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湖南衡阳市第八中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．已知集合或，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
3．在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（ ）
A． B． C． D．
4．在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为（ ）

A． B．2 C． D．
5．若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．E的焦点到渐近线的距离为2 B．
C．E的实轴长为6 D．E的离心率为
7．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四棱锥中，点是的中点，设，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数在复平面内对应的点位于第四象限
C．
D．为纯虚数
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得的图象
11．已知直线，圆，则下列命题正确的是（ ）
A．，点在圆外
B．，使得直线与圆相切
C．当直线与圆相交于PQ时，交点弦的最小值为
D．若在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，m的值为
三、填空题
12．在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是___________．
13．过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于AB两点，则_______
14．已知数列满足，，则________.
四、解答题
15．已知非零等差数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记的前n项和为，求的最小值.
16．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．
（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的中位数；
（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．
17．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，点E为棱的中点，O为边的中点.
(1)求证：平面；
(2)若侧面底面，且，，求与平面所成角的正弦值.
18．在中，角的对边分别为.
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.
19．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，过椭圆C的右焦点F的直线l与C交于P，Q两点，且当直线l的倾斜角为时，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P在x轴上方，E为线段PF的中点，椭圆C的左焦点为，直线PO（O为坐标原点）与交于点A，求（S表示面积）的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《湖南衡阳市第八中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D C D D A A ABC BD
题号 11
答案 ACD
12．．
13．
14．
15．【详解】（1）设等差数列的公差为，
由可得，即，
由可得，即，
即有，化简得，
故或，则或，
由数列为非零数列，故，，
故；
（2），
故当时，有最小值.
16．
【详解】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得x=0.02．
（2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得m=75．
（3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2
满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，
记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，
基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），
（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数为4个，
利用古典概型概率公式可知P（A）=0.4．
17．(1)
取线段的中点F，连，
在中，E，F分别为，的中点且
又底面是菱形，且O为的中点
且且
四边形为平行四边形
又平面，平面
平面
（2）在平面内过点O作，又侧面底面，则平面，
由，，可得
故分别以、、所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系，
则，，，
则,,
设平面的一个法向量，
则，即，令，则
即，设直线与平面所成的角为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为
18．
【详解】（1）解法一：
因为，
由正弦定理得，
所以，
，
即，
因为，所以，
因为，所以.
解法二：
因为，
由余弦定理得，
即，
即，
所以，
所以，
因为，所以.
（2）解法一：因为的面积，
所以，
因为，所以，
由（1）得，
所以，故，
解得，
所以的周长.
解法二：
由（1）得，
因为，
所以，整理得，
即，又，所以为等边三角形，
即，
因为的面积，
所以，
所以的周长为6
解法三：
（2）由（1）得，
所以，
当且仅当时取”，
因为，
所以，
因为的面积，
所以，
所以的周长为6.
19．
【详解】（1）依题意，，得，
则椭圆．
设直线l的斜率为k．
由题易知，故当倾斜角为时，直线．
联立可得，解得或．
故，解得．
故椭圆C的方程为．
（2）依题意，．
设，则．
如图，连接OE，OQ，
因为O，E分别为线段，PF的中点，
所以，
，
的面积为．
记，得．
设直线，与椭圆C的方程联立，消去x得，
由根与系数的关系可得．
令，其中，
则可得．
当时，，此时．
当时，，所以，
又，解得．
所以，解得，
又因为，
所以实数的取值范围是．
答案第1页，共2页
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