|x－1＋(y＋1)i|
＝|x＋yi|,
即(x－1)2＋(y＋1)2＝x2＋y2,
即x－y－1＝0.故A正确;
|z|表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到原点的距离,易知其最小值为原点到直线x－y－1＝0的距离,即,故C正确.
11.已知关于x的方程x2＋tx＋1＝0(－2A.z1＝ B.z1·z2＝1
C.|z1|＝|z2| D.
答案　ABC
解析　判别式Δ＝t2－4<0,方程有两个虚根.
实系数一元二次方程的虚根互为共轭,所以A,C正确,
由根与系数的关系知B正确,
,D错误.
三、填空题
12.(2025·天津卷)已知i是虚数单位,则＝　　　　.
答案　
解析　因为＝1－3i,
所以＝|1－3i|＝.
13.已知复数z＝m2－1＋(m＋i2)·i(m∈R)表示纯虚数,则m等于　　　　.
答案　－1
解析　因为z＝m2－1＋(m＋i2)·i
＝m2－1＋(m－1)·i,
若复数z表示纯虚数,则
解得m＝－1.
14.已知复数z＝x＋yi(x,y∈R),且|z－2|＝1,则|z＋i|的取值范围为　　　　　　.
答案　[－1,＋1]
解析　设在复平面内z对应的点为Z(x,y),
由复数的几何意义可知,
|z－2|＝1表示点Z的集合是以(2,0)为圆心,1为半径的圆,
即(x－2)2＋y2＝1,
|z＋i|的几何意义是圆上的点到点(0,－1)的距离,如图,
点C(2,0)到点(0,－1)的距离是,
所以|z＋i|的最小值是－1,
最大值是＋1.
即|z＋i|的取值范围为[－1,＋1].(共48张PPT)
数学
高考总
复
习
第五章　平面向量、复数
第4节　复 数
1.理解复数的基本概念.
2.理解复数相等的充要条件.
3.理解复数的代数表示法及其几何意义.
4.会进行复数代数形式的四则运算.
5.掌握复数代数形式的加、减运算的几何意义.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.复数的有关概念
(1)定义:我们把集合C＝{a＋bi|a,b∈R}中的数,即形如a＋bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a叫做复数z的______,b叫做复数z的______(i为虚数单位).
实部
虚部
(2)分类
满足条件(a,b为实数)
复数的 分类 a+bi为实数 ________
a+bi为虚数 ________
a+bi为纯虚数 ________________
b=0
b≠0
a=0且b≠0
(3)复数相等:a＋bi＝c＋di _______________ (a,b,c,d∈R).
(4)共轭复数:a＋bi与c＋di共轭 _______________(a,b,c,d∈R).
(5)模:向量的模叫做复数z＝a＋bi的模,记作_________或_______,即|z|＝|a＋bi|＝(a,b∈R).
a=c且b=d
a=c,b=-d
|a+bi|
|z|
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点________及平面向量＝(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则:设z1＝a＋bi,z2＝c＋di,a,b,c,d∈R.
Z(a,b)
(a±b)+(b±d)i
(ac-bd)+(bc+ad)i
+i
(2)几何意义:复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即____________,.
+
-
常用结论与微点提醒
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1,i4n＋1＝i,i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i,i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0,n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i,＝i,＝－i,.
3.复数的模与共轭复数的关系z·＝|z|2＝||2.
4.r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心,以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环;
|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a,b∈R)中,虚部为bi.(　　)
(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.(　　)
(3)原点是实轴与虚轴的交点.(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.(　　)
(1)虚部为b;(2)虚数不可以比较大小.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
×
√
2.(人教A必修二P69例1改编)若复数z＝m＋1＋(m－1)i为纯虚数,则实数m＝___.
-1
由题意知解得m＝－1.
3.(人教A必修二P94T1(2)改编)复数的共轭复数是_______.
-2+i
＝－2－i,
故其共轭复数是－2＋i.
4.(北师大必修二P183例5改编)计算:(－2－i)(3＋i)＝_________.
－5－5i
(－2－i)(3＋i)
＝－2×3－2×i－3×i－i×i
＝－6－2i－3i－i2
＝－6－2i－3i＋1
＝－5－5i.
考点聚焦突破
02
例1 (1)(2026·沈阳模拟)已知(1－2i)a＋(3＋4i)b＝2＋6i,其中a,b为实数,则(　　)
A.a＝1,b＝－1 B.a＝－1,b＝1
C.a＝－1,b＝－1 D.a＝1,b＝1
B
考点一　复数的概念
因为(1－2i)a＋(3＋4i)b＝2＋6i,
所以(a＋3b)＋(－2a＋4b)i＝2＋6i,
所以解得a＝－1,b＝1.
(2)(2026·温州适考)已知复数z＝1－2i是方程x2＋ax＋b＝0(a,b∈R)的根,则|a＋bi|等于(　　)
A. B.4
C. D.
D
由题意得,＝1＋2i是方程x2＋ax＋b＝0(a,b∈R)的另一个根,由根与系数的关系得1＋2i＋1－2i＝－a,(1＋2i)(1－2i)＝b,
故a＝－2,b＝1－4i2＝1＋4＝5,
故|a＋bi|＝|－2＋5i|＝.
感悟提升
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
训练1 (1)(2025·新高考Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.6
C
由题意(1＋5i)i＝－5＋i,其虚部为1.故选C.
(2)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1,且复数z对应的点在第一象限,则下列结论正确的是(　　)
A.复数z的虚部为－ B.z＝i
C.z2＝z＋1 D.复数z的共轭复数为i
D
设复数z＝a＋bi(a,b∈R),
因为|z|＝|z－1|＝1,且复数z对应的点在第一象限,
所以
即z＝i.
对于A,复数z的虚部为,故A错误;
对于B,z＝i,故B错误;
对于C,因为z2＝＝－i≠z＋1,故C错误;
对于D,复数z的共轭复数为i,故D正确.
例2 (1)(2025·北京卷)已知复数z满足i·z＋2＝2i,则|z|＝(　　)
A. B.2
C.4 D.8
B
考点二　复数的四则运算
由i·z＋2＝2i,可得z＝＝2＋2i,
所以|z|＝＝2.
(2)(2026·厦门模拟)已知z＝,则＋z2 026＝____________.
－1＋i
因为z＝＝－i,所以＝i,
所以＋z2 026＝i＋(－i)2 026＝i＋i2＝－1＋i.
感悟提升
1.复数的乘法类似于多项式的乘法运算;
2.复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
训练2 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)已知z＝1＋i,则＝(　　)
A.－i B.i
C.－1 D.1
A
由题意＝－i,故选A.
(2)(2026·青岛模拟)若(1+2i)z=5,则z·=　　　　.
5
z===1-2i,
所以=1+2i,所以z·=(1-2i)(1+2i)=5.
例3 (1)(2026·石家庄质检)复数z=在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
z==-+,
所以复数z=位于第二象限.故选B.
考点三　复数的几何意义
(2)(2025·上海卷)已知复数z满足z2=()2,|z|≤1,则|z-2-3i|的最小值是　　　　.
2
设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
由z2=()2,可得(a+bi)2=(a-bi)2,
即a2-b2+2abi=a2-b2-2abi,故ab=0.
又|z|≤1可得≤1,即a2+b2≤1.
法一　当a=0时,b2≤1,|z-2-3i|=|-2+(b-3)i|=,
此时|z-2-3i|min==2.
当b=0时,a2≤1,|z-2-3i|=|a-2-3i|=,
此时|z-2-3i|min==.
当a=0,b=0时,|z-2-3i|=|-2-3i|==.
综上,|z-2-3i|的最小值为2.
法二　设复数z在复平面内对应的点的坐标为(x,y),其中x=0(-1≤y≤1)或y=0(-1≤x≤1),|z-2-3i|表示z在复平面内对应的点与点(2,3)
的距离,作出图形如图,
结合图知,当z在复平面内对应的点为(0,1)时,|z-2-3i|
取到最小值,为=2.
感悟提升
训练3 (1)(2026·安阳模拟)若复数(2+i)·(a+i)在复平面内对应的点位于y轴上,则实数a=(　　)
A.－2 B.－
C. D.2
C
因为(2+i)(a+i)=2a-1+(a+2)i在复平面内对应的点位于y轴上,所以2a-1=0,得a=,此时a+2=,满足题意.
(2)已知复数z满足|z－2|＝1,则|z－i|的最小值为____________.
设z＝x＋yi(x,y∈R),
因为|z－2|＝|x－2＋yi|＝＝1,
所以(x－2)2＋y2＝1,
即z在复平面内对应点的轨迹为圆C:(x－2)2＋y2＝1,如图,
又|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝,
所以|z－i|表示圆C上的点到点A(0,1)的距离,所以|z－i|min＝CA－1＝－1.
－1
课时对点精练
03
一、单选题
1.(2026·西安模拟)已知a∈R,z=(3-ai)(1+i)是纯虚数,则|a+4i|=(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
C
因为z=(3-ai)(1+i)=3+a+i是纯虚数,
所以a+3=0且a≠3,所以a=-3,
则|a+4i|=|-3+4i|==5.
2.(2026·菏泽模拟)已知z=-,则=(　　)
A.－i B.i
C.－i D.i
C
因为z=-=-=-i-=--i,
所以=-+i.
3.(2026·昆明月考)在复平面内,O为坐标原点,复数2-i,-1+3i对应的向量分别是,,则对应的复数为(　　)
A.-3+4i B.1-2i
C.3-4i D.1+2i
A
复数2-i,-1+3i对应的点为M(2,-1),N(-1,3),
所以=-=(-1,3)-(2,-1)=(-3,4),对应的复数为-3+4i.
4.(2026·重庆诊断)已知m,n为实数,1-i(i为虚数单位)是关于x的方程x2-mx+n=0的一个根,则m+n等于(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
D
由1-i是关于x的方程x2-mx+n=0的一个根,
则1+i是关于x的方程x2-mx+n=0的另一个根,
则m=1-i+1+i=2,n=(1-i)×(1+i)=2,
即m=2,n=2,则m+n=4.
5.(2026·湘豫名校联考)已知z=1-i,则在复平面内,复数zi+对应的点位于(　　)
A.实轴上 B.虚轴上
C.直线y＝x上 D.直线y＝－x上
C
因为z=1-i,所以zi+=i(1-i)+=i+1+=i+1+=2+2i,
所以在复平面内,复数zi+对应的点的坐标为(2,2),位于直线y=x上.
6.(2026·淄博模拟)若复数 z 满足z(1+i)=3+i,则·i2 026=(　　)
A.2－i B.2＋i
C.－2－i D.2＋i
C
z(1+i)=3+i,得z====2-i,
则·i2 026=(2+i)i2 026=(2+i)i2=-2-i.
7.(2026·泰州调研)已知复数z满足=i(i为虚数单位),则z的虚部为(　　)
A.i B.
C.i D.
B
已知=i,可得z-2=i(3z-4),整理得z(1-3i)=2-4i,
则z====+i.
所以z的虚部为.
8.在复平面内,已知复数z1＝1－i对应的向量为,现将向量绕点O逆时针旋转90°,并将其长度变为原来的2倍得到向量,设对应的复数为z2,则等于(　　)
A.2i B.2i
C.2 D.2
A
依题意,＝(1,－1),设将向量绕点O逆时针旋转90°所得向量坐标为(x,y),x>0,
则有解得y＝x＝1,因此＝2(1,1)＝(2,2),即z2＝2＋2i,
所以＝2i.
二、多选题
9.(2026·十堰质检)已知虚数z满足z2＝,则(　　)
A.z的实部为－ B.z的虚部为
C.|z|＝1 D.z可能为纯虚数
AC
设z＝a＋bi(a,b∈R,b≠0),
由z2＝,可得a2－b2＋2abi＝a－bi,所以a2－b2＝a,2ab＝－b,
解得a＝－,b＝±,则z＝－±i,
所以z的实部为－,z的虚部为±,
|z|＝1,z不可能为纯虚数.故选AC.
10.(2026·郑州调研)已知z满足|z＋i2－i3|＝|z|,且z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)
A.x－y－1＝0 B.x＋y＋1＝0
C.|z|的最小值为 D.|z|的最小值为
AC
由题意z＝x＋yi(x,y∈R),由|z＋i2－i3|＝|z|,
得|x＋yi－1＋i|＝|x－1＋(y＋1)i|＝|x＋yi|,
即(x－1)2＋(y＋1)2＝x2＋y2,即x－y－1＝0.故A正确;
|z|表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到原点的距离,易知其最小值为原点到直线x－y－1＝0的距离,即,故C正确.
11.已知关于x的方程x2+tx+1=0(-2A.z1= B.z1·z2=1
C.|z1|=|z2| D.=
ABC
实系数一元二次方程的虚根互为共轭,所以A,C正确,
由根与系数的关系知B正确,==,D错误.
三、填空题
12.(2025·天津卷)已知i是虚数单位,则=　　　　.
因为===1-3i,
所以=|1-3i|==.
13.已知复数z=m2-1+(m+i2)·i(m∈R)表示纯虚数,则m等于　　　　.
因为z=m2-1+(m+i2)·i=m2-1+(m-1)·i,
若复数z表示纯虚数,则
解得m=-1.
-1
14.已知复数z＝x＋yi(x,y∈R),且|z－2|＝1,则|z＋i|的取值范围为__________________.
设在复平面内z对应的点为Z(x,y),由复数的几何意义可知,
|z－2|＝1表示点Z的集合是以(2,0)为圆心,1为半径的圆,
即(x－2)2＋y2＝1,
|z＋i|的几何意义是圆上的点到点(0,－1)的距离,如图,
点C(2,0)到点(0,－1)的距离是,
所以|z＋i|的最小值是－1,最大值是＋1.
即|z＋i|的取值范围为[－1,＋1].
[－1,＋1]

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