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云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期数学期末市统测模拟试卷二
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，若，，则在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．2 B． C． D．
4．已知函数是奇函数，且，则的值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
5．已知，，则（）
A． B． C． D．
6．学校开展读书活动，要求每位同学从《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》四本中国名著中选不同的两本，《复活》《老人与海》两本外国名著中选一本，共选三本书进行阅读赏析，则甲、乙两人恰有两本书选择相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在三棱锥中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
8．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（ ）
附：若，则，，．
A．这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25
B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份
C．
D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布
10．已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象向左平移（）个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则的最小值是
D．若实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则
11．已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．存在点，使得
C．若，则外接圆的面积为
D．的最小值为
三、填空题
12．若的展开式中的系数为，则实数的值为__________.
13．圆内有一点，为过点的弦.当弦被点平分时，则直线的方程为______.
14．在中，角，，所对的边分别为，，，是的中点，若，且，则当取最大值时的周长为_________．
四、解答题
15．已知数列中，，，且数列为等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
16．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点

(1)证明：平面；
(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.
17．已知函数
（1）判断函数f(x)的单调性；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
18．甲、乙进行足球点球比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各射门一次，若轮比赛结束后，两人的进球数相差2，则停止比赛，进球数多的获胜；若4轮比赛后，两人的进球数相差小于2也停止比赛，进球数多的获胜，进球数相同则平局．甲、乙射门的命中率分别为0.5和0.8.每轮点球比赛的结果相互独立．
(1)求1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率；
(2)求甲、乙最终平局的概率；
(3)记甲、乙一共进行了轮比赛，求的分布列及期望．
19．如图，在正四棱柱中，，，将直线绕直线AD旋转一周，旋转后所得的图形与平面ABCD的交线为.
(1)E为上靠近的三等分点，求E绕直线AD旋转一周后所得图形的周长；
(2)在平面ABCD内以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
（ⅰ）求的轨迹方程；
（ⅱ）为平面ABCD内且不在上的定点，过P的直线l与有2个交点M、N，若M、N在直线AD的两侧，求的最小值（用m，n表示）.
试卷第1页，共3页
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《云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期数学期末市统测模拟试卷二》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D C D C A D BC BCD
题号 11
答案 ACD
12．.
13．
14．
15．【详解】（1）因为数列中，，，且数列为等差数列，
设数列的公差为，则，故，
所以，故.
（2）因为，
所以
，故原不等式成立.
16．(1)证明：取中点，连接，如图所示，
为中点，则，又，得，
由，，得，
所以四边形为平行四边形，，
又平面，平面，所以平面.
（2），易知，又，得.
由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有.
如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则有，，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，有，得，
，
设点到平面的距离为，
.
17．
【详解】解：（1）因为函数，所以的定义域为，，
当时，，在上单调递增；
当时，令，得，所以在（－∞，ln(-ɑ)）上单调递减；在（ln(-ɑ)，+∞）上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在（－∞，ln(-ɑ)）上单调递减；在（ln(-ɑ)，+∞）上单调递增.
（2）当时，，所以.
设，则，
当时，，在上单调递增，
所以，所以，
故.
由（1）可知，当时，在上单调递增，所以成立；
当时，在（ln(-ɑ)，+∞）单调递增，
所以成立；
当时，在上单调递减；
则有，不合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
18．【详解】（1）记1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率为，
由两人的进球数相同可以是或，
则.
（2）记一轮点球比赛后，甲比乙多进一个球的概率为，甲比乙少进一个球的概率为，．
因为甲、乙最终平局，所以甲、乙一定进行了4轮比赛，分三种情况：
①4轮比赛中，每轮比赛甲、乙的进球数均相同，其概率为．
②4轮比赛中，有2轮比赛甲、乙的进球数相同，有1轮比赛甲比乙多进一个球，有1轮比赛甲比乙少进一个球，其概率为．
③4轮比赛中，有2轮比赛甲比乙多进一个球，有2轮比赛甲比乙少进一个球，且前2轮比赛中甲或乙没有连续2轮比对方多进一个球，其概率为0.0064.
故甲、乙两人最终平局的概率为.
（3）的所有可能取值为2，3，4．
，
，
.
的分布列为
2 3 4
0.17 0.17 0.66
.
19．
【详解】（1）（ⅰ）点绕直线旋转一周所得图形为圆，过作，垂足为；
过作，垂足为，连接，
因为平面，平面，所以，
平面，
所以平面.因为平面，所以，
即到的距离为.
而，所以.
所以绕直线AD旋转一周后所得图形周长为.
（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
而为上任意一点，旋转后与平面的交点为，
设旋转过程中到的距离与到的距离相等且垂足相同.
到的距离为，到的距离为，
所以，整理得.
（ii）由题意知的斜率存在，设为，则 .
如图，作出符合题意的图形，设，.
联立 ，整理得.
根据韦达定理，.
在轴的两侧 ，即 .
，此时恒成立.
可得
，
代入韦达定理整理得 ，
而，
当最小时，，
即的最小值为.
答案第1页，共2页
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