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重庆市渝西中学2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，，，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为，则球心到该截面所在平面的距离为（ ）
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
4．已知直线，，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则，，共面 D．若，异面，，异面，则，异面
5．如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（ ）
A． B． C． D．
6．设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知中，，，则等于（ ）
A． B．或 C． D．或
8．已知正方体中，棱长为2，点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
二、多选题
9．已知复数满足，以下说法正确的有（ ）
A．
B．在复平面内对应的点在第一象限
C．
D．若是方程的一个根（），则
10．如图所示，线段是圆的弦，其中，，点为圆上任意一点，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值是48 D．当时，
11．在棱长为2的正方体中，点是正方体内及其表面上一动点，且面，则线段的长度可能是（ ）
A．2 B． C． D．
三、填空题
12．已知，，若，则________．
13．已知一个圆锥的底面直径等于母线长，侧面积为，则该圆锥的体积为________．
14．如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______．
四、解答题
15．已知，，且与的夹角为120°，求：
(1)；
(2)若向量与平行，求实数的值．
16．如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)求圆柱的外接球的表面积；
(3)证明：平面．
17．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论．
18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
(3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值．
19．中，角所对的边分别为．为边上的中线，点，分别为边上动点，交于．已知，且．
(1)求；
(2)设，若，求；
(3)在（2）的条件下，若，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《重庆市渝西中学2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B B C D C ABD ABC
题号 11
答案 CD
12．
13．
14．
15．
【详解】（1），
所以.
（2）由于向量与平行，
所以存在实数，使得，
所以，解得.
16．
【详解】（1）因为，所以圆柱的母线长为，底面半径为，
则圆柱的侧面积
（2）取的中点，连接，易求得，
即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为.
（3）取的中点．连接．因为为的中点，所以，
又，所以，所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，所以平面．
17．【详解】（1）取的中点，因为为中点，所以在 中， 为中位线，所以，，
所以为异面直线与所成角（或其补角），
在中，，，，
由余弦定理可得，又，
所以为锐角，所以异面直线与所成角的余弦值为.
(2)存在，当是棱中点时，平面，证明如下：
取中点，连接，，则，
因为平面，平面，所以平面，
在中，为中点，为中点，，
平面，平面，所以平面；，
所以平面平面，因为平面，所以平面.
18．【详解】（1）由正弦定理可得：，
因为，
所以，
即，
由可得，即，
由，可得.
（2）因为，
所以
，
由三角形为锐角三角形可知，，解得，
所以，，
所以.
（3）如图，
由余弦定理，，
即，当且仅当时，等号成立，
又，
化简可得，，
所以，当且仅当时等号成立.
故BD长度的最大值为.
19．【详解】（1）因为，
所以由正弦定理，
由余弦定理
因为，所以．
（2）因为为中点，所以，
所以
所以，
即，
解得或，
又，所以，所以的余弦值为．
（3）设
，
，
由三点共线，得，
，
，
所以
，
，
所以，所以．
所以．
所以的取值范围为．
答案第1页，共2页
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