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第2节　等差数列及其前n项和
课标要求　1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列的概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式:an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项:由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可知2A＝a＋b.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式:Sn＝na1＋.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广:an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2.在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值;若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性:当d>0时，{an}是递增数列;当d<0时，{an}是递减数列;当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.
(4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数.
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(人教A选修二P15T4改编)已知等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝　　　　.
答案　6
解析　由题意可得
解得a1＝0，d＝2，故a4＝a1＋3d＝6.
3.(北师大选修二P19练习T2改编)在等差数列{an}中，已知a3＋a15＝40，则S17＝　　　　.
答案　340
解析　S17＝(a1＋a17)
＝(a3＋a15)＝×40＝340.
4.(苏教选修一P151T6改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝100，S16＝392，则S24＝　　　　.
答案　876
解析　法一　由S8＝8a1＋d＝100，
S16＝16a1＋d＝392，
得a1＝2，d＝3，∴S24＝24×2＋×3＝876.
法二　∵S8，S16－S8，S24－S16成等差数列，
∴2(S16－S8)＝S8＋(S24－S16)，
得S24＝3S16－3S8＝876.
考点一　等差数列基本量的求解
例1 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　　)
A.－20 B.－15
C.－10 D.－5
(2)(2026·大庆模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝2S3，a1＋a8＝10，则公差d＝(　　)
A. B.
C. D.1
(3)(2026·青岛模拟)《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”:现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)B　(2)C　(3)C
解析　(1)由S3＝3a2＝6，S5＝5a3＝－5，
得a2＝2，a3＝－1，
所以{an}的公差d＝a3－a2＝－3，
所以a6＝a3＋3d＝－10，
所以S6＝S5＋a6＝－5－10＝－15.
(2)由S5＝2S3，则5a1＋d＝
2×，则a1＝4d，
由a1＋a8＝2a1＋7d＝15d＝10，则d＝.
(3)设第n(1≤n≤5，n∈N*)人所得钱数为an钱，则数列{an}为等差数列，
设数列{an}的公差为d，
则
故a5＝a1＋4d＝－4×.
感悟提升　1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
训练1 (1)(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝(　　)
A.－20 B.－18
C.16 D.18
(2)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若a2＝4，S5＝30，则下列结论正确的是(　　)
A.{an}是递减数列 B.d＝2
C.a1＝2 D.＝3
答案　(1)C　(2)BC
解析　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
因为a3，a4，a6成等比数列，且a1＝－2，
所以＝a3a6，
即(－2＋3d)2＝(－2＋2d)(－2＋5d)，
解得d＝2或d＝0(舍去)，
所以a10＝a1＋9d＝－2＋9×2＝16.
(2)由已知有得a1＝d＝2，
因为d＝2>0，所以{an}是递增数列，故A错误，B正确，C正确;
，故D错误.
考点二　等差数列的判定与证明
例2 (2026·汉中模拟节选)设数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn－an＝n2，n∈N*.
证明:数列{an＋an＋1}是等差数列.
证明　∵2Sn－an＝n2，
∴当n≥2时，2Sn－1－an－1＝(n－1)2，
两式相减得2Sn－an－(2Sn－1－an－1)
＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又∵2Sn－an－(2Sn－1－an－1)＝2Sn－2Sn－1－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1，
∴an＋an－1＝2n－1，故(an＋1＋an)－(an＋an－1)＝[2(n＋1)－1]－(2n－1)＝2，且a2＋a1＝3，∴数列{an＋1＋an}是以3为首项，2为公差的等差数列.
感悟提升　1.等差数列的判定与证明的常用方法:(1)定义(作差)法:对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数 {an}为等差数列;(2)等差中项法:2an＋1＝an＋an＋2 {an}为等差数列;(3)通项公式法:an＝an＋b(a，b是常数) {an}为等差数列;(4)前n项和公式法:Sn＝an2＋bn(a，b为常数) {an}为等差数列.
2.若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，an＋1，an＋2，使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可.
训练2 已知数列{an}的前n项和为Sn，若nSn＋1－(n＋1)Sn＝2(n2＋n)，且a1＝2.
(1)证明为等差数列，并求Sn;
(2)证明:{an}为等差数列.
证明　(1)由题可得＝2，且＝2，
所以是首项为2，公差为2的等差数列，
所以＝2n，解得Sn＝2n2.
(2)由(1)知Sn＝2n2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，
又a1＝2符合上式，故an＝4n－2，n∈N*，
则an＋1－an＝4(n＋1)－2－(4n－2)＝4，
所以{an}是首项为2，公差为4的等差数列.
考点三　等差数列的性质及应用
角度1　项的性质
例3 (2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝　　　　.
答案　95
解析　设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，
故d＝＝3，a6＝11，
则S10＝×10＝5(a5＋a6)＝5×19＝95.
角度2　和的性质
例4 (1)(2026·长春模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝S9＝6，则S12的值为(　　)
A.0 B.3
C.6 D.12
(2)(2026·开封质检)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，且，则等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列.
又S3＝S9＝6，所以6，S6－6，6－S6，S12－6成等差数列，
所以6＋S12－6＝S6－6＋6－S6，
所以S12＝0.故选A.
(2)因为{an}，{bn}均为等差数列，
所以，
因为，所以.
角度3　和的最值
例5 等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大
解　法一　设公差为d.由S3＝S11，
可得3a1＋d＝11a1＋d，
即d＝－a1.
从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，
因为a1>0，所以－<0.
故当n＝7时，Sn最大.
法二　易知Sn＝An2＋Bn(A≠0)是关于n的二次函数，
由S3＝S11，可知Sn＝An2＋Bn的图象关于直线n＝＝7对称.
由法一可知A＝－<0，
故当n＝7时，Sn最大.
法三　设公差为d.
由法一可知d＝－a1.
要使Sn最大，则有
即
解得6.5≤n≤7.5，
故当n＝7时，Sn最大.
法四　设公差为d.
由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，
即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，
又由a1>0，S3＝S11可知d<0，
所以a7>0，a8<0，
所以当n＝7时，Sn最大.
感悟提升　1.项的性质:在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2.和的性质:在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1);
(2)S2n－1＝(2n－1)an;
(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.
3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法:
(1)邻项变号法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值;
(2)函数法，利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
训练3 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝288，S9＝162，则S6＝ (　　)
A.18 B.36
C.54 D.72
(2)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，且，则等于(　　)
A. B.
C. D.
(3)(2026·厦门模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若a3＋a18>0，S19<0，则(　　)
A.S20<0 B.a6＋a17<0
C.a11>0 D.∈
答案　(1)D　(2)D　(3)C
解析　(1)因为等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，
令S3＝x，S6＝y，即x，y－x，162－y，288－162成等差数列，
则x＋(162－y)＝2(y－x)，(y－x)＋(288－162)＝2(162－y)，
即x＋54＝y，x＋198＝3y，
解得S6＝y＝72.
(2)因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，
所以，
因为，
所以可设Sn＝kn2，Tn＝kn(2n＋1)，
则S5－S4＝9k，T4－T3＝15k，
所以.
(3)由a3＋a18>0，得a1＋a20＝a3＋a18>0，得S20＝＝10(a1＋a20)>0，故A错误;
由S19<0，得S19＝＝19a10<0，得a10<0，a10＋a11＝a3＋a18>0，
所以a11>0，故C正确;
a6＋a17＝a11＋a12>0，故B错误;
由
得－10<<－9，故D错误.
一、单选题
1.(2026·大连模拟)已知等差数列{an}满足a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，则a1＋a8＝(　　)
A.1 B.
C.4 D.8
答案　C
解析　因为数列{an}为等差数列，且a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，
所以3a4＝3，3a5＝9，解得a4＝1，a5＝3，
所以a1＋a8＝a4＋a5＝4.
2.(2026·合肥调研)已知等差数列{an}的前8项和为48，a2＋a3＝4，则{an}的公差为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
答案　B
解析　依题意知S8＝＝48，
即a1＋a8＝12.
设等差数列{an}的公差为d，
则解得d＝2.
3.(2026·浙江名校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11＝11(a5＋2)，则a11－a5＝(　　)
A.4 B.8
C.10 D.12
答案　D
解析　设等差数列{an}的公差为d，
∵S11＝11(a5＋2)，
∴11a1＋d＝11(a1＋4d＋2)，
解得d＝2，
∴a11－a5＝a5＋6d－a5＝6d＝12.
4.(2026·南京模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若，则＝(　　)
A. B.
C.2 D.3
答案　D
解析　×＝3.
5.已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且(n∈N*)，则＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　Sn，Tn分别是等差数列{an}，的前n项和，且b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，
故，故选D.
6.(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则{|an|}的前12项和为(　　)
A.48 B.112
C.80 D.114
答案　C
解析　当n＝1时，a1＝S1＝－1＋8＝7;
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋8n－[－(n－1)2＋8(n－1)]＝－2n＋9，
显然a1＝7也符合该式，所以an＝－2n＋9，
所以当n≤4时，an>0，当n≥5时，an<0，
所以{|an|}的前12项和为|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a12|＝a1＋a2＋a3＋a4－(a5＋a6＋…＋a12)
＝2(a1＋a2＋a3＋a4)－(a1＋a2＋…＋a12)
＝2S4－S12＝2(－16＋32)－(－144＋96)＝80.
7.(2026·秦皇岛模拟)在等差数列{an}中，若a8＝1，3a6＋2a4＝a2，则{a3n－1}的前8项和为(　　)
A.26 B.50
C.－2 D.－6
答案　A
解析　设等差数列{an}的公差为d，
因为a8＝1，3a6＋2a4＝a2，可得3(1－2d)＋2(1－4d)＝1－6d，解得d＝，
所以an＝a8＋(n－8)d＝n－3，
所以a3n－1＝，
所以数列{a3n－1}的前8项和为S8＝8×(－2)＋×＝26.
二、多选题
8.(2026·东北三省三校联考)等差数列{an}中，a1>0，则下列命题正确的是(　　)
A.若a3＋a7＝4，则S9＝18
B.若S15>0，S16<0，则>
C.若a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，则a7＋a8＝17
D.若a8＝S10，则S9>0，S10<0
答案　ACD
解析　对于A，a3＋a7＝4，
则S9＝＝18，A正确;
对于B，S15＝＝15a8>0，
则a8>0，S16＝＝8(a8＋a9)<0，
则a8＋a9<0，a9<－a8<0，故<，B错误;
对于C，a5＋a6＝2(a3＋a4)－(a1＋a2)＝13，
则a7＋a8＝2(a5＋a6)－(a3＋a4)＝17，C正确;
对于D，设{an}的公差为d，由a8＝S10，
得a1＋7d＝10a1＋45d，
解得d＝－a1，又a1>0，
则S9＝9a1＋36d＝9>0，
S10＝5<0，D正确.
9.(2026·茂名模拟)等差数列{an}中，a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2，记数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　)
A.数列{an}的公差为2
B.Sn取最小值时，n＝6
C.S4＝S7
D.数列{|an|}的前10项和为50
答案　AD
解析　设{an}的公差为d，
∵a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2，
∴2a1＋3d＝－12，2a1＋10d＝2，
解得d＝2，a1＝－9，A正确;
由A知an＝－9＋2(n－1)＝2n－11，
则a5<0，a6>0，故n＝5时，Sn取得最小值，B错误;
S7－S4＝a5＋a6＋a7＝3a6>0，C错误;
数列{|an|}的前10项和为9＋7＋5＋3＋1＋1＋3＋5＋7＋9＝50，D正确.
三、填空题
10.(2026·北京平谷区模拟)《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题:“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月(按30天计)共织了440尺，推算第10天该女子织了　　　　　 尺布.”
答案　11
解析　由题得每天的织布数成等差数列，首项a1＝5，记公差为d，
由题得S30＝5×30＋d＝440，解得d＝，所以a10＝5＋×9＝11.
11.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝　　　　.
答案　200
解析　依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.
又S10＝16，S100－S90＝24，
因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，
解得d＝，
因此S100＝S10＋(S20－S10)＋…＋(S100－S90)＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.
12.数列{an}满足an＋2－an＝2，若a1＝1，a4＝4，则数列{an}的前20项的和为　　　　.
答案　210
解析　数列{an}满足an＋2－an＝2，若a1＝1，a4＝4，
则a2＝a4－2＝4－2＝2，
所以数列{an}的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列，
所以数列{an}的前20项的和为a1＋a2＋…＋a20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)
＝10×1＋×2＋10×2＋×2＝210.
四、解答题
13.(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.已知＋n＝2an＋1.
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值.
(1)证明　由＋n＝2an＋1，
得2Sn＋n2＝2ann＋n， ①
所以2Sn＋1＋(n＋1)2
＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)， ②
②－①，得
2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，
化简得an＋1－an＝1，
所以数列{an}是公差为1的等差数列.
(2)解　由(1)知数列{an}的公差为1.
由a4，a7，a9成等比数列，得＝a4a9，
即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，
解得a1＝－12.
所以Sn＝－12n＋＝，
所以当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值为－78.
14.(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和.
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
解　(1)∵3a2＝3a1＋a3，
∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，
∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，
an＝a1＋(n－1)d＝nd，
又T3＝b1＋b2＋b3＝，
∴S3＋T3＝6d＋＝21，
即2d2－7d＋3＝0，
解得d＝3或d＝(舍去)，
∴an＝nd＝3n.
(2)∵{bn}为等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
即，
∴6，
即－3a1d＋2d2＝0，
解得a1＝d或a1＝2d，
∵d>1，∴an>0，
又S99－T99＝99，
由等差数列的性质知，99a50－99b50＝99，
即a50－b50＝1，∴a50－＝1，
即－a50－2 550＝0，
解得a50＝51或a50＝－50(舍去).
当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，
解得d＝1，与d>1矛盾，舍去;
当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，
解得d＝.综上，d＝.(共57张PPT)
数学
高考总
复
习
第六章　数列
第2节　等差数列及其前n项和
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.等差数列的概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于_______________，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式:an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项:由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时___叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可知2A＝_________.
同一个常数
A
a+b
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝____________.
(2)前n项和公式:Sn＝.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广:an＝am＋_________(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则________________.
a1+(n-1)d
na1+
(n-m)d
ak+al=am+an
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为______的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
md
常用结论与微点提醒
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2.在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值;若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性:当d>0时，{an}是递增数列;当d<0时，{an}是递减数列;当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(　　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.(　　)
(3)若公差d=0,则通项公式不是n的一次函数.
(4)若公差d=0,则前n项和不是n的二次函数.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
√
×
×
2.(人教A选修二P15T4改编)已知等差数列{an}中,a4+a8=20,a7=12,则a4=　　.
6
由题意可得
解得a1=0,d=2,故a4=a1+3d=6.
3.(北师大选修二P19练习T2改编)在等差数列{an}中,已知a3+a15=40,则S17=　　　　.
340
S17=(a1+a17)=(a3+a15)=×40=340.
4.(苏教选修一P151T6改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8=100,S16=392,则S24=　　　　.
876
法一　由S8=8a1+d=100,
S16=16a1+d=392,得a1=2,d=3,
∴S24=24×2+×3=876.
法二　∵S8,S16-S8,S24-S16成等差数列,
∴2(S16-S8)=S8+(S24-S16),
得S24=3S16-3S8=876.
考点聚焦突破
02
例1 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6=(　　)
A.－20 B.－15
C.－10 D.－5
B
考点一　等差数列基本量的求解
由S3=3a2=6,S5=5a3=-5,
得a2=2,a3=-1,
所以{an}的公差d=a3-a2=-3,
所以a6=a3+3d=-10,
所以S6=S5+a6=-5-10=-15.
(2)(2026·大庆模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=2S3,a1+a8=10,则公差d=(　　)
A. B.
C. D.1
C
由S5=2S3,则=2×,即5a3=6a2,
所以5(a2+d)=6a2,得5d=a2,则a1=4d,
由a1+a8=2a1+7d=15d=10,则d=.
(3)(2026·青岛模拟)《九章算术》是中国古代的数学名著,书中有“分钱问题”:现有5个人分5钱,5人分得钱数依次成等差数列,前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和,则分得钱数最少的一人钱数为(　　)
A. B. C. D.
C
设第n(1≤n≤5,n∈N*)人所得钱数为an钱,则数列{an}为等差数列,
设数列{an}的公差为d,
则
故a5=a1+4d=-4×=.
感悟提升
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
训练1 (1)(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列,则a10=(　　)
A.－20 B.－18
C.16 D.18
C
设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
因为a3,a4,a6成等比数列,且a1=-2,所以=a3a6,
即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),
解得d=2或d=0(舍去),
所以a10=a1+9d=-2+9×2=16.
(2)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若a2=4,S5=30,则下列结论正确的是(　　)
A.{an}是递减数列 B.d=2
C.a1=2 D.=3
BC
由已知有得a1=d=2,
因为d=2>0,所以{an}是递增数列,故A错误,B正确,C正确;
===,故D错误.
例2 (2026·汉中模拟节选)设数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn－an＝n2，n∈N*.
证明:数列{an＋an＋1}是等差数列.
考点二　等差数列的判定与证明
∵2Sn－an＝n2，∴当n≥2时，2Sn－1－an－1＝(n－1)2，
两式相减得2Sn－an－(2Sn－1－an－1)＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又∵2Sn－an－(2Sn－1－an－1)＝2Sn－2Sn－1－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1，
∴an＋an－1＝2n－1，故(an＋1＋an)－(an＋an－1)＝[2(n＋1)－1]－(2n－1)＝2，且a2＋a1＝3，∴数列{an＋1＋an}是以3为首项，2为公差的等差数列.
感悟提升
1.等差数列的判定与证明的常用方法:(1)定义(作差)法:对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数 {an}为等差数列;(2)等差中项法:2an＋1＝an＋an＋2 {an}为等差数列;
(3)通项公式法:an＝an＋b(a，b是常数) {an}为等差数列;(4)前n项和公式法:Sn＝an2＋bn(a，b为常数) {an}为等差数列.
2.若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，an＋1，an＋2，使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可.
训练2 已知数列{an}的前n项和为Sn，若nSn＋1－(n＋1)Sn＝2(n2＋n)，且a1＝2.
(1)证明为等差数列，并求Sn;
由题可得＝2，且＝2，
所以是首项为2，公差为2的等差数列，
所以＝2n，解得Sn＝2n2.
(2)证明:{an}为等差数列.
由(1)知Sn＝2n2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，
又a1＝2符合上式，故an＝4n－2，n∈N*，
则an＋1－an＝4(n＋1)－2－(4n－2)＝4，
所以{an}是首项为2，公差为4的等差数列.
角度1　项的性质
例3 (2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝_______.
95
设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，
故d＝＝3，a6＝11，
则S10＝×10＝5(a5＋a6)＝5×19＝95.
考点三　等差数列的性质及应用
角度2　和的性质
例4 (1)(2026·长春模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝S9＝6，则S12的值为(　　)
A.0 B.3
C.6 D.12
A
因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列.
又S3＝S9＝6，所以6，S6－6，6－S6，S12－6成等差数列，
所以6＋S12－6＝S6－6＋6－S6，
所以S12＝0.故选A.
(2)(2026·开封质检)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，且，则等于(　　)
A. B.
C. D.
A
因为{an}，{bn}均为等差数列，所以，
因为，所以.
角度3　和的最值
例5 等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大
法一　设公差为d.由S3＝S11，
可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1.
从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，
因为a1>0，所以－<0.
故当n＝7时，Sn最大.
法二　易知Sn＝An2＋Bn(A≠0)是关于n的二次函数，
由S3＝S11，可知Sn＝An2＋Bn的图象关于直线n＝＝7对称.
由法一可知A＝－<0，
故当n＝7时，Sn最大.
法三　设公差为d.
由法一可知d＝－a1.
要使Sn最大，则有
即
解得6.5≤n≤7.5，
故当n＝7时，Sn最大.
法四　设公差为d.
由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，
即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，
又由a1>0，S3＝S11可知d<0，
所以a7>0，a8<0，
所以当n＝7时，Sn最大.
感悟提升
1.项的性质:在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2.和的性质:在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1);
(2)S2n－1＝(2n－1)an;
(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.
感悟提升
3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法:
(1)邻项变号法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值;
(2)函数法，利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
训练3 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝288，S9＝162，则S6＝ (　　)
A.18 B.36
C.54 D.72
D
因为等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，
令S3＝x，S6＝y，即x，y－x，162－y，288－162成等差数列，
则x＋(162－y)＝2(y－x)，(y－x)＋(288－162)＝2(162－y)，
即x＋54＝y，x＋198＝3y，
解得S6＝y＝72.
(2)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，且，则等于(　　)
A. B.
C. D.
D
因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，
所以，因为，
所以可设Sn＝kn2，Tn＝kn(2n＋1)，
则S5－S4＝9k，T4－T3＝15k，所以.
(3)(2026·厦门模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若a3＋a18>0，S19<0，则(　　)
A.S20<0 B.a6＋a17<0
C.a11>0 D.∈
C
由a3+a18>0,得a1+a20=a3+a18>0,得S20==10(a1+a20)>0,故A错误;
由S19<0,得S19===19a10<0,得a10<0,a10+a11=a3+a18>0,
所以a11>0,故C正确;
a6+a17=a11+a12>0,故B错误;
由得-10<<-9,故D错误.
课时对点精练
03
一、单选题
1.(2026·大连模拟)已知等差数列{an}满足a2+a4+a6=3,a3+a5+a7=9,则a1+a8=(　　)
A.1 B.
C.4 D.8
C
因为数列{an}为等差数列,且a2+a4+a6=3,a3+a5+a7=9,
所以3a4=3,3a5=9,解得a4=1,a5=3,
所以a1+a8=a4+a5=4.
2.(2026·合肥调研)已知等差数列{an}的前8项和为48,a2+a3=4,则{an}的公差为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
B
依题意知S8==48,即a1+a8=12.
设等差数列{an}的公差为d,
则解得d=2.
3.(2026·浙江名校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S11=11(a5+2),则a11-a5=(　　)
A.4 B.8
C.10 D.12
D
设等差数列{an}的公差为d,
∵S11=11(a5+2),
∴11a1+d=11(a1+4d+2),解得d=2,
∴a11-a5=a5+6d-a5=6d=12.
4.(2026·南京模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若=,则=(　　)
A. B.
C.2 D.3
D
===×=3.
5.已知Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,且=(n∈N*),则+=(　　)
A. B.
C. D.
D
Sn,Tn分别是等差数列{an},的前n项和,且b3+b18=b6+b15=b10+b11,
故+=+====,故选D.
6.(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+8n,则{|an|}的前12项和为(　　)
A.48 B.112
C.80 D.114
C
当n=1时,a1=S1=-1+8=7;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+8n-[-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9,
显然a1=7也符合该式,所以an=-2n+9,
所以当n≤4时,an>0,当n≥5时,an<0,
所以{|an|}的前12项和为|a1|+|a2|+|a3|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-(a5+a6+…+a12)
=2(a1+a2+a3+a4)-(a1+a2+…+a12)=2S4-S12=2(-16+32)-(-144+96)=80.
7.(2026·秦皇岛模拟)在等差数列{an}中,若a8=1,3a6+2a4=a2,则{a3n-1}的前8项和为(　　)
A.26 B.50
C.－2 D.－6
A
设等差数列{an}的公差为d,
因为a8=1,3a6+2a4=a2,可得3(1-2d)+2(1-4d)=1-6d,解得d=,
所以an=a8+(n-8)d=n-3,所以a3n-1=,
所以数列{a3n-1}的前8项和为S8=8×(-2)+×=26.
二、多选题
8.(2026·东北三省三校联考)等差数列{an}中,a1>0,则下列命题正确的是(　 　)
A.若a3+a7=4,则S9=18
B.若S15>0,S16<0,则>
C.若a1+a2=5,a3+a4=9,则a7+a8=17
D.若a8=S10,则S9>0,S10<0
ACD
对于A,a3+a7=4,
则S9===18,A正确;
对于B,S15==15a8>0,
则a8>0,S16==8(a8+a9)<0,
则a8+a9<0,a9<-a8<0,故<,B错误;
对于C,a5+a6=2(a3+a4)-(a1+a2)=13,
则a7+a8=2(a5+a6)-(a3+a4)=17,C正确;
对于D,设{an}的公差为d,由a8=S10,
得a1+7d=10a1+45d,解得d=-a1,又a1>0,
则S9=9a1+36d=9>0,S10=5<0,D正确.
9.(2026·茂名模拟)等差数列{an}中,a2+a3=-12,a5+a7=2,记数列{an}的前n项和为Sn,下列说法正确的是(　　)
A.数列{an}的公差为2
B.Sn取最小值时,n=6
C.S4=S7
D.数列{|an|}的前10项和为50
AD
设{an}的公差为d,
∵a2+a3=-12,a5+a7=2,
∴2a1+3d=-12,2a1+10d=2,
解得d=2,a1=-9,A正确;
由A知an=-9+2(n-1)=2n-11,
则a5<0,a6>0,故n=5时,Sn取得最小值,B错误;
S7-S4=a5+a6+a7=3a6>0,C错误;
数列{|an|}的前10项和为9+7+5+3+1+1+3+5+7+9=50,D正确.
三、填空题
10.(2026·北京平谷区模拟)《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作,书中记载着这样一个问题:“有个女子善织布,每天比前一天多织相同的布,第一天织5尺,一个月(按30天计)共织了440尺,推算第10天该女子织了　　 尺布.”
11
由题得每天的织布数成等差数列,首项a1=5,记公差为d,
由题得S30=5×30+d=440,
解得d=,
所以a10=5+×9=11.
11.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S10=16,S100-S90=24,则S100=　　　　.
依题意,S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90依次成等差数列,设该等差数列的公差为d.
又S10=16,S100-S90=24,
因此S100-S90=24=16+(10-1)d=16+9d,
解得d=,
因此S100=10S10+d=10×16+×=200.
200
12.数列{an}满足an＋2－an＝2，若a1＝1，a4＝4，则数列{an}的前20项的和为____________.
210
数列{an}满足an＋2－an＝2，若a1＝1，a4＝4，
则a2＝a4－2＝4－2＝2，
所以数列{an}的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列，
所以数列{an}的前20项的和为
a1＋a2＋…＋a20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)
＝10×1＋×2＋10×2＋×2＝210.
四、解答题
13.(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.已知+n=2an+1.
(1)证明:{an}是等差数列;
由+n=2an+1,
得2Sn+n2=2ann+n,①
所以2Sn+1+(n+1)2=2an+1(n+1)+(n+1),②
②-①,得
2an+1+2n+1=2an+1(n+1)-2ann+1,化简得an+1-an=1,
所以数列{an}是公差为1的等差数列.
(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.
由(1)知数列{an}的公差为1.
由a4,a7,a9成等比数列,得=a4a9,
即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),
解得a1=-12.
所以Sn=-12n+==-,
所以当n=12或13时,Sn取得最小值,最小值为-78.
14.(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令bn=,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
∵3a2=3a1+a3,
∴3d=a1+2d,解得a1=d,
∴S3=3a2=3(a1+d)=6d,
an=a1+(n-1)d=nd,
又T3=b1+b2+b3=++=,
∴S3+T3=6d+=21,
即2d2-7d+3=0,
解得d=3或d=(舍去),
∴an=nd=3n.
(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
∵{bn}为等差数列,∴2b2=b1+b3,即=+,
∴6==,
即-3a1d+2d2=0,
解得a1=d或a1=2d,
∵d>1,∴an>0,
又S99-T99=99,
由等差数列的性质知,99a50-99b50=99,
即a50-b50=1,∴a50-=1,
即-a50-2 550=0,
解得a50=51或a50=-50(舍去).
当a1=2d时,a50=a1+49d=51d=51,
解得d=1,与d>1矛盾,舍去;
当a1=d时,a50=a1+49d=50d=51,
解得d=.综上,d=.

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