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江苏南京金陵中学2025-2026学年第二学期期末模拟考试高一数学试卷
一、单选题
1．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
3．设m、n是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若 ，则 D．若，则
4．已知事件和事件独立，若，则（ ）
A．0.56 B．0.76 C．0.80 D．0.96
5．在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，则的最大值为（ ）
A．26 B．24 C．20 D．18
7．如图，若将一个圆锥以平行于底面的平面截成一个小圆锥和一个圆台，若该小圆锥与原圆锥的外接球表面积之比为9:16，则小圆锥与圆台的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．南京市江心洲地区周围要建设一个游乐场，索道滑翔项目区的简易规划图如图所示，其中，⊥平面，，已知，且 ，则面积最大为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．若事件两两独立，则
B．若，则事件两两独立
C．若，则事件两两互斥
D．若事件两两互斥，则
10．下列说法正确的有（ ）
A．若复数满足，则的最大值为
B．若1，2互为共轭复数，则+为实数
C．对于复数1，2，若|1|=|2|，则=
D．对于复数1，2，若=，则|1|=|2|
11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．存在点，使得平面平面，
B．过点三点的平面截正方体所得截面的面积最大为5
C．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为
D．的最小值为
三、填空题
12．设正方体的棱长为1，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为______．
13．设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知，则________．
14．设，则函数的最小值为________.
四、解答题
15．已知内角的对边分别为，设．
(1)求；
(2)若的面积为，求的值．
16．某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值及样本平均数；
(2)试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内 （用每组的区间的中点代替该组的分数）
17．在丰富多彩的高中生活中，校园的合理规划是避免学生浪费过多不必要时间的必要条件. 如图为南京市某校的建设计划简图，D点为高一学生教室，B点为食堂，A点为体育场，另有一基准点C，构成四面体，其中，.
(1)若，，求二面角的余弦值；
(2)已知平面平面，教室与体育场的直线距离为AD：若，求AD的最大值.
18．已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若；
（i）求周长的取值范围；
（ii）求面积的最大值．
19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，M，N分别是棱上的点（含端点）．
(1)证明：；
(2)若N为棱的中点，且二面角的正切值为，求；
(3)设点Q是边上的点（含端点），
（i）连接，求与面所成角θ的正弦值的取值范围，并写出在θ角最大时Q点的位置；
（ii）求的最小值．
试卷第1页，共3页
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《江苏南京市金陵中学2025-2026学年第二学期期末模拟考试高一数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D B C A C C CD BD
题号 11
答案 ACD
12．
13．/
14．/
15．
【详解】（1）由得，
由正弦定理得．
由余弦定理得．
，．
（2）由于的面积为，，
，
由余弦定理得：，
．
16．
【详解】（1）由题意知，解得；
所以该次测试分数的平均数的为：
(分)．
（2）由频率分布直方图知
(分)，
(分)，(分) ，
故得分为60分的同学的成绩没有进入到内，得分为80分的同学的成绩进入到了内．
即：得分为60分的同学的成绩没有进入到范围，得分为80分的同学的成绩进入到范围了.
17．
【详解】（1）因为，，故为等腰直角三角形，则，
而因为，所以为等腰三角形，取BC的中点，连接，，
则，，因此，，
因此即为二面角，故.
（2）取中点，连接，，
由得，，因为面面，所以面，
因此，由勾股定理得，，而，
故当取最大值时，取最大值，
，，则，
设圆为外接圆，半径为，则，因此，
则，，
因此，因此.
18．
【详解】（1）在中，由及正弦定理得，
即，
整理得，而，则，
于是，整理得，
即，而，解得，
所以.
（2）（i）由余弦定理得，
当且仅当时取等号，因此，而，
则，所以，
所以周长的取值范围是.
（ii）由（i）知，当且仅当时取等号，
所以，
因此，
所以面积的最大值为.
19．(1)连接，在中，
由余弦定理得，，
所以，所以，
又因为四边形为平行四边形，所以，即，
因为平面，平面，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
所以．
（2）在平面中，过点作，垂足为，连接，
由（1）知，平面，又，
所以平面，又平面，所以，
又，平面，
所以平面，平面，
所以，
又平面，平面，平面平面，
所以为二面角的平面角，
因为平面，平面，所以，
则在中，，
因为底面，平面，所以，
在中，，
又N为棱的中点，所以，
所以，则，所以，
在中，，
所以，设，
在中，由余弦定理得，，
所以．
（3）①由（1）知，即，
又平面，平面，
所以，又平面，
所以平面，
又平面，平面，
所以平面，又在上，
所以到平面的距离，
，即当最小时，θ最大，
又平面，平面，
，则，
又，，
此时，，
所以正弦值的取值范围为，θ最大为，此时Q点与C点重合；
②将在同一平面展开，
将沿对称得，点沿对称得，交于，
则，当且仅当在同一直线上时，取得最小值，
所以，
又平面，平面，所以，
所以，当在点处取等，
又，设，则，
所以，
则，
故的最小值为．
答案第1页，共2页
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