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课标要求　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）. 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.
1.数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1>an 其中n∈N*
递减数列 an＋1常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
2.在数列{an}中，若an最大，则
若an最小，则
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　)
(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.(　　)
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)数列:1，2，3和数列:3，2，1是不同的数列.
(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.
(3)数列可以是常数列或摆动数列.
2.(北师大选修二P4T2改编)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是(　　)
A.21 B.33
C.152 D.153
答案　C
解析　由数列的通项公式得，
a1＝21，a2＝33，a12＝153，
而由an＝152得n＝11不是整数，故选C.
3.(人教B选修三P13例3改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式an等于(　　)
A.n B.2n
C.2n＋1 D.n＋1
答案　B
解析　∵a1＝S1＝1＋1＝2，
an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n(n≥2)，
当n＝1时，2n＝2＝a1，
∴an＝2n.
4.(人教A选修二P8练习T3改编)已知数列{an}满足a1＝2，an＝2－(n≥2)，则a5＝　　　　，猜想an＝　　　　.
答案　
解析　由题意知a2＝2－，
a3＝2－，
a4＝2－，a5＝2－，
猜想an＝.
考点一　由an与Sn的关系求通项
例1 (1)已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋3n－1an＝n·3n，则a2 026＝　　　.
(2)(2026·扬州调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝nan＋1－2n(n＋1)(n∈N*)，则Sn＝　　　　.
答案　(1)4 053　(2)2n2
解析　(1)n≥2时，a1＋3a2＋…＋3n－2an－1＝(n－1)·3n－1，与原式相减得
3n－1an＝n·3n－(n－1)·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，则an＝2n＋1，经检验，n＝1时也成立，
故an＝2n＋1，即a2 026＝4 053.
(2)法一　由Sn＝nan＋1－2n(n＋1)， ①
得Sn－1＝(n－1)an－2(n－1)n(n≥2)， ②
①－②得，an＝nan＋1－(n－1)an－4n(n≥2)，
整理得，an＋1－an＝4(n≥2)，
在Sn＝nan＋1－2n(n＋1)中，
令n＝1，得S1＝a1＝a2－2×1×(1＋1)，
解得a2＝6，所以a2－a1＝6－2＝4，
所以{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，
则Sn＝2n＋×4＝2n2.
法二　因为Sn＝nan＋1－2n(n＋1)，
an＋1＝Sn＋1－Sn，
所以Sn＝n(Sn＋1－Sn)－2n(n＋1)，
则nSn＋1－(n＋1)Sn＝2n(n＋1)，
所以＝2，
又＝a1＝2，
所以是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以＝2n，则Sn＝2n2.
感悟提升　1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式.
2.Sn与an关系问题的求解思路
思路一:利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.
思路二 :利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
训练1 (1)(2026·济南质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n＋1，则{an}的通项公式an＝　　　　　　　　.
(2)已知数列{an}满足a1＝2，若2Sn＝an＋1＋2，则{an}的通项公式an＝　　　　　　 .
答案　(1)　(2)
解析　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
又当n＝1时，a1＝S1＝4，不满足上式，
故an＝
(2)当n＝1时，2S1＝2a1＝a2＋2，因为a1＝2，所以a2＝2，
当n≥2时，2Sn－1＝an＋2，
则2an＝2Sn－2Sn－1＝an＋1－an，
即3an＝an＋1，＝3，
所以当n≥2时，{an}是以首项a2＝2，公比为3的等比数列，
则an＝a2·qn－2＝2×3n－2，n≥2，
a1＝2不适合上式，所以an＝
考点二　由数列的递推关系求通项公式
角度1　累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
例2 (2026·荆州调研)若数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N＋都有an＋1＝an＋n＋1，则an＝(　　)
A.n2 B.
C. D.
答案　D
解析　由an＋1－an＝n＋1知
a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，
…
an－an－1＝n(n≥2)，
以上等式累加知an－a1＝2＋3＋…＋n，
∴an＝.当n＝1时，a1＝1符合上式，
∴an＝.
角度2　累乘法——形如＝f(n)，求an
例3 在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为　　　　.
答案　an＝
解析　∵an＝an－1(n≥2)，an≠0，
∴，
∴，…，.
以上n－1个式子相乘得，
··…·，∴an＝.
当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝.
感悟提升　1.形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式，可利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
2.形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项.
训练2 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)
A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln n
C.2＋nln n D.1＋n＋ln n
(2)(2026·西安调研) 数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an，则2 026a202 6＝　　　　.
答案　(1)A　(2)2
解析　(1)因为an＋1－an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
…
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
把以上各式相加得an－a1＝ln n－ln 1，
则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也满足此式，
因此an＝2＋ln n(n∈N*).
(2)若a1＝2，an＋1＝an，
则an≠0且，
所以an＝···…··a1＝×××…××2＝，
所以2 026a2 026＝2 026×＝2.
考点三　数列的性质
角度1　数列的周期性
例4 (2026·太原调研)数列{an}满足a1＝，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＋a2 026＝(　　)
A.2 025 B.2 026
C.2 026＋2 D.2 026－2
答案　C
解析　因为a1＝，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，
所以a2＝＝2＋，a3＝＝－，
a4＝＝2－，a5＝＝a1，a6＝＝2＋，…，
则该数列的周期为4，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＋a2 026＝506(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝506×(＋2＋＋2－)＋＋2＋＝2 026＋2.
角度2　数列的单调性
例5 已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　)
A.(3，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)
答案　D
解析　(单调性)因为an＋1－an＝，
由数列{an}为递减数列知，
对任意n∈N*，an＋1－an＝<0，
所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，
所以k∈(0，＋∞).
角度3　数列的最值
例6 已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}的最大项为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　法一　an＋1－an＝－
·，
当n<8时，an＋1－an>0，即an＋1>an;
当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an;
当n>8时，an＋1－an<0，即an＋1所以a1a10>a11>…，
所以数列{an}有最大项，为第8项和第9项，
且a8＝a9＝.
法二　设数列{an}的第n项最大，
则(n≥2)，
即(n≥2)，
解得8≤n≤9，
又n∈N*，所以n＝8或n＝9，
故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且a8＝a9＝.
感悟提升　1.解决数列单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列.
(2)用作商比较法，根据(an>0或an<0)与“1”的大小关系进行判断.
(3)结合相应函数的图象直观判断.
2.求数列的最大项或最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数的单调性求最值.
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项.
3.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
训练3 (1)(2026·三明质检)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，则a2 026＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
(2)(多选)(2026·合肥模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　)
A.数列{an}为递减数列
B.使an∈Z的项共有5项
C.数列{an}有最大项a4
D.使Sn取得最小值的n为4
答案　(1)A　(2)BC
解析　(1)由a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1
(n≥2，n∈N*)得，
a3＝a2－a1＝－1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－1，a6＝a5－a4＝1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝1，…，
则{an}是以6为周期的周期数列，
所以a2 026＝a337×6＋4＝a4＝－2，故选A.
(2)画出数列{an}的通项an＝(n∈N*)的图象(图略)，由图可知，当1≤n≤3时，数列{an}递减;当n≥4时，数列{an}递减，
因为a3＝＝－9，a4＝＝9，所以a3由A的分析可知，0>a1>a2>a3，a4>a5>a6>…>0，故数列{an}的最大项为a4，最小项为a3，故C正确;
由an∈Z，则∈Z，又n∈N*，所以n＝2或n＝3或n＝4或n＝5或n＝8，所以使an∈Z的项共有5项，故B正确;
因为当n≤3时，an<0，当n≥4时，an>0，所以当n＝3时，Sn取得最小值，故D错误.
一、单选题
1.观察数列1，ln 2，sin 3，4，ln 5，sin 6，7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第12项是(　　)
A.1 212 B.12
C.ln 12 D.sin 12
答案　D
解析　通过观察数列得出规律，数列中的项的数字部分是按正整数顺序排列，且3个为一循环节，由此判断第12项是sin 12.
2.若数列的前4项分别是，－，－，则此数列的一个通项公式an＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由于数列的前4项分别是，－，－，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的绝对值等于，
故此数列的一个通项公式为an＝.
3.(2026·南昌测试)若数列{an}满足a2＝11，an＋1＝，则a2 026＝(　　)
A. B.11
C.－ D.
答案　D
解析　因为an＋3＝
＝＝an，
所以数列{an}是周期为3的数列，
所以a2 026＝a3×675＋1＝a1，
因为a2＝11，所以11＝，
解得a1＝，故a2 026＝a1＝.
4.设数列{an}的通项公式为an＝n2－tn(n∈N*)，若数列{an}是递增数列，则正实数t的取值范围为(　　)
A.0C.0答案　A
解析　由数列{an}为递增数列，得 n∈N*，an＋1>an，而an＝n2－tn(n∈N*)，
则 n∈N*，(n＋1)2－t(n＋1)>n2－tn，
得t<2n＋1，而2n＋1≥3恒成立，则t<3，
所以正实数t的取值范围为05.在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1，n≥2，n∈N，则数列{an}的通项公式an＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因an＝an－1，n≥2，n∈N，
则an＝·…··a1＝1×××…××，
当n＝1时，符合题意，
故数列{an}的通项公式为an＝.
6.已知数列{an}的通项公式为an＝，则an取到最小值时n的值是(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
答案　B
解析　an＝＝1＋，
当n>7，n∈N*时，2n－15>0，an＝1＋单调递减，
此时，an＝1＋>1;
当n≤7，n∈N*时，2n－15<0，an＝1＋单调递减，
此时，an＝1＋≥a7＝1＋＝－12，
所以an取到最小值时n的值是7.
7.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝2n＋n(n∈N＋)，则a6的值为(　　)
A.22 B.42
C.79 D.149
答案　C
解析　数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n＋n，
a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)
＝2＋(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋(24＋4)＋(25＋5)＝2＋＝79.
二、多选题
8.已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则下列说法正确的是(　　)
A.a1是数列{an}的最小项
B.a4是数列{an}的最大项
C.a5是数列{an}的最大项
D.当n≥5时，数列{an}是递减数列
答案　BCD
解析　假设第n项为{an}的最大项，
则
即
所以
又n∈N＋，所以n＝4或n＝5，
故在数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，
当n≥5时，数列{an}是递减数列.
9.已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝，则下列说法正确的是(　　)
A.数列{an}的首项为a1＝
B.数列{an}的通项公式为an＝
C.数列{an}为递减数列
D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn＝
答案　ABC
解析　对于A，数列{an}的首项为a1＝S1＝，故A正确;
对于B，当n≥2时，an＝Sn－，a1＝适合上式，故B正确;
对于C，因为－an＝＝－<0，所以数列{an}为递减数列，故C正确;
对于D，Tn＝×××…×，
所以数列{Sn}的前n项积Tn＝，故D错误.
三、填空题
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－4n＋1，则an＝　　　　.
答案　
解析　当n＝1时，a1＝S1＝－2;
当n≥2时，an＝Sn－＝n2－4n＋1－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5.
因为当n＝1时，不满足an＝2n－5，
所以an＝
11.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，2Sn＝an＋1，则数列{an}的通项公式an＝　　　　.
答案　
解析　由2Sn＝an＋1得，n≥2时，2Sn－1＝an，两式相减得an＋1＝3an，
所以当n≥2时，{an}是公比为3的等比数列，而a2＝2，则an＝2×3n－2(n≥2)，
由a1＝1不满足上式，得an＝
12.(2026·海南质检)在数列{an}中，a1＝，则a97＝　　　　.
答案　3
解析　因为a1＝，
故有·…··××…××，
即得，
所以a97＝a1＝3.
四、解答题
13.求下列数列{an}的通项公式.
(1)a1＝1，an＋1＝an＋3n;
(2)a1＝1，an＋1＝2nan.
解　(1)由an＋1＝an＋3n得an＋1－an＝3n，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝1＋31＋32＋33＋…＋3n－1
＝，
当n＝1时，a1＝1＝，满足上式，
∴an＝(n∈N*).
(2)由an＋1＝2nan，得＝2n，
当n≥2时，an＝a1××××…×＝1×2×22×23×…×2n－1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝.当n＝1时，a1＝1满足上式，
∴an＝(n∈N*).
14.已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn＝3n－λ，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围.
解　(1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，
∴，∴＝…＝＝1，
∴an＝n(n∈N*).
(2)bn＝3n－λn2，
bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)
＝2·3n－λ(2n＋1).
∵数列{bn}为递增数列，
∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<恒成立.
令cn＝，
即·＝1＋>1，
∴{cn}为递增数列，∴λ即λ的取值范围为(－∞，2).(共56张PPT)
数学
高考总
复
习
第六章　数列
第1节　数列的概念与简单表示法
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.数列的定义
按照_______________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
确定的顺序
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数______
无穷数列 项数______
项与项 间的大 小关系 递增数列 an+1____an 其中n∈N*
递减数列 an+1____an
常数列 an+1=an
摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
有限
无限
>
<
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的_________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
序号n
常用结论与微点提醒
1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,则an=
2.在数列{an}中,若an最大,则
若an最小,则
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　)
(2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.(　　)
(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(　　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对任意n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(　　)
(1)数列:1,2,3和数列:3,2,1是不同的数列.
(2)数列中的数是可以重复的,可以构成数列.
(3)数列可以是常数列或摆动数列.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
×
×
2.(北师大选修二P4T2改编)已知数列{an}的通项公式为an=9+12n,则在下列各数中,不是{an}的项的是(　　)
A.21 B.33
C.152 D.153
C
由数列的通项公式得,
a1=21,a2=33,a12=153.
3.(人教B选修三P13例3改编)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,那么它的通项公式an等于(　　)
A.n B.2n
C.2n＋1 D.n＋1
B
∵a1=S1=1+1=2,
an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n(n≥2),
当n=1时,2n=2=a1,∴an=2n.
4.(人教A选修二P8练习T3改编)已知数列{an}满足a1=2,an=2-(n≥2),则
a5=　　　　,猜想an=　　　　.
由题意知a2=2-=,a3=2-=,a4=2-=,a5=2-=,
猜想an=.
考点聚焦突破
02
例1 (1)已知数列{an}满足a1+3a2+…+3n-1an=n·3n,则a2 026=　　　.
4 053
考点一　由an与Sn的关系求通项
n≥2时,a1+3a2+…+3n-2an-1=(n-1)·3n-1,与原式相减得
3n-1an=n·3n-(n-1)·3n-1=(2n+1)·3n-1,
则an=2n+1,经检验,n=1时也成立,
故an=2n+1,即a2 026=4 053.
(2)(2026·扬州调研)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn=nan+1-2n(n+1)
(n∈N*),则Sn=　　　　.
2n2
法一　由Sn=nan+1-2n(n+1),①
得Sn-1=(n-1)an-2(n-1)n(n≥2),②
①-②得,an=nan+1-(n-1)an-4n(n≥2),
整理得,an+1-an=4(n≥2),
在Sn=nan+1-2n(n+1)中,
令n=1,得S1=a1=a2-2×1×(1+1),
解得a2=6,所以a2-a1=6-2=4,
所以{an}是以2为首项,4为公差的等差数列,
则Sn=2n+×4=2n2.
法二　因为Sn=nan+1-2n(n+1),an+1=Sn+1-Sn,
所以Sn=n(Sn+1-Sn)-2n(n+1),
则nSn+1-(n+1)Sn=2n(n+1),
所以-=2,又=a1=2,
所以是以2为首项,2为公差的等差数列,
所以=2n,则Sn=2n2.
感悟提升
1.已知Sn求an的常用方法是利用an=转化为关于an的关系式,再求通项公式.
2.Sn与an关系问题的求解思路
思路一:利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.
思路二 :利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
训练1 (1)(2026·济南质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n+1,则{an}的
通项公式an=　　　　　　　　.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1,
又当n=1时,a1=S1=4,不满足上式,
故an=
(2)已知数列{an}满足a1=2,若2Sn=an+1+2,则{an}的通项公式an=　　　　　　 .
当n=1时,2S1=2a1=a2+2,因为a1=2,所以a2=2,
当n≥2时,2Sn-1=an+2,
则2an=2Sn-2Sn-1=an+1-an,即3an=an+1,=3,
所以当n≥2时,{an}是以首项a2=2,公比为3的等比数列,
则an=a2·qn-2=2×3n-2,n≥2,
a1=2不适合上式,所以an=
角度1　累加法——形如an+1-an=f(n),求an
例2 (2026·荆州调研)若数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N＋都有an＋1＝an＋n＋1，则an＝(　　)
A.n2 B.
C. D.
考点二　由数列的递推关系求通项公式
D
由an＋1－an＝n＋1知
a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，
…
an－an－1＝n(n≥2)，
以上等式累加知an－a1＝2＋3＋…＋n，
∴an＝.当n＝1时，a1＝1符合上式，
∴an＝.
角度2　累乘法——形如=f(n),求an
例3 在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为____________.
an＝
∵an＝an－1(n≥2)，an≠0，∴，
∴，…，.
以上n－1个式子相乘得，··…·，∴an＝.
当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝.
感悟提升
1.形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式，可利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
2.形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项.
训练2 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)
A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln n
C.2＋nln n D.1＋n＋ln n
A
因为an＋1－an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
…
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
把以上各式相加得an－a1＝ln n－ln 1，
则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也满足此式，
因此an＝2＋ln n(n∈N*).
(2)(2026·西安调研) 数列{an}中,若a1=2,an+1=an,则2 026a202 6=　　　　.
2
若a1=2,an+1=an,
则an≠0且=,
所以an=···…··a1=×××…××2=,
所以2 026a2 026=2 026×=2.
角度1　数列的周期性
例4 (2026·太原调研)数列{an}满足a1＝，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＋a2 026＝(　　)
A.2 025 B.2 026
C.2 026＋2 D.2 026－2
C
因为a1=,an+1=(n=1,2,3,…),
所以a2==2+,a3==-,
考点三　数列的性质
a4==2-,a5===a1,a6==2+,…,
则该数列的周期为4,
所以a1+a2+a3+…+a2 025+a2 026=506(a1+a2+a3+a4)+a1+a2
=506×(+2+-+2-)++2+=2 026+2.
角度2　数列的单调性
例5 已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　)
A.(3，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)
D
(单调性)因为an＋1－an＝，
由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝<0，
所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞).
角度3　数列的最值
例6 已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}的最大项为(　　)
A. B.
C. D.
D
法一　an＋1－an＝－·，
当n<8时，an＋1－an>0，即an＋1>an;
当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an;
当n>8时，an＋1－an<0，即an＋1a10>a11>…，
所以数列{an}有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9==.
法二　设数列{an}的第n项最大,
则(n≥2),
即(n≥2),
解得8≤n≤9,又n∈N*,所以n=8或n=9,
故数列{an}有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9=.
感悟提升
1.解决数列单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列.
(2)用作商比较法，根据(an>0或an<0)与“1”的大小关系进行判断.
(3)结合相应函数的图象直观判断.
感悟提升
2.求数列的最大项或最小项的常用方法
(1)函数法,利用函数的单调性求最值.
(2)利用(n≥2)确定最大项,利用(n≥2)确定最小项.
3.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
训练3 (1)(2026·三明质检)已知数列{an}中,a1=2,a2=1,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),则a2 026=(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
A
由a1=2,a2=1,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*)得,
a3=a2-a1=-1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-1,a6=a5-a4=1,a7=a6-a5=2,
a8=a7-a6=1,…,
则{an}是以6为周期的周期数列,
所以a2 026=a337×6+4=a4=-2,故选A.
(2)(多选)(2026·合肥模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　)
A.数列{an}为递减数列 B.使an∈Z的项共有5项
C.数列{an}有最大项a4 D.使Sn取得最小值的n为4
BC
画出数列{an}的通项an＝(n∈N*)的图象(图略)，由图可知，当1≤n≤3时，数列{an}递减;当n≥4时，数列{an}递减，
因为a3＝＝－9，a4＝＝9，所以a3由A的分析可知，0>a1>a2>a3，a4>a5>a6>…>0，故数列{an}的最大项为a4，最小项为a3，故C正确;
由an∈Z，则∈Z，又n∈N*，所以n＝2或n＝3或n＝4或n＝5或n＝8，所以使an∈Z的项共有5项，故B正确;
因为当n≤3时，an<0，当n≥4时，an>0，所以当n＝3时，Sn取得最小值，故D错误.
课时对点精练
03
一、单选题
1.观察数列1,ln 2,sin 3,4,ln 5,sin 6,7,ln 8,sin 9,…,则该数列的第12项是(　　)
A.1 212 B.12
C.ln 12 D.sin 12
D
通过观察数列得出规律,数列中的项是按正整数顺序排列,且3个为一循环节,由此判断第12项是sin 12.
2.若数列的前4项分别是,-,,-,则此数列的一个通项公式为an=(　　)
A. B.
C. D.
A
由于数列的前4项分别是,-,,-,可得奇数项为正数,偶数项为负数,第n项的绝对值等于,
故此数列的一个通项公式为an=.
3.(2026·南昌测试)若数列{an}满足a2=11,an+1=,则a2 026=(　　)
A. B.11 C.- D.
D
因为an+3=====an,
所以数列{an}是周期为3的数列,
所以a2 026=a3×675+1=a1,
因为a2=11,所以11=,
解得a1=,故a2 026=a1=.
4.设数列{an}的通项公式为an=n2-tn(n∈N*),若数列{an}是递增数列,则正实数t的取值范围为(　　)
A.0C.0A
由数列{an}为递增数列,得 n∈N*,an+1>an,而an=n2-tn(n∈N*),
则 n∈N*,(n+1)2-t(n+1)>n2-tn,
得t<2n+1,而2n+1≥3恒成立,则t<3,
所以正实数t的取值范围为05.在数列{an}中,a1=1,an=an-1,n≥2,n∈N,则数列{an}的通项公式为an=(　　)
A. B. C. D.
C
因an=an-1,n≥2,n∈N,
则an=·…··a1=1×××…××=,
当n=1时,符合题意,
故数列{an}的通项公式为an=.
6.已知数列{an}的通项公式为an=,则an取到最小值时n的值是(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
B
an===1+,
当n>7,n∈N*时,2n-15>0,an=1+单调递减,此时,an=1+>1;
当n≤7,n∈N*时,2n-15<0,an=1+单调递减,
此时,an=1+≥a7=1+=-12,所以an取到最小值时n的值是7.
7.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an=2n+n(n∈N+),则a6的值为(　　)
A.22 B.42
C.79 D.149
C
数列{an}中,a1=2,an+1-an=2n+n,
a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)
=2+(2+1)+(22+2)+(23+3)+(24+4)+(25+5)=2++=79.
二、多选题
8.已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则下列说法正确的是(　 　)
A.a1是数列{an}的最小项 B.a4是数列{an}的最大项
C.a5是数列{an}的最大项 D.当n≥5时，数列{an}是递减数列
BCD
假设第n项为{an}的最大项，
则即
所以
又n∈N＋，所以n＝4或n＝5，
故在数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，
当n≥5时，数列{an}是递减数列.
9.已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝，则下列说法正确的是(　 　)
A.数列{an}的首项为a1＝ B.数列{an}的通项公式为an＝
C.数列{an}为递减数列 D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn＝
ABC
对于A，数列{an}的首项为a1＝S1＝，故A正确;
对于B，当n≥2时，an＝Sn－，a1＝适合上式，故B正确;
对于C，因为－an＝＝－<0，
所以数列{an}为递减数列，故C正确;
对于D，Tn＝×××…×，
所以数列{Sn}的前n项积Tn＝，故D错误.
三、填空题
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2-4n+1,则an=　　　　　　　.
当n=1时,a1=S1=-2;
当n≥2时,an=Sn-=n2-4n+1-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5.
因为当n=1时,不满足an=2n-5,
所以an=
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,2Sn=an+1,则数列{an}的通项公式
an=　　　　　　　　.
由2Sn=an+1得,n≥2时,2Sn-1=an,两式相减得an+1=3an,
所以当n≥2时,{an}是公比为3的等比数列,而a2=2,则an=2×3n-2(n≥2),
由a1=1不满足上式,得an=
12.(2026·海南质检)在数列{an}中,a1=,=,则a97=　　　　.
因为a1=,=,
故有·…··=××…××,
即得=,
所以a97=a1=3.
3
四、解答题
13.求下列数列{an}的通项公式.
(1)a1=1,an+1=an+3n;
由an+1=an+3n得an+1-an=3n,
当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)
=1+31+32+33+…+3n-1==,
当n=1时,a1=1=,满足上式,
∴an=(n∈N*).
(2)a1=1,an+1=2nan.
由an+1=2nan,得=2n,
当n≥2时,an=a1××××…×=1×2×22×23×…×2n-1
=21+2+3+…+(n-1)=.
当n=1时,a1=1满足上式,∴an=(n∈N*).
14.已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
∵2Sn=(n+1)an,
∴2Sn+1=(n+2)an+1,
∴2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,
即nan+1=(n+1)an,
∴=,∴==…==1,
∴an=n(n∈N*).
(2)记bn=3n-λ,若数列{bn}为递增数列,求λ的取值范围.
bn=3n-λn2,bn+1-bn=3n+1-λ(n+1)2-(3n-λn2)=2·3n-λ(2n+1).
∵数列{bn}为递增数列,
∴2·3n-λ(2n+1)>0,即λ<恒成立.
令cn=,
即=·==1+>1,
∴{cn}为递增数列,∴λ即λ的取值范围为(-∞,2).

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