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2026 年广东省初中学业水平考试模拟卷
数 学 答 案
一、选择题
1．D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.D 7.A 8.C 9.C 10.D
二、填空题
11．x3y2(答案不唯一)
12．3
13． 44°
14．m≥1
15． 15
三、解答题(一)
16．解：原式＝3－2 ＋1＋3 －1(5分)
＝3＋ .(7分)
17．解：(1)由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面
积之间成反比例函数的关系．(1分)
设地面所受压强 p(Pa)关于接触面积 S(m2)的函数表达式为 p＝ .
将(4×104，1.2×10-2)代入 p＝ ，得 F＝4×104×1.2×10-2＝4.8×102.(3分)
∴地面所受压强 p(Pa)关于接触面积 S(m2)的函数表达式为 p＝ .(4分)
(2)将 p＝5×104代入 p＝ 时，S＝9.6×10-3.(6分)
∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为 5×104 Pa时，这种机器人与玻璃通道的接触面
积至少为 9.6×10-3 m2.(7分)
18．解：(1)∵∠DCE＝∠ACB，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∴△DCE∽△ACB.∴ ＝ .∴ ＝ .
∴AB＝7.5.
答：旗杆的高度 AB为 7.5米．(3分)
(2)∵DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行，
∴∠CGD＝∠AHD＝90°，GF＝BH＝DE＝1.5米．
∵∠CDG＝∠ADH，∴△CDG∽△ADH.∴ ＝ .
∵CG＝CF－GF＝4－1.5＝2.5(米)，DG＝EF＝3米，DH＝BF＋EF＝9＋3＝12(米)，
∴ ＝ .∴AH＝10.(6分)
∴AB＝AH＋BH＝10＋1.5＝11.5(米)．
答：旗杆的高度 AB为 11.5米．(7分)
四、解答题(二)
19．(1)证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠ADB＝∠DBC.(2分)
∵CF∥BD，∴∠DBC＝∠BCF.
∴∠ADB＝∠BCF.
又∵DE＝CF，
∴△ADE≌△BCF(SAS)．(4分)
(2)解：① 结论：四边形 ABFE是矩形．(5分)
证明如下：∵CF∥BD且 CF＝DE，
∴四边形 CDEF是平行四边形．
∴EF∥CD，EF＝CD.(6分)
又∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴AB∥EF，AB＝EF.
∴四边形 ABFE是平行四边形．(7分)
∵AB∥EF，CF∥BD，
∴∠ABE＝∠BEF＝∠EFC.
∵∠BFC－∠ABE＝90°，
∴∠BFC－∠EFC＝90°，即∠BFE＝90°.
∵四边形 ABFE是平行四边形，
∴四边形 ABFE是矩形．(9分)
(或② 结论：四边形 ABFE是菱形．
证明如下：∵CF∥BD且 CF＝DE，
∴四边形 CDEF是平行四边形．
∴EF∥CD，EF＝CD.
又∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴AB∥EF，AB＝EF.
∴四边形 ABFE是平行四边形．
∵AE＝EF，
∴四边形 ABFE是菱形．
或③ 结论：四边形 ABFE是菱形．
证明如下：如图．∵CF∥BD且 CF＝DE，
∴四边形 CDEF是平行四边形．
∴EF∥CD，EF＝CD.
又∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴AB∥EF，AB＝EF.
∴四边形 ABFE是平行四边形．
∵AF⊥BD，∴四边形 ABFE是菱形．)
20．解：(1)100(1分)
(2)100－17－13－40＝30(人)．
补全的条形统计图如图．
(4分)
(3)10× ＝3(万人)．
答：愿意改造“娱乐设施”的约有 3万人．(6分)
(4)乙 甲(9分)
提示： 若以 1∶1∶1∶1进行考核， 甲小区得分为 ×(7＋7＋9＋8)＝7.75， 乙小区得分
为 ×(8＋8＋7＋9)＝8.∴若以 1∶1∶1∶1进行考核， 乙小区满意度(分数)更高． 若以 1∶1∶
2∶1进行考核，甲小区得分为 7× ＋7× ＋9× ＋8× ＝8，乙小区得分为 8× ＋8× ＋
7× ＋9× ＝7.8.∴若以 1∶1∶2∶1进行考核， 甲小区满意度(分数)更高．
21．解：(1)猜想：OD＝ OA.(1分)
证明如下：如图 1，记弦 AB与 相切于点M，连接 OM，则 OM⊥AB.
图 1
∴∠AMO＝90°.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠MAO＝∠MBO＝30°.(3分)
∴OM＝ OA.
∵OD＝OM，∴OD＝ OA.(4分)
(2)①如图 1，∵OA＝OB，OM⊥AB，∴AM＝BM.
由(1)知 OD＝ OA＝AD.∴OA＝2AD＝30(cm)．
∴在 Rt△AOM中，AM＝AO·cos∠MAO＝30× ＝15 (cm)．
∴AB＝2AM＝2×15 ＝30 (cm)．(6分)
②能，画图如图 2、图 3所示．(画法不唯一，正确画出一种即可)(9分)
(图 2) (图 3)
五、解答题(三)
22．(1)证明：∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°.∴∠CPH＋∠PHC＝90°.
由翻折，得∠EPG＝∠A＝90°.
∴∠CPH＋∠EPD＝90°.∴∠EPD＝∠PHC.
又∠D＝∠C，∴△EDP∽△PCH.(4分)
(2)解：如图 1，设 DE＝x，则 AE＝PE＝2－x.
∵点 P为 CD的中点，CD＝2，∴PD＝PC＝1.
由 DE2＋PD2＝PE2，得 x2＋12＝(2－x)2.解得 x＝ .
由(1)知△EDP∽△PCH.
∴ ＝ ，即 ＝ .∴HP＝ .(8分)
(3)解：如图 2，延长 AB，PG交于点M，连接 AP.
由翻折，得 AE＝EP.∴∠EAP＝∠EPA.
∵∠EAB＝∠EPG＝90°，
∴∠MAP＝∠MPA.∴MA＝MP.
∵点 P为 CD的中点，∴DP＝CP＝1.
由翻折，得 PG＝AB＝CD＝2.
∵点 H为 BC的中点，∴BH＝CH.
∵∠BHM＝∠CHP，∠HBM＝∠HCP，
∴△MBH≌△PCH(ASA)．
∴BM＝CP＝1，HM＝HP.
∴MP＝MA＝BM＋AB＝3.
∴HP＝ MP＝ .(11分)
在 Rt△PCH中，CH2＝HP2－PC2.∴CH＝ .
∴BC＝2CH＝ .∴AD＝BC＝ .
在 Rt△APD中，AP＝ ＝ .
由翻折，得 AP⊥EF，BG⊥直线 EF.
∴BG∥AP.∴△BMG∽△AMP.∴ ＝ ＝ .∴BG＝ .(13分)
23． 解：(1)∵a＝1，抛物线与 y轴交于点(0，－1)，
∴－1＝(0－1)2＋k.解得 k＝－2.
∴该抛物线的解析式为 y＝(x－1)2－2.
∴P(1，－2)．(3分)
(2)如图 1，过点M(m，1)(m＞1)作MH⊥x轴，垂足为 H，则∠MHO＝90°，HM＝1，
OH＝m.
在 Rt△MOH中，∵HM2＋OH2＝OM2，OM＝ ，
∴1＋m2＝ .
解得 m1＝ ，m2＝－ (舍去)．
∴点M的坐标为( ，1).(5分)
∵y＝a(x－1)2＋k，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝1.
由题意，得 OD＝1，∠ODP＝90°.
在 Rt△OPD中，OD2＋PD2＝OP2，OP＝ ，
∴1＋PD2＝ .解得 PD＝ (负值已舍去)．
由 a>0，得该抛物线的顶点 P的坐标为(1，- ).
∴该抛物线的解析式为 y＝a(x－1)2－ .
∵点M( ，1)在该抛物线上，
∴1＝a· － .解得 a＝10.(8分)
(3)如图 2，过点 M(m，1)(m＞1)作 MH⊥x轴，垂足为 H，则∠MHO＝90°，HM＝1，
OH＝m.
∴DH＝OH－OD＝m－1.
∴在 Rt△DMH中，DM2＝DH2＋MH2＝(m－1)2＋1.
如图 2，过点 N作 NK⊥x轴，垂足为 K，则∠DKN＝90°.
∵∠MDN＝90°，
∴∠DNK＝90°－∠NDK＝∠MDH.
∵DM＝DN，∴△NDK≌△DMH(AAS)．
∴DK＝MH＝1，NK＝DH＝m－1.
∴点 N的坐标为(2，1－m)．
在 Rt△DMN中，∠DMN＝∠DNM＝45°，MN2＝DM2＋DN2＝2DM2，即MN＝ DM.
∵NE＋NF＝ DM，∴ME＝NF.
在△DMN的外部，作∠DNG＝∠DME＝45°，且 NG＝DM，如图 2，连接 GM，GF，
则∠MNG＝∠DNM＋∠DNG＝90°.
易得△GNF≌△DME.∴GF＝DE.
∴DE＋MF＝GF＋MF≥GM.
当满足条件的点 F落在线段 GM上时，DE＋MF取得最小值，即 GM＝ .(11分)
在 Rt△GMN中，GM2＝NG2＋MN2＝3DM2，
∴( )2＝3DM2.∴DM2＝5.
∴(m－1)2＋1＝5.解得 m1＝3，m2＝－1(舍去)．
∴点M的坐标为(3，1)，点 N的坐标为(2，－2)．
∵点M(3，1)，N(2，－2)都在抛物线 y＝a(x－1)2＋k上，
∴ 解得 (14分)2026 年广东省初中学业水平考试模拟卷
数 学
（总分：120 分 时间：120 分钟）
一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1． 下列四个数中，比－2小的数是（ ）
2． 线锤在生活中的使用场景非常广泛，主要用于测量和定位．如图是一个线锤，它的左视图为（ ）
A B C D
3． 下列运算正确的是（ ）
4． 不等式 x<1的解集在数轴上的表示正确的是（ ）
5． 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为 0.5，下列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮 1次，不一定能投中 B．小星定点投篮 1次，一定可以投中
C．小星定点投篮 10次，一定投中 5次 D．小星定点投篮 5次，一定投中 1次
6． 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点 D，E分别为边 AB，AC的中点，连接 DE，CD，
若 DE＝2 ，则 CD的长度为（ ）
7． 数学文化《九章算术》中记载这样一个题：牛 5头和羊 2只共值 10金，牛 2头和羊 5只共值 8金，
问牛和羊各值多少金？设每头牛值 x金，每只羊值 y金，则可列方程组为（ ）
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8． 数学实践数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工
件圆弧上任取两点 A，B，连接 AB，作 AB的垂直平分线 CD交 AB于点 D，交
于点 C，测出 AB＝16 cm，CD＝4 cm，则圆形工件的半径为（ ）
A． 14 cm B． 12 cm
C． 10 cm D． 8 cm
9． 如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(－6，0)，点 C的坐标为(0，3)．
以 OA，OC为边作矩形 OABC，若将矩形 OABC绕点 O顺时针旋转 90°，得到矩形
OA′B′C′，则点 B′的坐标为（ ）
A． (－6，－3) B． (－6，3)
C． (3，6) D． (6，3)
10． 如图，正比例函数 y1＝mx，一次函数 y2＝ax＋b和反比例函数 y3＝ 的
图象在同一直角坐标系中，若 y3>y1>y2，则自变量 x的取值范围是（ ）
A． x<－1 B．－0.51
C． 0二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分．
11． 开 放 性 试 题 请 写 出 一 个 只 含 字 母 x， y的 五 次 单 项 式
___________________________
12． 计算 - 的结果等于 ．
13． 如图为化学实验过滤操作的示意图，其中烧杯中的液面 AB与漏斗架 CD平行．若∠
1＝76°，∠2＝120°，则∠3的度数为 ．
14． 若关于 x的不等式组 无解，则 m的取值范围
为 ．
15． 如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边 AB上一点，连接 CE，在 BC右侧
作 BF∥AC，且 BF＝AE，连接 CF. 若 AC＝6.5，BC＝5，则四边形 EBFC的面
积为 ．
三、解答题(一)：本大题共 3小题，每小题 7分，共 21分．
16． 计算：|2 －3|＋tan 45°＋ × －(π－3.14)0.
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17．最近DeepSeek火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，
购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的
压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表：
地面所受压强 p/Pa … 4×104 6×104 8×104 1×105 …
接触面积 S/m2 … 1.2×10-2 8×10-3 6×10-3 4.8×10-3 …
(1)求地面所受压强 p(Pa)关于接触面积 S(m2)的函数表达式；
(2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为 5×104 Pa，问这种机器人
与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？
18． 综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师要求九年级(2)班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下：
【实地测量】
(1)利用镜子测量：如图 1，小康站在操场上点 E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，
∠DCE＝∠ACB. 小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度DE＝1.5米，小康到镜面的距离EC＝3米，
镜面到旗杆的距离 CB＝15米．求旗杆的高度 AB.
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(2)利用标杆测量：如图 2，小英站在操场上的点 E处，她的眼睛 D，标杆的顶端 C和旗杆的顶端 A在一
条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度 DE＝1.5米，标杆高 CF＝4米，EF＝3米，BF＝
9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行．求旗杆的高度 AB.
四、解答题(二)：本大题共 3小题，每小题 9分，共 27分．
19． 如图，在平行四边形 ABCD中，点 E是对角线 BD上的一点，过点 C作 CF∥BD且 CF＝DE，连接
AE，BF，EF.
(1)求证：△ADE≌△BCF；
(2)请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形 ABFE的形状，并证明你的结论．
条件①：∠BFC－∠ABE＝90°；
条件②：AE＝EF；
条件③：连接 AF，AF⊥BD.
(注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分)
已知： ．(填写序号)
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20． 为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷(1
人只能投 1票)，共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施 4种选项，一共调查了 a人．如图是根
据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图．
请根据统计图回答下面的问题：
(1)调查总人数 a＝ ．
(2)请补全条形统计图．
(3)若该城区共有 10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？
(4)改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果(分数)如下：
项目小区 休闲 儿童 娱乐 健身
甲 7 7 9 8
乙 8 8 7 9
若以 1∶1∶1∶1进行考核， 小区满意度(分数)更高；
若以 1∶1∶2∶1进行考核， 小区满意度(分数)更高．
21． 综合与实践
【主题】扇面制作．
【背景】如图 1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺
术风格．某班组织同学们开展扇面制作展示活动，扇面的形状如图 2中阴影部分所示，∠AOB＝120°，弦
AB与 相切．
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【素材】无刻度直尺、量角器、圆规、剪刀、如图 3所示直径为 30 cm的卡纸⊙O1.
【任务】
(1)猜想与证明：猜想 OD与 OA之间的数量关系，并证明．
(2)设计扇面：若要求制作的扇面的宽 AD＝BC＝15 cm.
①求要制作的扇面中弦 AB的长．
②在⊙O1中能否设计出满足条件的扇面？若能，请利用【素材】中的工具在图 3中直接画出扇面(标出相
关角的度数，保留作图痕迹)；若不能，请说明理由．
五、解答题(三)：本大题共 2小题，第 22小题 13分，第 23小题 14分，共 27分．
22． 如图，在正方形 ABCD中，点 E，F分别在 AD，BC上，将四边形 ABFE沿
EF翻折，使 A的对称点 P落在 CD上，B的对称点为 G，PG交 BC于点 H.
(1)求证：△EDP∽△PCH；
(2)若点 P为 CD的中点，正方形 ABCD的边长为 2，求 HP的长；
(3)若四边形 ABCD为矩形，连接 BG，DC＝2，点 P为 CD的中点，点 H为 BC的
中点，求 BG的长．
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23． 【问题背景】
已知抛物线 y＝a(x－1)2＋k(a，k为常数，a>0)的顶点为 P，对称轴与 x轴相交于点 D，点M(m，1)在抛物
线上，m>1，O为坐标原点．
【构建联系】
(1)如图 1，当 a＝1，抛物线与 y轴交于点(0，－1)时，求该抛物线的顶点 P的坐标；
(2)如图 2，当 OM＝OP＝ 时，求 a的值；
【深入探究】
(3)如图 3，若 N是抛物线上的点，且点 N在第四象限，∠MDN＝90°，DM＝DN，点 E在线段MN上，
点 F在线段 DN上，NE＋NF＝ DM，当 DE＋MF取得最小值为 时，求 a和 k的值．
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