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第3节　等比数列及其前n项和
课标要求　1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式:＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，则G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1;
通项公式的推广:an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式:当q＝1时，Sn＝na1;当q≠1时，Sn＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
(4)当q>1，a1>0或01，a1<0或00时，{an}是递减数列.
1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{}，，{an·bn}，也是等比数列.
2.数列{an}是等比数列，S奇，S偶分别为奇数项和偶数项的和.
(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，…成等比数列.
(2)若数列{an}的项数为2n，则＝q;若项数为2n＋1，则＝q，或＝q.
3.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
4.等比数列{an}的前n项和Sn，可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0).
5.三个数成等比数列，通常设为，x，xq;四个符号相同的数成等比数列，通常设为，xq，xq3.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.(　　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)在等比数列中，q≠0.
(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.
(3)当a＝1时，Sn＝na.
(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.
2.(北师大选修二P29例5(2)改编)等比数列1，，…前10项的和为　　　　.
答案　
解析　S10＝.
3.(人教A选修二P37T3改编)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝　　　　.
答案　3·2n－1或2·3n－1
解析　设数列{an}的公比为q，
由题意得
解得
故an＝3·2n－1或an＝2·3n－1.
4.(人教B选修三P37T5拓展)已知等比数列{an}满足a4＋a6＝10，a2·a8＝2，则＝　　　　.
答案　5
解析　＝5.
考点一　等比数列基本量的求解
例1 (1)(多选)(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3＝7，a3＝1，则(　　)
A.q＝ B.a5＝
C.S5＝8 D.an＋Sn＝8
(2)(2026·淮南、淮北模拟)权是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治、经济、文化方面的大量信息.“环权”类似于砝码(如图)，用于测量物体质量.已知九枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a2＝2，a4＝6，a9＝192，则{an}的前8项和为(　　)
A.194 B.193
C.192 D.191
答案　(1)AD　(2)C
解析　(1)由已知，得S3＝a1＋a2＋a3＝＋a3＝＋1＝7，即6q2－q－1＝(2q－1)·(3q＋1)＝0，因为q>0，所以q＝，A正确;
a5＝a3q2＝1×，B错误;
S5＝S3＋q＋q2＝，C错误;
an＝a3qn－3＝23－n，
Sn＝＝8－23－n，
所以an＋Sn＝8，D正确.
(2)由题意可得a1＋a3＝2a2＝4，
则a1＋a2＋a3＝6.
设后7项所成等比数列的公比为q，
则q5＝＝32，q＝2，
所以{an}的前8项和为(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝6＋6＋12＋24＋48＋96＝192.
感悟提升　1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1;当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝.
训练1 (1)(2026·苏锡常镇调研)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＝4a3－4a2，则＝(　　)
A.5 B.9
C.－9 D.－5
(2)(2025·新高考Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于　　　　.
答案　(1)A　(2)2
解析　(1)设等比数列{an}的公比为q，
由a4＝4a3－4a2，得a2q2＝4a2q－4a2，
则q2＝4q－4，
解得q＝2，
所以＝5.
(2)法一　设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，
因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，
又S4＝4，S8＝68，所以q≠1.
由S4＝4得＝4， ①
由S8＝68得＝68， ②
，
即＝1＋q4＝17，
所以q4＝16，又q>0，
所以q＝2.
法二　设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，
因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，
又S4＝4，S8＝68，
所以q4＝＝16，
又q>0，所以q＝2.
考点二　等比数列的判定与证明
例2 (2025·八省联考节选)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
(1)证明　因为an＋1＝，
所以，
所以·，
所以1－＝1－，
即1－＝－·，
所以，
又因为1－＝1－，
所以数列为首项，为公比的等比数列.
(2)解　由(1)知，1－·，
所以＝1－，
所以an＝.
感悟提升　等比数列的三种常用判定方法
(1)定义(作比)法:若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列.
(2)等比中项法:若数列{an}中，an≠0且＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列.
(3)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列.
训练2 (1)已知Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝1，Sn＝an＋1，则(　　)
A.数列{an}是等比数列
B.数列{an}是等差数列
C.数列{Sn}是等比数列
D.数列{Sn}是等差数列
答案　C
解析　因Sn＝an＋1， ①
可得当n≥2时，Sn－1＝an， ②
于是由①－②可得Sn－Sn－1＝an＋1－an，
即an＝an＋1－an，可得＝3，
因为a1＝1，在Sn＝an＋1中，取n＝1，可得a2＝2S1＝2，
即＝2≠3，故数列{an}不是等比数列，A，B错误;
当n∈N*时，都有an＋1＝Sn＋1－Sn，代入Sn＝an＋1中，可得Sn＝(Sn＋1－Sn)，
整理得＝3，故数列{Sn}是等比数列，即C正确，D错误.
(2)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝－2an＋2.证明:数列{ln(an－1)}是等比数列，并求数列{an}的通项公式.
证明　因为an＋1＝－2an＋2，
所以an＋1－1＝(an－1)2，
则ln(an＋1－1)＝ln(an－1)2＝2ln(an－1)，
又ln(a1－1)＝ln 2，
所以数列{ln(an－1)}是以ln 2为首项，2为公比的等比数列，
则ln(an－1)＝2n－1·ln 2＝ln ，
所以an＝＋1.
考点三　等比数列的性质及应用
角度1　项的性质
例3 (2026·济南模拟)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1，a9是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两个实数根，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝(　　)
A.8 B.9
C.16 D.18
答案　B
解析　a1，a9是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两个实数根，则a1a9＝4，
由等比数列的性质可得a1a9＝a8a2＝…＝a5a5＝4，所以a5＝2，
又log2a1＋log2a2＋…＋log2a9＝log2(a1·a2·a3·…·a9)
＝log2[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5]＝log2(44×2)＝log229＝9.
角度2　和的性质
例4 (1)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S2＝2，a3＋a4＝6，则等于(　　)
A.2 B.
C.3 D.
(2)已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于　　　　.
答案　(1)D　(2)3
解析　(1)由题意得S2＝2，S4－S2＝6，S4＝S2＋6＝8，
且等比数列{an}的公比q≠－1，
则S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，
故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即62＝2(S6－8)，
解得S6＝26，故.
(2)因为等比数列{an}有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，设公比为q，
得到奇数项的和为1＋q2＋q4＋…＋q2n＝1＋q(q＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝85，
偶数项的和为q＋q3＋q5＋…＋q2n－1＝42，
整体代入得q＝2，
所以前2n＋1项的和为＝85＋42＝127，
解得n＝3.
角度3　等比数列的最值
例5 (多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 025a2 026>1，<0，下列结论正确的是(　　)
A.S2 025B.a2 025a2 027－1<0
C.T2 026是数列{Tn}中的最大值
D.数列{Tn}无最大值
答案　AB
解析　当q<0时，a2 025a2 026＝q<0，
不成立;
当q≥1时，∵a1>1，∴a2 025>1，a2 026>1，
则<0不成立;
故01，0故S2 026>S2 025，A正确;
a2 025a2 027－1＝－1<0，故B正确;
T2 025是数列{Tn}中的最大值，C，D错误.
感悟提升　1.等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
2.涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
训练3 (1)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S6＝3S3，S9＝14，则S6＝(　　)
A.4 B.6
C.7 D.8
(2)(2026·重庆诊断)在等比数列{an}中，若a3a5＝36，a4＋a6＝60，则a1＝　　　　.
(3)已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的最小值为　　　　.
答案　(1)B　(2)±　(3)2
解析　(1)因为{an}是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，
因S6＝3S3，S9＝14，则＝2，
故＝2，解得S6＝6.
(2)在等比数列{an}中，(q2＝＝－11无解，舍去)，
所以q2＝＝9，即q＝±3，
所以a1＝＝±.
(3)由已知得数列{an}的公比满足q3＝，解得q＝，
∴a1＝2，a2＝1，a3＝，
故数列{anan＋1}是首项为2，公比为的等比数列，
∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝∈.
故最小值为2.
(另解:a2，a5得a1＝2，q＝，知an>0，anan＋1>0，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1中最小值为a1a2＝2×1＝2.)
一、单选题
1.(2026·杭州模拟)若等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a1－a3＝3，则数列{an}的公比为(　　)
A.－ B.或－
C.－ D.
答案　C
解析　设公比为q，
则a1＋a2＝a1(1＋q)＝2，
a1－a3＝a1－a1q2＝a1(1－q2)
＝a1(1＋q)(1－q)＝2(1－q)＝3，
所以q＝－，故选C.
2.(2026·太原调研)古代“微尘数”的计法:“凡七微尘，成一窗尘;合七窗尘，成一兔尘;合七兔尘，成一羊尘;合七羊尘，成一牛尘;合七牛尘，成于一虮;合于七虮，成于一虱;合于七虱，成一芥子;合七芥子，成一大麦;合七大麦，成一指节;累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列，那么1指节是(　　)
A.77兔尘 B.77羊尘
C.兔尘 D.羊尘
答案　A
解析　∵微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列，
∴1指节＝77兔尘.故选A.
3.(2026·邵阳模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，S6＝S3，则a1＝(　　)
A.3 B.2
C.－ D.－
答案　D
解析　设等比数列{an}的公比为q，
若q＝1，则S6＝2S3，故q≠1;
由S6＝S3可得×，
化简得q3＝－，解得q＝－，
则a1＝＝－.
4.(2026·江西十校协作体联考)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(　　)
A.－81 B.81
C.50 D.61
答案　D
解析　由等比数列的性质得a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，a10＋a11＋a12，a13＋a14＋a15是公比为－3的等比数列，
所以a1＋a2＋a3＝1，a10＋a11＋a12＝－27，a13＋a14＋a15＝81，
又a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，
所以S15＝1－3＋9－27＋81＝61.
故选D.
5.(2026·广州质检)已知首项为负数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S6＝63，则a4＝(　　)
A.8 B.16
C.24 D.48
答案　C
解析　设数列{an}的公比为q，则S2＝a1＋a2＝a1(1＋q)＝3，
又a1<0，则1＋q<0，即q<－1，
又S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6
＝(a1＋a2)(1＋q2＋q4)＝63，
即1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，又q<－1，
则q＝－2，
所以a1＝－3，a4＝a1·q3＝－3·(－2)3＝24.
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则＝(　　)
A.8 B.9
C.16 D.17
答案　A
解析　设S4＝x(x≠0)，则S8＝4x.
因为{an}为等比数列，所以S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12仍成等比数列.
易知＝3，
所以
则＝8.
7.(2026·南京模拟)已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
答案　B
解析　因为数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3，所以a1＋2a1＝3，解得a1＝1，
故an＝2n－1，因为ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak(1＋2＋22＋…＋29)
＝2k－1·＝2k＋9－2k－1＝214－24，
解得k＝5，故选B.
二、多选题
8.(2026·宝鸡模拟)已知数列{an}是公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则(　　)
A.q＝2
B.a1＝
C.Sn＝
D.a1＋a2＋a3＋a2＋a3＋a4＋a3＋a4＋a5＋…＋a10＋a11＋a12＝1 023
答案　ABD
解析　根据题意，a1＋a2＋a3＝1，(a1＋a2＋a3)q＝2，两式相除得q＝2，A正确;
又a1＋a1q＋a1q2＝1，即a1＋2a1＋4a1＝1，
可得a1＝，B正确;
Sn＝，C错误;
根据选项A，可知a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…为首项为1，公比为2的等比数列，
所以a1＋a2＋a3＋a2＋a3＋a4＋a3＋a4＋a5＋…＋a10＋a11＋a12
＝(a1＋a2＋a3)＋(a2＋a3＋a4)＋(a3＋a4＋a5)＋…＋(a10＋a11＋a12)＝1＋2＋22＋…＋29＝＝1 023.
9.已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论正确的是(　　)
A.{an＋Sn}是等差数列 B.{an·Sn}是等比数列
C.{}是等差数列 D.是等比数列
答案　ACD
解析　由{Sn}是等差数列，可得2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，∴a2＝a3，
∵{an}是各项均为正数的等比数列，
∴a2＝a2q，可得q＝1.
∴an＝a1>0，∴an＋Sn＝(n＋1)a1，
∴数列{an＋Sn}是等差数列，因此A正确;
∵，∴{}是常数列，为等差数列，因此C正确;
∵＝a1>0，∴是等比数列，因此D正确;
∵anSn＝n，∴{an·Sn}不是等比数列，因此B不正确.
三、填空题
10.(2026·石家庄质检)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－1，则a7＝　　　　.
答案　64
解析　当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，
即a1＝1;
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－1，
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
则an＝2n－1，则a7＝26＝64.
11.(2026·沈阳模拟)已知等比数列{an}的前n项的积为Tn，即Tn＝a1a2a3…an－1an，又已知a1＝4，q＝，则Tn的最大值为　　　　.
答案　8
解析　由a1＝4，q＝，得an＝4·，
则Tn＝a1a2a3…an－1an＝··…·＝，
所以当n＝2或3时，Tn取得最大值8.
12.(2026·许昌调研)如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为　　　　.
答案　
解析　由题意，得正方形的边长构成以为首项，为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，所以n＝10，所以最小正方形的边长为.
四、解答题
13.(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的前n项和.
解　(1)因为2Sn＝3an＋1－3，
所以2Sn＋1＝3an＋2－3，
两式相减可得2an＋1＝3an＋2－3an＋1，
即an＋2＝an＋1，
所以等比数列{an}的公比为.
因为2S1＝3a2－3＝5a1－3，
所以a1＝1，故an＝.
(2)因为2Sn＝3an＋1－3，
所以Sn＝(an＋1－1)＝，
设数列{Sn}的前n项和为Tn，
则Tn＝×n
＝×n－.
14.在数列{an}中，a1＝1，且满足an＝2an－1＋n－2(n∈N*且n≥2).
(1)证明:数列{an＋n}为等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(1)证明　因为an＝2an－1＋n－2(n∈N*且n≥2)，
所以an＋n＝2[an－1＋(n－1)](n∈N*且n≥2)，
因为a1＋1＝2，所以{an＋n}是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)解　由(1)知，{an＋n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋n＝2n，故an＝2n－n，
所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝＝2n＋1－－2.(共58张PPT)
数学
高考总
复
习
第六章　数列
第3节　等比数列及其前n项和
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.等比数列的概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于_________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式:＝___(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，则G2＝______.
同一个
q
ab
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝_________;
通项公式的推广:an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式:当q＝1时，Sn＝na1;当q≠1时，Sn＝.
a1qn-1
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝_______.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为_______.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为_________.
(4)当q>1，a1>0或01，a1<0或00时，{an}是递减数列.
am·an
qm
qn
常用结论与微点提醒
1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{}，，{an·bn}，也是等比数列.
2.数列{an}是等比数列，S奇，S偶分别为奇数项和偶数项的和.
(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，…成等比数列.
(2)若数列{an}的项数为2n，则＝q;若项数为2n＋1，则＝q，或＝q.
常用结论与微点提醒
3.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
4.等比数列{an}的前n项和Sn，可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0).
5.三个数成等比数列，通常设为，x，xq;四个符号相同的数成等比数列，通常设为，xq，xq3.
(1)在等比数列中，q≠0.
(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.(　　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
×
(3)当a＝1时，Sn＝na.
(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.
×
(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　)
×
2.(北师大选修二P29例5(2)改编)等比数列1，，…前10项的和为_______.
S10＝.
3.(人教A选修二P37T3改编)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝____________________.
3·2n－1或2·3n－1
设数列{an}的公比为q，
由题意得
解得
故an＝3·2n－1或an＝2·3n－1.
4.(人教B选修三P37T5拓展)已知等比数列{an}满足a4＋a6＝10，a2·a8＝2，则＝________.
5
＝5.
考点聚焦突破
02
例1 (1)(多选)(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3＝7，a3＝1，则(　　)
A.q＝ B.a5＝
C.S5＝8 D.an＋Sn＝8
AD
由已知，得S3＝a1＋a2＋a3＝＋a3＝＋1＝7，即6q2－q－1＝(2q－1)·(3q＋1)＝0，因为q>0，所以q＝，A正确;
a5＝a3q2＝1×，B错误;
考点一　等比数列基本量的求解
S5＝S3＋q＋q2＝，C错误;
an＝a3qn－3＝23－n，
Sn＝＝8－23－n，
所以an＋Sn＝8，D正确.
(2)(2026·淮南、淮北模拟)权是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治、经济、文化方面的大量信息.“环权”类似于砝码(如图)，用于测量物体质量.已知九枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a2＝2，a4＝6，a9＝192，则{an}的前8项和为(　　)
A.194 B.193
C.192 D.191
C
由题意可得a1＋a3＝2a2＝4，
则a1＋a2＋a3＝6.
设后7项所成等比数列的公比为q，
则q5＝＝32，q＝2，
所以{an}的前8项和为(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8
＝6＋6＋12＋24＋48＋96＝192.
感悟提升
1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1;当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝.
训练1 (1)(2026·苏锡常镇调研)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＝4a3－4a2，则＝(　　)
A.5 B.9
C.－9 D.－5
A
设等比数列{an}的公比为q，
由a4＝4a3－4a2，得a2q2＝4a2q－4a2，
则q2＝4q－4，解得q＝2，
所以＝5.
(2)(2025·新高考Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________.
法一　设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，
因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，
又S4＝4，S8＝68，所以q≠1.
由S4＝4得＝4， ①
由S8＝68得＝68， ②
，
2
即＝1＋q4＝17，
所以q4＝16，又q>0，
所以q＝2.
法二　设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，
因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，
又S4＝4，S8＝68，
所以q4＝＝16，
又q>0，所以q＝2.
考点二　等比数列的判定与证明
因为an+1=,
所以==+,
所以=·+,
所以1-=1-,
例2 (2025·八省联考节选)已知数列{an}中,a1=3,an+1=.
(1)证明:数列为等比数列;
即1-=-·+=,
所以=,
又因为1-=1-=,
所以数列为首项,为公比的等比数列.
(2)求{an}的通项公式.
由(1)知,1-=·=,
所以=1-=,
所以an=.
感悟提升
等比数列的三种常用判定方法
(1)定义(作比)法:若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列.
(2)等比中项法:若数列{an}中，an≠0且＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比
数列.
(3)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列.
训练2 (1)已知Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝1，Sn＝an＋1，则(　　)
A.数列{an}是等比数列 B.数列{an}是等差数列
C.数列{Sn}是等比数列 D.数列{Sn}是等差数列
C
因Sn=an+1,①
可得当n≥2时,Sn-1=an,②
于是由①-②可得Sn-Sn-1=an+1-an,
即an=an+1-an,可得=3,
因为a1=1,在Sn=an+1中,取n=1,可得a2=2S1=2,
即=2≠3,故数列{an}不是等比数列,A,B错误;
当n∈N*时,都有an+1=Sn+1-Sn,代入Sn=an+1中,可得Sn=(Sn+1-Sn),
整理得=3,故数列{Sn}是等比数列,即C正确,D错误.
(2)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝－2an＋2.证明:数列{ln(an－1)}是等比数列，并求数列{an}的通项公式.
因为an＋1＝－2an＋2，
所以an＋1－1＝(an－1)2，
则ln(an＋1－1)＝ln(an－1)2＝2ln(an－1)，
又ln(a1－1)＝ln 2，
所以数列{ln(an－1)}是以ln 2为首项，2为公比的等比数列，
则ln(an－1)＝2n－1·ln 2＝ln ，
所以an＝＋1.
角度1　项的性质
例3 (2026·济南模拟)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1，a9是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两个实数根，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝(　　)
A.8 B.9
C.16 D.18
B
a1，a9是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两个实数根，则a1a9＝4，
由等比数列的性质可得a1a9＝a8a2＝…＝a5a5＝4，所以a5＝2，
又log2a1＋log2a2＋…＋log2a9＝log2(a1·a2·a3·…·a9)
＝log2[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5]＝log2(44×2)＝log229＝9.
考点三　等比数列的性质及应用
角度2　和的性质
例4 (1)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S2＝2，a3＋a4＝6，则等于(　　)
A.2 B.
C.3 D.
D
由题意得S2＝2，S4－S2＝6，S4＝S2＋6＝8，
且等比数列{an}的公比q≠－1，则S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，
故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即62＝2(S6－8)，
解得S6＝26，故.
(2)已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于______.
3
因为等比数列{an}有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，
设公比为q，
得到奇数项的和为1＋q2＋q4＋…＋q2n＝1＋q(q＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝85，
偶数项的和为q＋q3＋q5＋…＋q2n－1＝42，
整体代入得q＝2，所以前2n＋1项的和为＝85＋42＝127，
解得n＝3.
角度3　等比数列的最值
例5 (多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 025a2 026>1，<0，下列结论正确的是(　　)
A.S2 025C.T2 026是数列{Tn}中的最大值 D.数列{Tn}无最大值
AB
当q<0时，a2 025a2 026＝q<0，不成立;
当q≥1时，∵a1>1，∴a2 025>1，a2 026>1，则<0不成立;
故01，0S2 025，A正确;
a2 025a2 027－1＝－1<0，故B正确;
T2 025是数列{Tn}中的最大值，C，D错误.
感悟提升
1.等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
2.涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
训练3 (1)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S6＝3S3，S9＝14，则S6＝(　　)
A.4 B.6
C.7 D.8
B
因为{an}是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，
因S6＝3S3，S9＝14，则＝2，
故＝2，解得S6＝6.
(2)(2026·重庆诊断)在等比数列{an}中，若a3a5＝36，a4＋a6＝60，则a1＝______.
在等比数列{an}中，(q2＝＝－11无解，舍去)，
所以q2＝＝9，即q＝±3，
所以a1＝＝±.
±
(3)已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的最小值为______.
2
由已知得数列{an}的公比满足q3＝，解得q＝，∴a1＝2，a2＝1，a3＝，
故数列{anan＋1}是首项为2，公比为的等比数列，
∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝∈.
故最小值为2.
(另解:a2，a5得a1＝2，q＝，知an>0，anan＋1>0，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1中最小值为a1a2＝2×1＝2.)
课时对点精练
03
一、单选题
1.(2026·杭州模拟)若等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a1－a3＝3，则数列{an}的公比为(　　)
A.－或 B.或－
C.－ D.
C
设公比为q，
则a1＋a2＝a1(1＋q)＝2，
a1－a3＝a1－a1q2＝a1(1－q2)＝a1(1＋q)(1－q)＝2(1－q)＝3，
所以q＝－，故选C.
2.(2026·太原调研)古代“微尘数”的计法:“凡七微尘，成一窗尘;合七窗尘，成一兔尘;合七兔尘，成一羊尘;合七羊尘，成一牛尘;合七牛尘，成于一虮;合于七虮，成于一虱;合于七虱，成一芥子;合七芥子，成一大麦;合七大麦，成一指节;累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列，那么1指节是(　　)
A.77兔尘 B.77羊尘
C.兔尘 D.羊尘
A
∵微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列，∴1指节＝77兔尘.故选A.
3.(2026·邵阳模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，S6＝S3，则a1＝(　　)
A.3 B.2
C.－ D.－
D
设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则S6＝2S3，故q≠1;
由S6＝S3可得×，
化简得q3＝－，解得q＝－，则a1＝＝－.
4.(2026·江西十校协作体联考)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(　　)
A.－81 B.81
C.50 D.61
D
由等比数列的性质得a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，a10＋a11＋a12，a13＋a14＋a15是公比为－3的等比数列，
所以a1＋a2＋a3＝1，a10＋a11＋a12＝－27，a13＋a14＋a15＝81，
又a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，
所以S15＝1－3＋9－27＋81＝61.故选D.
5.(2026·广州质检)已知首项为负数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S6＝63，则a4＝(　　)
A.8 B.16
C.24 D.48
C
设数列{an}的公比为q，则S2＝a1＋a2＝a1(1＋q)＝3，
又a1<0，则1＋q<0，即q<－1，
又S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(a1＋a2)(1＋q2＋q4)＝63，
即1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，又q<－1，则q＝－2，
所以a1＝－3，a4＝a1·q3＝－3·(－2)3＝24.
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则＝(　　)
A.8 B.9
C.16 D.17
A
设S4＝x(x≠0)，则S8＝4x.
因为{an}为等比数列，所以S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12仍成等比数列.
易知＝3，所以
则＝8.
7.(2026·南京模拟)已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
B
因为数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3，
所以a1＋2a1＝3，解得a1＝1，
故an＝2n－1，因为ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak(1＋2＋22＋…＋29)
＝2k－1·＝2k＋9－2k－1＝214－24，
解得k＝5，故选B.
ABD
根据题意，a1＋a2＋a3＝1，(a1＋a2＋a3)q＝2，两式相除得q＝2，A正确;
又a1＋a1q＋a1q2＝1，即a1＋2a1＋4a1＝1，
二、多选题
8.(2026·宝鸡模拟)已知数列{an}是公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则(　　 )
A.q＝2
B.a1＝
C.Sn＝
D.a1＋a2＋a3＋a2＋a3＋a4＋a3＋a4＋a5＋…＋a10＋a11＋a12＝1 023
可得a1＝，B正确;
Sn＝，C错误;
根据选项A，可知a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…为首项为1，公比为2的等比数列，
所以a1＋a2＋a3＋a2＋a3＋a4＋a3＋a4＋a5＋…＋a10＋a11＋a12
＝(a1＋a2＋a3)＋(a2＋a3＋a4)＋(a3＋a4＋a5)＋…＋(a10＋a11＋a12)＝1＋2＋22＋…＋29＝＝1 023.
9.已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论正确的是(　 　)
A.{an＋Sn}是等差数列 B.{an·Sn}是等比数列
C.{}是等差数列 D.是等比数列
ACD
由{Sn}是等差数列，可得2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，∴a2＝a3，
∵{an}是各项均为正数的等比数列，
∴a2＝a2q，可得q＝1.
∴an＝a1>0，∴an＋Sn＝(n＋1)a1，
∴数列{an＋Sn}是等差数列，因此A正确;
∵，∴{}是常数列，为等差数列，因此C正确;
∵＝a1>0，∴是等比数列，因此D正确;
∵anSn＝n，∴{an·Sn}不是等比数列，因此B不正确.
10.(2026·石家庄质检)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－1，则a7＝_______.
当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，
即a1＝1;
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－1，
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
则an＝2n－1，则a7＝26＝64.
三、填空题
64
11.(2026·沈阳模拟)已知等比数列{an}的前n项的积为Tn，即Tn＝a1a2a3…an－1an，又已知a1＝4，q＝，则Tn的最大值为________.
8
由a1＝4，q＝，得an＝4·，
则Tn＝a1a2a3…an－1an＝··…·＝，
所以当n＝2或3时，Tn取得最大值8.
12.(2026·许昌调研)如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为_______.
由题意，得正方形的边长构成以为首项，为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，所以n＝10，所以最小正方形的边长为.
四、解答题
13.(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1-3.
(1)求{an}的通项公式;
因为2Sn=3an+1-3,所以2Sn+1=3an+2-3,
两式相减可得2an+1=3an+2-3an+1,即an+2=an+1,
所以等比数列{an}的公比为.
因为2S1=3a2-3=5a1-3,所以a1=1,故an=.
(2)求数列{Sn}的前n项和.
因为2Sn=3an+1-3,
所以Sn=(an+1-1)=,
设数列{Sn}的前n项和为Tn,
则Tn=×-n=×-n-.
14.在数列{an}中，a1＝1，且满足an＝2an－1＋n－2(n∈N*且n≥2).
(1)证明:数列{an＋n}为等比数列;
因为an＝2an－1＋n－2(n∈N*且n≥2)，
所以an＋n＝2[an－1＋(n－1)](n∈N*且n≥2)，
因为a1＋1＝2，所以{an＋n}是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
由(1)知，{an＋n}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以an＋n＝2n，故an＝2n－n，
所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)
＝＝2n＋1－－2.

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