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辽宁省七校协作体2025-2026学年高一下学期6月练习数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D．
2．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ）
A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
3．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．2
4．已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ）
A．或 B． C． D．
5．将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图扇形，圆心角，D为半径中点，把扇形分成三部分，这三部分绕AC旋转一周，所得三部分旋转体的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若方程的解为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是（ ）
A．12 B． C．10 D．
11．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．的值域为
C．在上单调递减
D．图象的对称轴为直线
三、填空题
12．已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______．
13．如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则______.
14．在锐角三角形中，角的对边分别是，若的面积，则的最小值为________．
四、解答题
15．如图是一个正四棱台的铁料，上 下底面的边长分别为和，高.
(1)求四棱台的表面积；
(2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比.
16．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．
(1)若，求的面积；
(2)若，求和的值；
17．已知函数.
(1)若，求及的单调递增区间；
(2)已知在区间上单调递增，且，求的最小正周期.
18．已知的内角的对边为，且
(1)求;
(2)若的面积为
①已知为的中点，且，求底边上中线的长;
②求内角的角平分线长的最大值.
19．由平面内夹角为60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”，如图所示．设向量分别为数轴Ox，Oy正方向上的单位向量，对于该平面内的向量，若，则实数对称为向量的“完美坐标”．
(1)已知向量，的“完美坐标”分别为，，判断命题“的充要条件是”是否正确？若命题正确，请给出证明；若命题不正确，请说明理由；
(2)已知向量，的“完美坐标”分别为，，设函数．
①若存在，使不等式成立，求实数k的取值范围；
②若函数在区间内恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《辽宁省七校协作体2025-2026学年高一下学期6月练习数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D B D A C AC BCD
题号 11
答案 ABC
11．ABC
12．
13．
14．
15．
【详解】（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，
分别取中点，连接，
过点作，交于点.
则，
所以，
所以四棱台的表面积.
（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，
则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高.
则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，
高，则圆台的体积为．
又正四棱台的体积，
所以削去部分的体积，
所以削去部分与圆台的体积之比为；
16．
【详解】（1）已知，，，由余弦定理得：
因为所以由同角三角函数关系得：
的面积
（2）由正弦定理，且，，
代入得，约去（），解得．
则．
由余弦定理，代入，，
得：，
整理得，解得或．
当时，，则，，即，
此时，矛盾，舍去；
当时，，符合题意；
故．
17．
【详解】（1）因为
，
当时，，则.
令，解得，
所以的单调递增区间为；
（2）因为，所以
因为在区间上单调递增，且，在区间上单调递增，
所以，解得.
又，在区间上单调递增，
所以曲线关于对称，且点在曲线的递增部分上，
则，
又在处单调递增，所以，解得，
又，所以，则，
所以的最小正周期为.
18．
【详解】（1）由正弦定理得，即，
故，因为，所以，
所以.
（2）①由（1）知，因为的面积为，
所以，解得，
且，解得，由于，
所以
，所以，即.
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
得到，
由于，所以，
由二倍角公式得，则，解得，
又，所以，
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故.
19．
【详解】（1）不正确
证明：
因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，
所以，，
因为，所以，即，
则有，
所以“”的充要条件是“”，
所以“”的充要条件是“”是不正确的.
（2）因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由（1）知，
所以
.
令，则
因为，所以，则，
又，
即，
所以，.
已知恒成立，即对恒成立.
因为时，，所以对有解.
令，，单调递增，
当时，.
所以，即实数的取值范围是.
②
，
令，则
因为，所以，则，
又，
即，
则，.
因为，
所以当或时，方程有1个根，当时，方程对应2个根，当时，方程对应1个根，当时，方程对应2个根，
令，可得，
因为，所以方程有2个不等实根，又，
不妨设，又因为不满足方程，
所以可得，
令，则函数在和上单调递减，
如图，
由题意，可知
①与函数图象两支都相交，且交点横坐标分别在，，
所以，解得；
②，满足题意，此时；
③，满足题意，此时；
所以实数a的取值范围为.
答案第1页，共2页
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