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山东省临沂第一中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设，则z的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，为中点，点在上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．球面上有，，三点，，，球心到平面的距离是，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
8．在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体中存在“完美顶点”，，，，F为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知平面向量，则下列说法错误的是（）
A．当时，
B．当时，
C．当时，在方向上的投影向量为
D．若和的夹角为钝角，则的取值范围为
10．在中，，，，则（ ）
A． B．边上的中线长
C．边上的角平分线长 D．外接圆的面积为
11．如图，已知正方体的棱长为1，则下列结论中正确的是（ ）

A．若E是直线AC上的动点，则平面
B．若E是直线上的动点，F是直线BD上的动点，则
C．若E是内（包括边界）的动点，则直线与平面ABC所成角的正切值的取值范围是
D．若E是平面内的动点，则三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为______________海里．
13．华裔建筑师贝聿铭为卢浮宫设计的玻璃金字塔是一个底面边长为30米的正四棱锥，其四个玻璃侧面的面积约1500平方米，则塔高约为______米．
14．已知为复数，则的最小值为______．
四、解答题
15．在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：
顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米；
核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米.
(1)求灯笼总体积；（单位：分米）
(2)已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米）
16．如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.
(1)证明：平面
(2)求证：平面平面
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.
17．为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行m到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内．

(1)求古塔的高度；
(2)求三棱锥的体积；
(3)若从观测点沿的延长线向后退行20m到达点，求三棱锥的外接球的体积.
18．如图，在四边形中，，，，．
(1)求边的长度；
(2)求四边形的面积；
(3)求的值．
19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点．
(1)当为的中点时，求证：平面．
(2)若平面，
①试确定点的位置并说明理由；
②求三棱锥的体积．
试卷第1页，共3页
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《山东省临沂第一中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C C A B C C ABD BC
题号 11
答案 ABD
12．6
13．20
14．
15．
【详解】（1）已知正四棱台上底边长，下底边长，高，则，，
所以（分米3），
已知正四棱柱底面边长，高，则（分米3），
总体积：（分米3）.
（2）正四棱柱侧面为4个矩形，侧面积（分米2），
正四棱台侧面为4个全等等腰梯形，先求斜高： 正四棱台高为，等腰梯形上下底差的一半为，
由勾股定理得斜高，单个等腰梯形面积为，
因此正四棱台侧面积，
总面积（分米2）.
16．
【详解】（1）∵且，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，
所以平面.
（2）∵平面，平面，∴，
连接，∵且，∴四边形为平行四边形，
∵，，∴平行四边形为正方形，∴，
又，∴，
又，面，∴面，
∵面，∴平面平面.
（3）∵平面，平面，∴，
又，，平面，∴平面，
因为平面，∴
∴为二面角的平面角，从而，所以，
作于，连接，
∵平面平面，平面，平面平面，
∴面，所以为直线与平面所成角，
在直角中，，，，∴，
因为面，面，所以，
在直角中，，，
∴，
则直线与平面所成角的正切值为.
17．
【详解】（1）设，
在中，因为，故，同理，
在中，，由余弦定理得，，
即，整理得，解得或（负解舍去）.
所以古塔的高度为m.
（2）由（1）知，在中，，，，
所以.
所以三棱锥的体积.
（3）由于，故，
可以把三棱锥补形为以为棱的长方体，则三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，.
在中，，，所以，
所以长方体的外接球的半径，
故外接球体积为
18．
【详解】（1）因为，
．
，．
在中，，
．
（2）由（1）得，．
．
，
．
．
四边形的面积．
（3）在中，
，
．
由正弦定理，得，
．
19．.
【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，．
在中，为的中点，为的中点，
，．
在平行四边形中，为的中点，
，，
且，
四边形为平行四边形，
．
平面，平面，
平面．
（2）①如图，连接交于点，连接．
平面，平面，平面平面，
．
．
四边形是平行四边形，为的中点，
，
，
，即点为上靠近点的三等分点．
②在四边形中，，，，
．
取的中点，连接．
是正三角形，
，且．
平面平面，且平面平面，平面，
平面．
为上靠近点的三等分点，
点到平面的距离为．
三棱锥的体积．
答案第1页，共2页
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