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第4节　数列中的构造问题
题型分析　求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解.
　　　　　　　　　　　　　　　　
题型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型
角度1　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)
例1 已知数列{an}满足an＋1＝an＋4，且a1＝1，则{an}的通项公式为　　　　.
答案　an＝12－11×
解析　设an＋1＋x＝(an＋x)，
即an＋1＝an－x，
所以－x＝4，解得x＝－12，
所以an＋1－12＝(an－12)，
所以{an－12}是首项为a1－12＝－11，公比为的等比数列，
所以an－12＝－11×，
所以an＝12－11×.
角度2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)
例2 (2026·海南质检)设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为　　　　　.
答案　an＝2·3n－n－1
解析　设an＋pn＋q＝3[an－1＋p(n－1)＋q]，
化简后得an＝3an－1＋2pn＋(2q－3p)，
与原递推式比较，对应项的系数相等，
得
即an＋n＋1＝3(an－1＋n－1＋1)，
令bn＝an＋n＋1，则bn＝3bn－1，又b1＝6，
故bn＝6·3n－1＝2·3n，bn＝an＋n＋1，
得an＝2·3n－n－1.
角度3　an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)
例3 (2026·宜春调研)已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项an＝(　　)
A.－3×2n－1 B.3×2n－1
C.5n＋3×2n－1 D.5n－3×2n－1
答案　D
解析　法一　在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，
得×， ①
令bn＝，
则①式变为bn＋1＝bn＋，
即bn＋1－1＝(bn－1)，
所以数列{bn－1}是等比数列，
其首项为b1－1＝－1＝－，公比为，
所以bn－1＝－×，
即bn＝1－×，
所以＝1－×＝1－，
所以an＝5n－3×2n－1.
法二　设an＋1＋k×5n＋1＝2(an＋k×5n)，
则an＋1＝2an－3k×5n，
与an＋1＝2an＋3×5n比较可得k＝－1，
所以an＋1－5n＋1＝2(an－5n)，
所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3，
公比为2的等比数列，
所以an－5n＝－3×2n－1，
所以an＝5n－3×2n－1.
感悟提升　解决此类问题的思路如下
形式 构造方法
an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c}
an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}
an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列
训练1 (多选)已知数列{an}，下列结论正确的有(　　)
A.若a1＝2，2(n＋1)an－n＝0，则an＝n·2n
B.在数列{an}中，a1＝1，且an＝2＋3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝－3
C.若a1＝2，an＝(n≥2)，则数列是等比数列
D.已知数列{an}满足a1＝1，＝2an＋n－1，则数列{an}的通项公式为an＝2n－n＋1
答案　AB
解析　∵2(n＋1)an－n＝0，
∴，
∴＝2，公比为2的等比数列，
∴＝2·，∴an＝n·2n，故A正确;
由an＝2＋3(n≥2)，
得an＋3＝2(＋3)，
即＝2，
又a1＋3＝1＋3＝4，
∴数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴an＋3＝4×，即an＝－3，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3，故B正确;
根据题意，an＝ ＝1，n≥2，又＝6，
∴是首项为6，公差为1的等差数列，故C错误;
设＋k(n＋1)＋b＝2(an＋kn＋b)，
∴＝2an＋kn＋b－k，
由＝2an＋n－1，
得
∴＝2，
即{an＋n}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列.
∴an＋n＝2×＝2n，故an＝2n－n，故D错误.
题型二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1型)
例4 数列{an}中，a1＝1，a2＝，an＋2＝an＋1－an，则数列{an}的通项公式为an＝　　　　.
答案　3－2×
解析　由an＋2＝an＋1－an，得an＋2－an＋1＝(an＋1－an)，故{an＋1－an}是以a2－a1＝为首项，为公比的等比数列，即an＋1－an＝，…，a2－a1＝，上式全部相加，利用等比数列求和公式得an＋1－a1＝2－2×，所以an＝3－2×，n≥2.又a1＝1符合上式，所以an＝3－2×.
感悟提升　形如an＋1＝pan＋qan－1(p≠0，1，q≠0，1)的递推式，可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}.
训练2 若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝　　　　.
答案　3n－1
解析　f'(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，
∴f'(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，
即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，
∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，
则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1
＝2×3n－2＋…＋2×30＋1
＝2×(3n－2＋3n－3＋…＋31＋30)＋1
＝2×＋1
＝3n－1－1＋1＝3n－1.
题型三　倒数为特殊数列(形如an＋1＝型)
例5 已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则an＝　　　　.
答案　
解析　由an＋1＝，得.
设＋p＝，
即，
故，p＝1，
所以＋1＝，
则数列＋1＝2为首项，
以为公比的等比数列，
所以＋1＝2·，
即an＝.
感悟提升　两边同时取倒数转化为·的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的表达式，再求an.
训练3 已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝(n∈N*)，则a20的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为a1＝，an＋1＝(n∈N*)，易知an≠0，
所以＝4＋，即＝4，
又a1＝，所以＝3，
故是以3为首项，4为公差的等差数列，
则＝3＋4(n－1)＝4n－1，故an＝，
所以a20＝.
一、单选题
1.已知数列{an}满足a1＝4，且an＋1＝2an－3，则a211＝(　　)
A.2210－3 B.2211＋3
C.2210＋3 D.2211＋1
答案　C
解析　因为an＋1＝2an－3，
所以an＋1－3＝2(an－3).
因为a1－3＝1，所以数列{an－3}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an－3＝2n－1，所以an＝2n－1＋3，
故a211＝2210＋3.
2.(2026·广州调研)已知数列{an}满足:a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，则a4等于(　　)
A.64 B.56
C.32 D.24
答案　C
解析　法一　由an＋1＝2an＋2n得，而，
∴数列，公差为 的等差数列，
∴＋(n－1)×，
∴an＝n·2n－1，∴a4＝4×24－1＝32.
法二　由已知可得，a2＝2a1＋2＝2×1＋2＝4，
a3＝2a2＋22＝2×4＋4＝12，
a4＝2a3＋23＝2×12＋8＝32.
3.(2026·湖州质检)已知数列{an}的各项均为正数，且－an－n2－n＝0，则a2 026＝(　　)
A.2 025 B.2 026
C.2 027 D.2 028
答案　C
解析　由－an－n(n＋1)＝0，
得[an－(n＋1)](an＋n)＝0.
又an>0，所以数列{an}的通项公式an＝n＋1，故a2 026＝2 027.
4.已知数列{an}满足:a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝(　　)
A.47 B.48
C.49 D.410
答案　C
解析　由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，
得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，
即＝4(n≥3)，
又a1＋a2＝4，
所以数列{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为4，所以a9＋a10＝49.
5.(2026·长沙质检)已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝2，则a9＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　易知an≠0，从而由题意·，即－1＝－，
故数列－1＝－为首项，－为公比的等比数列，
从而－1＝－×，
所以－1＝，解得a9＝.
6.已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝2，，则a5＝(　　)
A.16 B.32
C.64 D.128
答案　B
解析　由，得，
于是，
则，
两边取对数得nlg an＋1＝(n＋1)lg an，
因此，数列是常数列，
则＝lg 2，
即lg an＝nlg 2＝lg 2n，所以an＝2n，a5＝32.
7.(2026·苏州质检)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋2＋1，则a10＝(　　)
A.80 B.100
C.120 D.143
答案　C
解析　因为an＋1＝an＋2＋1，
所以an＋1＋1＝()2＋2＋1，
即an＋1＋1＝(＋1)2，
等式两边开方可得＋1，
即＝1，
所以数列{}是首项为＝2，公差为1的等差数列，
所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
所以an＝n2＋2n，
所以a10＝102＋20＝120.
8.(2026·北京东城区质检)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1－5an＋4an－1＝0(n∈N*，n≥2)，则a10等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为当n≥2时，an＋1－5an＋4an－1＝0，
所以an＋1－an＝4(an－an－1)，
又a1＝1，a2＝2，
则a2－a1＝1，
所以{an＋1－an}是以1为首项，4为公比的等比数列，
所以an＋1－an＝4n－1，
从而a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1＝48＋47＋…＋40＋1
＝＋1＝.
二、多选题
9.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3n，则(　　)
A.a2＝7 B.{Sn}是递增数列
C.{an＋3n}是等差数列 D.a10＝220－310
答案　ABD
解析　因为an＋1＝4an＋3n，
则an＋1＋3n＋1＝4(an＋3n)，
且a1＋3＝4≠0，可知数列{an＋3n}是以首项为4，公比为4的等比数列，
则an＋3n＝4×4n－1＝4n，即an＝4n－3n.
对于A，a2＝42－32＝7，故A正确;
对于B，因为an＝4n－3n>0，所以{Sn}是递增数列，故B正确;
对于C，因为数列{an＋3n}是以首项为4，公比为4的等比数列，
所以{an＋3n}不是等差数列，故C错误;
对于D，a10＝410－310＝220－310，故D正确.
10.(2026·武汉调研)数列 {an} 满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)
A.是等比数列
B.是等比数列
C.an＝
D.Sn＝
答案　BCD
解析　对于AB，数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋1，则an＋1＋＝3，a1＋≠0，
因此数列为首项，3为公比的等比数列，A错误，B正确;
对于C，an＋×3n－1＝，
则an＝，C正确;
对于D，Sn＝
＝，D正确.
11.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则(　　)
A.为等比数列
B.{an}的通项公式为an＝
C.{an}为单调递减数列
D.的前n项和Tn＝
答案　BCD
解析　因为＋3，
所以是以1为首项，3为公差的等差数列，故A错误;
所以＝1＋3(n－1)＝3n－2，即an＝，故B正确;
根据函数y＝3x－2在[1，＋∞)上单调递增，且3x－2>0，则函数y＝在[1，＋∞)上单调递减，
又因为an＝，n∈N*，则数列{an}为单调递减数列，故C正确;
的前n项和Tn＝，故D正确.
三、填空题
12.在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为　　　　.
答案　an＝3n－2n＋2
解析　法一　设an＋1＋p(n＋1)＋q＝3(an＋pn＋q)，即an＋1＝3an＋2pn＋2q－p，
与原式相比较，对应项系数相等得
首项a1＋2－2＝3，
所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列，
故an＋2n－2＝3×3n－1＝3n，
故an＝3n－2n＋2.
法二　因为an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，
所以an＋1＋2n＝3an＋4n－6＋2n＝3[an＋2(n－1)]，
因为a1＝3，所以a1＋2×(1－1)＝3，
所以{an＋2(n－1)}是首项为3，公比为3的等比数列，
则an＋2(n－1)＝3·3n－1＝3n，
所以an＝3n－2n＋2.
13.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝　　　　.
答案　2n－1
解析　由题知an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
因为a2－a1＝2，所以{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1－an＝2n，
当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1，
显然n＝1时满足上式，所以an＝2n－1.
14.(2026·保山调研)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1－an＋anan＋1＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　　　　.
答案　an＝
解析　在数列{an}中，a1＝1，
2an＋1－an＋anan＋1＝0，显然an≠0，
则有＝2·＋1，
即＋1＝2，而＋1＝2，
因此数列是以2为首项，
2为公比的等比数列，
所以＋1＝2n，即an＝.(共44张PPT)
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第六章　数列
第4节　数列中的构造问题
求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解.
题型分析
角度1　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)
例1 已知数列{an}满足an＋1＝an＋4，且a1＝1，则{an}的通项公式为____________________.
an＝12－11×
设an＋1＋x＝(an＋x)，
即an＋1＝an－x，
所以－x＝4，解得x＝－12，
所以an＋1－12＝(an－12)，
题型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型
所以{an－12}是首项为a1－12＝－11，公比为的等比数列，
所以an－12＝－11×，
所以an＝12－11×.
角度2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)
例2 (2026·海南质检)设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为_______________.
an＝2·3n－n－1
设an＋pn＋q＝3[an－1＋p(n－1)＋q]，
化简后得an＝3an－1＋2pn＋(2q－3p)，
与原递推式比较，对应项的系数相等，
得
即an＋n＋1＝3(an－1＋n－1＋1)，
令bn＝an＋n＋1，则bn＝3bn－1，又b1＝6，
故bn＝6·3n－1＝2·3n，bn＝an＋n＋1，
得an＝2·3n－n－1.
角度3　an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)
例3 (2026·宜春调研)已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项an＝(　　)
A.－3×2n－1 B.3×2n－1
C.5n＋3×2n－1 D.5n－3×2n－1
D
法一　在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，
得×， ①
令bn＝，则①式变为bn＋1＝bn＋，
即bn＋1－1＝(bn－1)，
所以数列{bn－1}是等比数列，
其首项为b1－1＝－1＝－，公比为，
所以bn－1＝－×，
即bn＝1－×，
所以＝1－×＝1－，
所以an＝5n－3×2n－1.
法二　设an＋1＋k×5n＋1＝2(an＋k×5n)，
则an＋1＝2an－3k×5n，
与an＋1＝2an＋3×5n比较可得k＝－1，
所以an＋1－5n＋1＝2(an－5n)，
所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3，
公比为2的等比数列，
所以an－5n＝－3×2n－1，
所以an＝5n－3×2n－1.
感悟提升
解决此类问题的思路如下
形式 构造方法
an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c}
an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}
an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列
训练1 (多选)已知数列{an}，下列结论正确的有(　　)
A.若a1＝2，2(n＋1)an－n＝0，则an＝n·2n
B.在数列{an}中，a1＝1，且an＝2＋3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝－3
C.若a1＝2，an＝(n≥2)，则数列是等比数列
D.已知数列{an}满足a1＝1，＝2an＋n－1，则数列{an}的通项公式为an＝2n－n＋1
AB
∵2(n＋1)an－n＝0，∴，
∴＝2，公比为2的等比数列，
∴＝2·，∴an＝n·2n，故A正确;
由an＝2＋3(n≥2)，
得an＋3＝2(＋3)，
即＝2，
又a1＋3＝1＋3＝4，
∴数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴an＋3＝4×，即an＝－3，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3，故B正确;
根据题意，an＝ ＝1，n≥2，又＝6，
∴是首项为6，公差为1的等差数列，故C错误;
设＋k(n＋1)＋b＝2(an＋kn＋b)，
∴＝2an＋kn＋b－k，
由＝2an＋n－1，
得
∴＝2，
即{an＋n}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列.
∴an＋n＝2×＝2n，故an＝2n－n，故D错误.
例4 数列{an}中，a1＝1，a2＝，an＋2＝an＋1－an，则数列{an}的通项公式为an＝__________________.
3－2×
由an＋2＝an＋1－an，得an＋2－an＋1＝(an＋1－an)，故{an＋1－an}是以a2－a1＝为首项，为公比的等比数列，即an＋1－an＝，…，a2－a1＝，上式全部相加，利用等比数列求和公式得an＋1－a1＝2－2×，
所以an＝3－2×，n≥2.又a1＝1符合上式，所以an＝3－2×.
题型二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1型)
感悟提升
形如an＋1＝pan＋qan－1(p≠0，1，q≠0，1)的递推式，可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}.
训练2 若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝____________.
3n－1
f'(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，
∴f'(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，
∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，
则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1
＝2×(3n－2＋3n－3＋…＋31＋30)＋1
＝2×＋1
＝3n－1－1＋1＝3n－1.
例5 已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则an＝____________.
由an＋1＝，得.
设＋p＝，即，
故，p＝1，所以＋1＝，
则数列＋1＝2为首项，
以为公比的等比数列，所以＋1＝2·，即an＝.
题型三　倒数为特殊数列(形如an＋1＝型)
感悟提升
两边同时取倒数转化为·的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的表达式，再求an.
训练3 已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝(n∈N*)，则a20的值为(　　)
A. B.
C. D.
A
因为a1＝，an＋1＝(n∈N*)，易知an≠0，
所以＝4＋，即＝4，
又a1＝，所以＝3，
故是以3为首项，4为公差的等差数列，
则＝3＋4(n－1)＝4n－1，故an＝，
所以a20＝.
课时对点精练
一、单选题
1.已知数列{an}满足a1＝4，且an＋1＝2an－3，则a211＝(　　)
A.2210－3 B.2211＋3
C.2210＋3 D.2211＋1
C
因为an＋1＝2an－3，
所以an＋1－3＝2(an－3).
因为a1－3＝1，所以数列{an－3}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an－3＝2n－1，所以an＝2n－1＋3，
故a211＝2210＋3.
2.(2026·广州调研)已知数列{an}满足:a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，则a4等于(　　)
A.64 B.56
C.32 D.24
C
法一　由an＋1＝2an＋2n得，而，
∴数列，公差为 的等差数列，
∴＋(n－1)×，
∴an＝n·2n－1，∴a4＝4×24－1＝32.
法二　由已知可得，a2＝2a1＋2＝2×1＋2＝4，
a3＝2a2＋22＝2×4＋4＝12，
a4＝2a3＋23＝2×12＋8＝32.
3.(2026·湖州质检)已知数列{an}的各项均为正数，且－an－n2－n＝0，则a2 026＝(　　)
A.2 025 B.2 026
C.2 027 D.2 028
C
由－an－n(n＋1)＝0，
得[an－(n＋1)](an＋n)＝0.
又an>0，所以数列{an}的通项公式an＝n＋1，故a2 026＝2 027.
4.已知数列{an}满足:a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝(　　)
A.47 B.48
C.49 D.410
C
由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，
得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，
即＝4(n≥3)，
又a1＋a2＝4，
所以数列{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为4，所以a9＋a10＝49.
5.(2026·长沙质检)已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝2，则a9＝(　　)
A. B.
C. D.
A
易知an≠0，从而由题意·，即－1＝－，
故数列－1＝－为首项，－为公比的等比数列，
从而－1＝－×，
所以－1＝，解得a9＝.
6.已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝2，，则a5＝(　　)
A.16 B.32
C.64 D.128
B
由，得，
于是，
则，
两边取对数得nlg an＋1＝(n＋1)lg an，
因此，数列是常数列，
则＝lg 2，
即lg an＝nlg 2＝lg 2n，所以an＝2n，a5＝32.
7.(2026·苏州质检)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋2＋1，则a10＝(　　)
A.80 B.100
C.120 D.143
C
因为an＋1＝an＋2＋1，
所以an＋1＋1＝()2＋2＋1，
即an＋1＋1＝(＋1)2，
等式两边开方可得＋1，
即＝1，
所以数列{}是首项为＝2，公差为1的等差数列，
所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
所以an＝n2＋2n，
所以a10＝102＋20＝120.
8.(2026·北京东城区质检)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1－5an＋4an－1＝0(n∈N*，n≥2)，则a10等于(　　)
A. B.
C. D.
B
因为当n≥2时，an＋1－5an＋4an－1＝0，
所以an＋1－an＝4(an－an－1)，又a1＝1，a2＝2，则a2－a1＝1，
所以{an＋1－an}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以an＋1－an＝4n－1，
从而a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1＝48＋47＋…＋40＋1
＝＋1＝.
二、多选题
9.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3n，则(　 　)
A.a2＝7 B.{Sn}是递增数列
C.{an＋3n}是等差数列 D.a10＝220－310
ABD
因为an＋1＝4an＋3n，
则an＋1＋3n＋1＝4(an＋3n)，
且a1＋3＝4≠0，可知数列{an＋3n}是以首项为4，公比为4的等比数列，
则an＋3n＝4×4n－1＝4n，即an＝4n－3n.
对于A，a2＝42－32＝7，故A正确;
对于B，因为an＝4n－3n>0，所以{Sn}是递增数列，故B正确;
对于C，因为数列{an＋3n}是以首项为4，公比为4的等比数列，
所以{an＋3n}不是等差数列，故C错误;
对于D，a10＝410－310＝220－310，故D正确.
10.(2026·武汉调研)数列 {an} 满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则(　 　)
A.是等比数列 B.是等比数列
C.an＝ D.Sn＝
对于AB，数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋1，
则an＋1＋＝3，a1＋≠0，
因此数列为首项，3为公比的等比数列，A错误，B正确;
BCD
对于C，an＋×3n－1＝，
则an＝，C正确;
对于D，Sn＝
＝，D正确.
11.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则(　 　)
A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an＝
C.{an}为单调递减数列 D.的前n项和Tn＝
BCD
因为＋3，
所以是以1为首项，3为公差的等差数列，故A错误;
所以＝1＋3(n－1)＝3n－2，即an＝，故B正确;
根据函数y＝3x－2在[1，＋∞)上单调递增，且3x－2>0，
则函数y＝在[1，＋∞)上单调递减，
又因为an＝，n∈N*，则数列{an}为单调递减数列，故C正确;
的前n项和Tn＝，故D正确.
三、填空题
12.在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为_____________________.
an＝3n－2n＋2
法一　设an＋1＋p(n＋1)＋q＝3(an＋pn＋q)，即an＋1＝3an＋2pn＋2q－p，
与原式相比较，对应项系数相等得
首项a1＋2－2＝3，
所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列，
故an＋2n－2＝3×3n－1＝3n，故an＝3n－2n＋2.
法二　因为an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，
所以an＋1＋2n＝3an＋4n－6＋2n＝3[an＋2(n－1)]，
因为a1＝3，所以a1＋2×(1－1)＝3，
所以{an＋2(n－1)}是首项为3，公比为3的等比数列，
则an＋2(n－1)＝3·3n－1＝3n，
所以an＝3n－2n＋2.
13.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝____________.
2n－1
由题知an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
因为a2－a1＝2，所以{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以an＋1－an＝2n，
当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1，
显然n＝1时满足上式，所以an＝2n－1.
14.(2026·保山调研)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1－an＋anan＋1＝0(n∈N*)，则
数列{an}的通项公式为____________.
an＝
在数列{an}中，a1＝1，2an＋1－an＋anan＋1＝0，显然an≠0，
则有＝2·＋1，即＋1＝2，而＋1＝2，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以＋1＝2n，即an＝.

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