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新人教版八下期末重难点题专练
一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知中，，，，点是的中点，将沿着直线翻折，使点翻折到点，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用直角三角形斜边中线定理求出长，结合翻折性质可知垂直平分，利用面积法求出到的距离，通过构造全等三角形和矩形求解的长．
【详解】解：如图，连接交直线于点，
过点作交直线于点，
为中点
由翻折性质可知，垂直平分
又
，解得
在中，
，
点，在直线异侧，点，关于直线对称
点，在直线同侧
，
四边形是平行四边形
又
四边形是矩形
．
2.甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离千米与甲车行驶的时间小时之间的函数关系如图所示．
则下列结论：
，两城相距千米；
乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；
乙车出发后小时追上甲车；
当甲、乙两车相距千米时，或．
其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】【分析】当不动时，距离千米，就是，两地的距离；甲匀速运动，走完全程用时小时，乙走完全程用时小时，确定甲，乙的函数解析式，求交点坐标；分甲出发，乙未动，距离为千米，甲出发，乙出发，且甲在前距离千米，甲在后距离千米，乙到大时距离为千米四种情形计算即可．
【详解】表示不动时，距离千米，就是，两地的距离，
正确；
甲匀速运动，走完全程用时小时，乙走完全程用时小时，
乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；
正确；
设，
，
解得，
；
设，
解得
；
解得，
，
乙车出发后小时追上甲车；
错误；
当乙未出发时，，
解得；
当乙出发，且在甲后面时，，
解得；
当乙出发，且在甲前面时，，
解得；
当乙到大目的地，甲自己行走时，，
解得；
错误；
故选．
【点睛】本题考查了函数的图像，一次函数的解析式确定，交点的意义，熟练掌握待定系数法，准确捕获图像信息是解题的关键．
3.如图，线段的长为，点在线段上运动，以为边长作等边三角形再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为连接，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接、、，根据等边三角形和正方形的性质证明，得出，从而确定点的运动轨迹是一条射线，根据垂线段最短，当时，最小，利用含角的直角三角形性质求解即可．
【详解】如图，连接、、，
为等边三角形，
，，
四边形为正方形，为对角线交点，
，
在和中，
，
，
点在过点且与成角的射线上运动，
根据垂线段最短可知，当时，线段的值最小，
在中，，，
，即线段的最小值为．
4.如图，已知点，，，是矩形 各边的中点， ， 动点从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点运动的路程为，过点作 于点，则 的面积关于的函数关系的图象如图所示，那么这条路径可能是图中的( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据点，，，是矩形 各边的中点， ， 得到 ， ，进而得到 ，点与点，点重合时，此时， 的面积都为，点与点，点时重合，此时， 的面积都为，由图得出始点面积为，当 和 时，面积都为，由此即可解答．
【详解】解： 点，，，是矩形 各边的中点， ， ．
， ，
，
如图，连接 ，
，
当点与点，点重合时，
此时， 三点在一条直线上，
的面积都为，
当点与点时重合，
此时，
的面积为 ，
当点与点时重合，
此时，
的面积为 ，
由图得出始点面积为，当 和 时，面积都为，
时， 的面积先增大后减小，
时，点运动的路径是 ，
点运动的路径是 ．
故选：．
5.如图所示，在、两地之间有一车站，甲车从地出发经站驶往地，乙车从地出发经站驶往地，两车同时出发，匀速行驶，图是甲、乙两车行驶时离站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论：的值为；的值；小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系为：；乙车到达地前，两车与车站的路程之和不超过时行驶时间的取值范围为其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】解：在、两地之间有一车站，甲车从地出发经站驶往地，乙车从地出发经站驶往地，两车同时出发，匀速行驶，
甲的速度，
的距离，故正确；
，
乙车速度，
，故错误；
设小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式，
把和代入可得，
解得，
函数关系式为，故正确；
当时，
甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为，
根据题意可得，
解得，
；
当时，
甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为，
根据题意可得，
解得，
，
综上所述，，故错误．
故选：．
先求出甲的速度，利用路程速度时间，可求的值，的值，的距离；利用待定系数法可求解析式；分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，根据图象得到信息，理解图象，求出甲，乙速度是本题的关键．
6.如图，矩形纸片中，，，点、分别在、上，将、分别沿、翻折，翻折后点与点重合，点与点重合．当、、、四点在同一直线上时，线段长为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：在矩形纸片中，，，
，，，
将沿翻折，翻折后点与点重合，
，，，
，
设，
，，
，
，
解得：，
，，
将沿翻折，翻折后点与点重合，
，，，
，
设，
则，
，
，
，
线段长为，
故选：．
根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，设，由勾股定理列方程得到，，由折叠的性质得到，，求得，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．
7.如图，正方形的边长为，，是对角线，将绕着点顺时针旋转得到，交于点，连接交于点，连接则下列结论：
四边形是菱形；的面积是；；其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：正方形的边长为，
，，，．
由旋转的性质可知：，，，，
，，，
和均为直角边为的等腰直角三角形，
．
在和中，
，
≌，
，，
，
．
，，，
且，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形是菱形，故正确；
，，
，
的面积，故正确；
四边形是菱形，
，故不正确；
四边形是菱形，
，
，故正确．
综上所述：正确的结论有．
故选：．
依据四边形为平行四边形，以及，即可得到平行四边形是菱形；依据，即可得到的面积；依据四边形是菱形，可得；根据四边形是菱形，可得，进而得到．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8.定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将，两点间距离的最小值称为点与图形的“点图距”如图，在等边三角形中，点的坐标为，点，在轴上．记动点与等边三角形的“点图距”为，则随变化的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意，分情况讨论：
I.当时，题中所求的“点图距”为的长度，；
当时，有三种情况：是等边三角形，，点的坐标为，，．
如图，过点作于点．
当时，，．
，，，
此时动点与等边三角形的“点图距”，
当时，，
动点与等边三角形的“点图距”为的长度，；
当时，，
动点与等边三角形的“点图距”为的长，，
；
当时，动点与等边三角形的“点图距”为的长度，
故符合题意的是选项．
二、填空题：本题共10小题，共28分。
9.如图，正方形边长为，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连接，周长的最小值为 ．
【答案】
【解析】过作交于，连结、，证四边形为矩形，得，据此知，再求出，当时，取得最小值，此时，从而得出答案．
【详解】解：过作交于，连结、，如图所示：
，，
，
，
，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
，
在中，，则由勾股定理可得，
当时，取得最小值此时，
周长的最小值，
故答案为：．
本题主要考查轴对称最短路线问题，涉及等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称最短路线问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质及轴对称的性质．
10.某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲款机器人先从起点匀速出发，几分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲，追上后以原速度返回起点．甲款机器人被追上后以原速度的倍继续走向终点．在整个过程中，甲、乙两款机器人之间的距离与甲款机器人行走时间之间的函数关系如图所示．
下列结论中，正确的有 填序号
甲款机器人出发后，乙款机器人追上甲；乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为；点的坐标为；甲款机器人到达终点用了
【答案】
【解析】过作轴于点，由图可得，当时，甲、乙两款机器人之间的距离，可判断；根据题意和图象可得，乙款机器人追及和返回的时间均为，进而得到甲款机器人出发分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲，设乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为，得到，结合题意和象列方程求出、，可判断；进而乙款机器人追上甲款机器人前，甲、乙两款机器人之间的距离，可判断；
求出乙款机器人追上甲款机器人后，甲款机器人所用的时间，即可判断．
【详解】解：如图，过作轴于点，
由图可得，当时，甲、乙两款机器人之间的距离，
甲款机器人出发后，乙款机器人追上甲，故正确；
乙款机器人出发匀速追赶甲，追上后以原速度返回起点，
乙款机器人追及和返回的时间均为，
，即甲款机器人出发分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲，
设乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为，
，
，
，
，
解得，
，故错误；
乙款机器人追上甲款机器人前，甲、乙两款机器人之间的距离为，即，
点的坐标为，故错误；
乙款机器人追上甲款机器人后，甲款机器人所用的时间为，
甲款机器人到达终点用了，故正确；
故答案为：．
11.如图，在边长为的正方形中，点是对角线延长线上一点，，连接．
线段的长为 ；
过点作与的延长线相交于点，点是的中点，则的长为 ．
【答案】(1)
(2) /
【解析】
本题考查了正方形的性质，求正比例函数解析式，两点间距离公式，勾股定理等知识点，建立平面直角坐标系是解题的关键．
建立如图示，平面直角坐标系，连接，则，可求直线解析式，设，由，结合两点间距离公式建立方程求出，即可求解，
【详解】解：建立如图示，平面直角坐标系，连接，
四边形是边长为的正方形，
，
设直线解析式：，
则代入点得到：，
解得：，
直线解析式：，
设，
，
，
，
，
；

设，由得到，由两点间距离公式建立方程求出，则，再由中点坐标公式求解得到，最后由两点间距离公式即可求解．
设，
，
，
，
解得：，
，
点是的中点，
，
，
12.如图，在矩形中，动点从点出发，沿的路径匀速运动到点处停止．设点运动路程为，的面积为，表示与的函数关系的图象如图所示；则下列结论：；；当时，点运动到点处；当时，点在线段或上，其中所有正确结论的序号的是 ．
【答案】
【解析】先结合图由图为等腰梯形可得的值，则可求得与的值；再根据三角形的面积公式可得的值；然后结合图形可知当时，点运动到点处；最后根据图及图中的值，可得当时，点在线段或上，从而问题得解．
【详解】解：动点从点出发，沿的路径匀速运动，
图为等腰梯形，
，故正确；
，
在矩形中，，
，故错误；
点运动的路程为，当时，
，
时，点运动到点处，故正确；
，
在图中等腰梯形的两腰上分别存在一个值等于，
结合图可知，当时，故正确；
综上，正确的有：．
故答案为：．
13.如图，菱形的对角线相交于点，为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】【分析】连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，如图所示，

四边形是菱形，
，，，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
当取最小值时，的值最小，
当时，最小，即的值最小，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
14.如图，四边形是矩形，，以点为坐标原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，点为线段上一动点，连接，将沿折叠，使点的对应点落在的三等分点处，此时点的坐标为 ．
【答案】或
【解析】解：四边形是矩形，，以点为坐标原点，边所在直线为轴，
由题意可得：，，，，
由折叠得，
当时，，
由勾股定理得，
；
当时，
，
．
故答案为：或．
分两种情况：当时，，根据勾股定理求出即可；当时，根据勾股定理求出即可．
本题考查翻折变换，正确进行计算是解题关键．
15.一次函数，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ．
【答案】
【解析】解：当时，；当时，，
当时，的最大值与最小值的差为，
，
解得．
故答案为：．
把及代入求出的表达式，由的最大值与最小值的差为即可得出结论．
本题考查的是一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
16.如图，在中，，，，是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长等于 ．
【答案】
【解析】解：，，，
，
由折叠的性质得：，，，
，，
设，则，
在中，，即，
解得，
即的长为，
故答案为：．
先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，，从而可得，设，从而可得，然后在中利用勾股定理即可得．
本题考查了勾股定理与折叠的性质，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题关键．
17.如图，在菱形中，，，线段点在点的左侧在直线上移动，且，当为直角三角形时，的长为 ．
【答案】或或
【解析】连接，先根据菱形的性质得，，，由角的性质求出然后分三种情况求解即可．
【详解】解：如图，连接，与交于点，
在菱形中，，
，，．
，
，
．
当即点与点重合时，如图，
．
当即点与点重合时，如图，
当时，如图，
设，则，
是直角三角形，
，
，
，
解得，
，
综上可知，的长为或或．
18.如图，正方形的顶点，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形按照这样的规律，则点的坐标为
【答案】
【解析】连接，，，，根据已知可得，即可得，然后根据正方形的性质可得，，从而求出点的坐标，同理可求得点，，的纵坐标，通过数字规律得到的纵坐标，结合直线的解析式求解．
【详解】解：连接，，，，
，，
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
点的坐标为，
，
，
同理可得：，
点、、、的纵坐标分别是：、、、，
以此类推，
点的纵坐标为，
又，，则直线的解析式为，
当时，即，解得，
故点的坐标为．
三、解答题：本题共17小题，共185分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
在平面直角坐标系中，为原点，菱形的顶点，，，矩形的顶点．
填空：如图，边长为______，对角线长为______，______度，______度，点的坐标为______，点的坐标为______；
将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，，设，矩形与菱形重叠部分的面积为．
如图，当边与相交于点、边与相交于点，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
在矩形沿水平方向向右平移的整个过程中，求最大值直接写出结果即可．
【答案】 的取值范围是；
【解析】解：四边形是矩形，且点．
，，
；
连接，，交于一点，如图所示：
四边形是菱形，且，，，
，，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，，，，，；
解：点，点，点，
矩形中，轴，轴，，，
矩形中，轴，轴，，，
由点，点，得，，
在中，，得，
在中，由，，得，
，同理，得，
，得矩形，
又，
，
当时，则矩形和菱形重叠部分为，
的取值范围是；
由及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，
当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：
此时面积最大，最大值为．
根据矩形及菱形的性质可进行求解；
由题意易得，，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解面积；
由及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的．
本题是四边形的综合题，主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标是解题的关键．
20.本小题分
下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证提示：取的中点，连接
请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：______；
如图，若点是边上任意一点不与、重合，其他条件不变求证：；
在的条件下，连接，过点作，垂足为设，当四边形是平行四边形时，求为何值．
【答案】 取，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
≌，

【解析】解：点为的中点，
，
点为的中点，
，
，
故答案为：；
证明：取，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
解：时，四边形是平行四边形，如图，
由知，≌，
，
设，则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得．
根据点为的中点，可得答案；
取，连接，首先说明是等腰直角三角形，再证明≌，可得答案；
设，则，则，，再利用等腰直角三角形的性质表示的长，利用平行四边形的判定可得只要，即可解决问题．
本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，取，证明≌是解题的关键．
21.本小题分
阅读下列材料并解决问题：
如图，有一张边长为的正方形纸片，其对角线、交于点，将该纸片进行一系列操作后，可以得到钻石型五边形如图，数据如图所示．
操作
小德在边上取两点、，在边上取两点、，使，小德沿虚线，裁剪，如图，将该纸片剪成，，三块，再按照图所示进行拼接．根据小德的剪拼过程，解答问题：
线段的长为 ；
图中所有与线段相等的线段有_____________，请求出线段的长．
操作
小胜说：将图所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你借助无刻度直尺和圆规，按照小胜的说法设计一种方案：在图所示纸片的边上找一点，在纸片的另一边上找一点，画出裁剪线的位置，此时，线段_____________．
【答案】(1)1
(2)解：由（1）得，
，
，，
，
∴与相等的线段有；

(3)解：根据题意可知，需要裁剪出一个两直角边为，斜边为2 的等腰直角三角形来填补在等腰的位置，
如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，
此时，符合要求，
或以为圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，
此时，
，
综上：的长为或．

【解析】
如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可；
解：在正方形中，，
，
，
，
如图，过作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
，
由拼接可得：，，
由正方形的性质可得：，
为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
设，
，
，
正方形的边长为，
正方形的对角线的长为，
，
，
解得，
．
根据所求求出的长即可得到答案；
以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以为圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可．
22.本小题分
已知四边形是边长为的正方形，点为平面内一点，且满足．
如图，点在正方形内部，，点是上一点，连接，当时，延长交于点．
依题意补全图形；
求的面积用含的式子表示
正方形对角线与交于点，点，是线段上的两个动点，且满足，连接，，当取最大值时，直接写出的最小值．
【答案】(1)①解：如图形所示，首先连接,作的垂直平分线，交于点，由垂直平分线的性质可知；然后延长交于点即可；

②解：如图1，连接，过点作，分别交,于,，过点作，分别交于．
在中，，，
则．
，
在中，，
．
四边形为正方形，，，
四边形，，，均为矩形，
，，，
．
在中，，，
则，
．
在和中，
，
．
在和中，
，
，
．
在中，，，
，
，
．
，
即，
.
，
；

(2)如图2，取中点，连接,，
则．
根据构成三角形的条件，则，
当，，在同一条直线上时，取得最大值，最大值为，如图3所示．
过点作，且使，连接，，．
四边形为正方形，，
，
．
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
根据两点之间线段最短，则，
与重合时，取得最小值，最小值为．
，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
，
，即的最小值为．

【解析】
对于一些几何问题，我们可以先通过合理的猜想找到问题的突破点；对于一些典型的最值问题，要熟练掌握它的适用场景，切不可张冠李戴．
根据题目要求，利用垂直平分线的性质作图即可；
解决本题的关键是求出，观察图形可以猜想出是的中点，由此出发，结合已知条件，则应有，进而想到连接，过点作，分别交，于，，过点作，分别交于，然后结合求解即可；
首先确定取最大值时点的位置，由于分别是和的直角顶点，因此取中点，连接，，根据构成三角形的条件即可确定点的位置；然后确定的最小值，由可知为定值，因此过点作，且使，继而把和转化为两条首尾相接的线段，利用两点之间线段最短即可求解．
23.本小题分
【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点，．

【问题解决】：
如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ；
若，如图，得到此时与重合，延长交于点，
试判断四边形的形状，并说明理由；
连接，求的长；
在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．
【答案】(1)
(2)①四边形是正方形，
理由如下：由旋转的性质得：，，，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；

②过点作于点，如图所示：

则，
，
，
在和中，
，
，
，，
∴，
，

(3)解：∵点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，
的最小值为，
当落在的延长线上时，，
最长，
线段长度的取值范围是

【解析】
本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键．
由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解；
解：，，，
，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转的性质得：，
；
由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；过点作于点，证，得，，再由勾股定理求解即可；
当点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，即可得出答案．
24.本小题分
在正方形 中，是边 上的一个动点不与点，重合，连接 ，为点关于直线 的对称点．
连接 ，作射线 交射线 于点，依题意补全图．
若 ，求 的大小用含 的式子表示；
用等式表示线段 ， 和 之间的数量关系，并证明；
已知 ，连接 ，若 ，，是正方形 的对角线 上的两个动点，且 ，连接 ， ，直接写出 的最小值．
【答案】(1)解：补全图形如下：
①∵点P与点B关于直线 对称
∴ 垂直平分 ， ，且 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
②过点A作 于点G，如下图，则，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
由①可知， ， ，
∴
∴ ，
∴
在 中， ，
∴ ，
即 ．

(2)由对称性得 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 .
∴E为 的中点，
∵ ，
∴ ，
过点A作 ，且 ，
则四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ 的最小值就等于 ，
∴当点G，M，E三点共线时， 取最小值，

∵ ，
∴ ，
过点G作 交 于点Q，作 交 延长线于点H，
则四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
则 的最小值为 ．

【解析】
本题主要考查轴对称的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟悉正方形和等腰三角形的性质，作出辅助线和利用动态的思想找到对应的最小值．
根据题意补全图形，由轴对称的性质可得出 ，由正方形的性质可得出 ， ，由三角形内角和定理即可得出
过点作 于点，则 ，由等腰三角形三线合一的性质可得出 ，由可知， ， ，即可求出 ，进一步可得出 ，由勾股定理可得出 ，由线段的和差关系可得出 ，变形即可得证．
由对称得 ， ，结合等腰三角形的性质得点为 的中点，过点作 ，且 ，则四边形 为平行四边形，那么 的最小值就等于 ，当点，，三点共线时， 取最小值，由题意得 ，过点作 交 于点，作 交 延长线于点，则四边形 为矩形，有 ， ，求得 ，对应有 ， ，利用勾股定理求得 ，即可求得 的最小值．
25.本小题分
阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
例如：当时，求的最小值．
解：，又
，，当时取等号．的最小值为．
请利用上述结论解决以下问题：
当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ．
当时，求的最小值．
请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙墙足够长，另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
【答案】(1)6
;
(2)解：，
，
，
又，
，当且仅当时取等号，
的最小值为，
的最小值为，
即的最小值为；

(3)解：根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米，
，
，
又，
，当且仅当时取等号，
的最小值为60，
即需要用的篱笆最少是60米．

【解析】
本题考查了配方法的应用，二次根式的应用，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据例题中的公式计算即可；
【详解】解：，
，
又，
，当且仅当时取等号．
的最小值为；
，
，
，
又，
，当且仅当时取等号．
，
的最大值为．
故答案为：；；

先化简，再运用公式计算即可；

由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可．
26.本小题分
【实践探究】下面是小明同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
准等距点定义：四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两个端点距离不相等，但到另一条对角线的两个端点的距离相等，那么称这个点为“准等距点”如图，在四边形中，点是对角线上的一点，，且，则点就是一个“准等距点”． 根据“准等距点”的定义，我猜想菱形一定有“准等距点”． 例题：如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，则点是一个“准等距点”下面是我的证明过程： 证明：连接． 因为四边形是菱形，所以． 因为点在上，所以 又因为，所以点是一个“准等距点”． 随后，我又进一步思考，如何找到四边形的“准等距点”呢？
任务如图，请用尺规作出四边形的一个“准等距点”要求：不写作法，保留作图痕迹．
任务已知一个四边形，对角线于点，且，，四边形的面积为若四边形存在“准等距点”，直接写出的长度．
任务如图，在四边形中，是上的点，，延长交于点，延长交于点，且试说明点是四边形的准等距点．
任务试研究以下四边形的“准等距点”个数的情况．
若对角线垂直但互相不平分，则“准等距点”的个数为 个；
若对角线互相平分但不垂直，则“准等距点”的个数为 个；
若对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一条对角线时，则“准等距点”的个数为 个；
若对角线既不垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一条对角线的中点，则“准等距点”的个数为 个；
若对角线既不垂直，又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点，则“准等距点”的个数为 个．
【答案】(1)解：如图，所作点即为四边形的一个“准等距点”；

(2)解：对角线于点E，且，四边形的面积为36，
∴，
即，
，
四边形存在“准等距点”，
垂直平分，
．

(3)证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴点P是四边形的准等距点．

(4)0;0;
无数
;1;2
【解析】
连接，作线段的垂直平分线交于点，所作点即为四边形的一个“准等距点”；
根据四边形对角线互相垂直推出，再结合“准等距点”定义推出垂直平分，进而即可求出的长度．
先证明，得到，进而得到，再证明，得到即可；
根据新定义，逐一进行判断即可．
解：由新定义可知，点为四边形其中一条对角线的垂直平分线与另一条对角线的交点，且该交点不是另一条对角线的中点；
若对角线垂直但互相不平分，则其中一条对角线的中垂线与另一条对角线平行，不存在交点，即不存在准等距点”，故“准等距点”的个数为个；
若对角线互相平分但不垂直，则其中一条对角线的中垂线与另一条对角线的交点即为两条对角线的交点，此时，该点到两条对角线的两个端点的距离均相等，故不存在准等距点”，“准等距点”的个数为个；
若对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一条对角线时，则其中一条对角线是另一条对角线的中垂线，则该对角线上的点到另一条对角线的两个端点的距离相等，且存在无数个点到这条对角线上的两个端点的距离不相等，故“准等距点”的个数为无数个；
若对角线既不垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一条对角线的中点，则这个中点到两条对角线的两个端点的距离均相等，故该条对角线上不存在“准等距点”，另一条对角线上存在个点，到另一条对角线的两个端点的距离相等，且到该对角线的两个端点的距离不相等，故“准等距点”的个数为个；
若对角线既不垂直，又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点，则每条对角线上都存在个点，到另一条对角线的两个端点的距离相等，且到该对角线的两个端点的距离不相等，故“准等距点”的个数为个．
27.本小题分
如图，已知正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，且一次函数的图象经过点，分别交轴，轴于点，．
求正比例函数、一次函数的解析式；
求的面积．
【答案】正比例函数，一次函数
【解析】解：由条件可得，
，
正比例函数；
将，代入得，
解得，
一次函数；
当时，，
，即，
，，
的面积．
利用待定系数法求解；
首先求出，然后利用三角形面积公式求解．
本题考查了两条直线相交或平行问题，熟练掌握该知识点是关键．
28.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点，的坐标分别为，，动点从点沿以每秒个单位的速度运动；动点从点沿以每秒个单位的速度运动．，同时出发，设运动时间为秒．
在时，点坐标______，点坐标______；
当为何值时，四边形是矩形？
运动过程中，四边形能否为菱形？若能，求出的值；若不能，说明理由．
【答案】 ；
当四边形是矩形时，，
，
解得秒，
故秒时，四边形是矩形；
存在秒时，四边形为菱形．
理由如下：四边形是平行四边形时，，
，
解得：秒，
此时，
过点作于，则四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
平行四边形是菱形，
故存在秒时，四边形为菱形．
【解析】【分析】
本题主要考查了四边形综合以及矩形的性质，平行四边形与菱形的关系、勾股定理等知识，根据矩形、菱形与平行四边形的联系列出方程是解题的关键．
根据点、的坐标求出、、，然后根据路程速度时间求出、，再求出，然后写出点、的坐标即可；
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，当时，四边形是矩形，然后列出方程求解即可；
先求出四边形是平行四边形的值，并求出的长度，然后过点作于，得到四边形是矩形，根据矩形的对边相等可得，，然后求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行验证．
【解答】
解：，，
，，，
当时，，
，
，
点，；
故答案为：；；
29.本小题分
阅读材料对于直角三角形我们有如下结论：
直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
即：如图，在中，，若，
则．
请根据以上材料，解决下列问题：
如图，在菱形中，，是线段上的动点点不与点重合，在的右上方作菱形，且，连接，．
当点与点重合时，______度．
当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？请说明理由．
交于点，当点是的中点时，求证：点是的中点．
【答案】 的大小不发生变化；理由如下：
如图，在上截取，则．
，
，
，
又，，
，
在菱形中，，
≌，
，
在菱形中，，，
，
由可得，，，，，≌，
如图，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，
．
是的中点，
设．
在中，，
，
由勾股定理可得：，
，
，
，
，
，
在中，，
由勾股定理可得：，
，即是的中点，
取的中点，连接，则，
，且在上，
点与点重合，
点是的中点
【解析】解：在菱形中，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
解：的大小不发生变化；理由如下：
如图，在上截取，则．
，
，
，
又，，
，
在菱形中，，
≌，
，
在菱形中，，，
，
；
证明：由可得，，，，，≌，
如图，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，
．
是的中点，
设．
在中，，
，
由勾股定理可得：，
，
，
，
，
，
在中，，
由勾股定理可得：，
，即是的中点，
取的中点，连接，则，
，且在上，
点与点重合，
点是的中点．
根据菱形的性质，求出的度数，利用角的和差关系即可得出结果；
在上截取，证明≌，得到，再利用角的和差关系进行求解即可；
延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，根据菱形的性质，结合含度角的直角三角形的性质，推出为的中点，取的中点，连接，中位线定理得到，又，得到，重合，即可得出结论．
本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
30.本小题分
如图，在中，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向右运动，当点与点重合时，停止运动设点的运动时间为秒，连接．
当秒时，求的长；
如图，将沿直线折叠，使得点的对应点恰好落在边上，求此时的值．
【答案】解：由题意得：，
，
，
，
的长度为；
在中，，，
，
≌，
，，，
，
，
根据勾股定理可得：
，则，
；
此时的值；
【解析】根据条件求出，在中，用勾股定理即可求出；
折叠性质可知：≌，进而求出，然后根据列方程即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及二次根式的性质，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．
31.本小题分
已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒
当为何值时，四边形是平行四边形？
在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
在线段上有一点，且，当运动______ 秒时，四边形的周长最小，并画图标出点的位置．
【答案】解：四边形为矩形，，，
，，
点是的中点，
，
由运动知，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；
当点在的右边时，如图，
四边形为菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
；
，
，
当点在的左边且在线段上时，如图，
同的方法得出 ，
，
当点在的左边且在的延长线上时，如图，
同的方法得出，，
，
如图，
由知，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形的周长为
，
最小时，四边形的周长最小，
作点关于的对称点，连接交于，
，
，
，
，
．
【解析】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，解的关键是求出的值，解的关键时分类讨论的思想，解的关键是找出点的位置，是一道中等难度的中考常考题．
先求出，进而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论；
分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点的位置，再用三角形的中位线得出，进而求出，即可得出结论．
32.本小题分
定义：如果一个三角形存在两边的平方和等于第三边平方的倍，我们称此三角形为“三倍平方三角形”．
若一个三角形的三边长分别是，，，这个三角形是“三倍平方三角形”吗？请判断并说明理由．
若一个直角三角形是“三倍平方三角形”，且其中一条直角边长为，求该直角三角形的另外两条边长．
【答案】(1)解：这个三角形是“三倍平方三角形”
理由：，，
，
这个三角形是“三倍平方三角形”；

(2)解：设直角三角形的另一条直角边长为，斜边长为，根据题意有．
∵直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，
两条直角边的平方和不可能等于斜边平方的3倍．
分两种情况讨论．
①当时，即，
，；
②当时，即，
，．
综上所述，该直角三角形的另外两条边长分别为2，．

【解析】
根据“三倍平方三角形”的定义判断；
设直角三角形的另一条直角边长为，斜边长为，根据勾股定理得到，然后根据“三倍平方三角形”的定义分两种情况讨论求解．
33.本小题分
综合与实践
如图，在菱形中，，对角线，的交点为，是对角线上一动点，点在的延长线上，且．
特例研究如图，当点与点重合时，探究线段与的大小关系，请你直接写出结论： 填“”“”或“”
类比探究如图，当为线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸如图，菱形的边长为，点与点重合．若，分别在射线，射线上，且，，请直接写出线段的长．
【答案】(1)=
(2)解：，理由如下：
四边形是菱形，，
，，
为等边三角形，
，
在上截取，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；

(3)解：四边形是菱形，边长为，，
是等边三角形，
，
是中点，
，
在上截取，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
①如图，点在线段的延长线上．
，点在延长线上，
，
，，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
如图，点在线段上．
菱形边长为，是等边三角形，
，
，点在线段上，
，
为等边三角形，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
．

【解析】
利用菱形性质、推出是等边三角形；结合与重合、，得到等腰，算出底角；再由菱形对角线平分内角，得，等角对等边证；
【详解】解：四边形是菱形，，
，菱形对角线互相垂直平分，
是等边三角形，
，，
是中点，
，
，点与点重合，
，
，
是等腰三角形，
，
是的外角，
，
，
菱形对角线平分一组内角，
，
，
；

先由菱形和条件，判定为等边三角形；用截长补短法在上截取，构造等边；利用等量代换证出两组边相等、两角都是，用证三角形全等，推出；

先由菱形边长、，得等边，求出；截取线段构造等边，造出等角和相等线段；然后分在延长线上、在线段上两种情况；利用角的和差找相等角，证全等，求出，再算出结果．
34.本小题分
我们定义：把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“亮点”，例如求一次函数的“亮点”，联立，得方程组，解得，则一次函数的“亮点”为．
求一次函数的“亮点”；
若一次函数的“亮点”为，求，的值．
【答案】(1)联立方程组，
，
解得：，
，
亮点为；

(2)亮点在上，
，
亮点在上，
，
由得：，
，
将代入中得：，
，
，．

【解析】
本题考查一次函数与正比例函数交点问题，准确计算是解题的关键．
通过联立一次函数和，解方程组求交点；

利用“亮点”在上和在一次函数上建立方程求解；
35.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，点是直线上的一个动点，且点不与点重合，连接，设点的纵坐标为，的面积为．
求、的值；
点的坐标为 ；
求与之间的函数关系式；
当时，以点为直角顶点作等腰直角，直接写出点的坐标．
【答案】(1)解：把代入得：
，解得，
∴k的值为，b的值为1；

(2)
(3)解：当，即P在D下方时，，
∴，
当，即P在D上方时，，
∴，
∴；

(4)解：设，
∵，
∴或，
解得或，
①当时，P的坐标为，
∵，
∴，
∵以点B为直角顶点作等腰直角，
∴，
∴，
解得或，
∴或；
②当时，P的坐标为，
∵，
∴，
∵以点B为直角顶点作等腰直角，
∴，
∴，
解得或，
同理可得或；
综上所述，C的坐标为或或或．

【解析】
利用待定系数法解答，即可求解；
在中，令可得；
解：过点作平行于轴的直线，交直线于点，
，
由可得直线解析式为，
令得，
点的坐标为；
故答案为：；
当，即在下方时，，当，即在上方时，，即可求解；
设，根据，可得或，然后分两种情况，结合勾股定理解答，即可求解．
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第1页，共1页新人教版八下期末重难点题专练
一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知中，，，，点是的中点，将沿着直线翻折，使点翻折到点，则的长为( )
A. B. C. D.
2.甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离千米与甲车行驶的时间小时之间的函数关系如图所示．
则下列结论：
，两城相距千米；
乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；
乙车出发后小时追上甲车；
当甲、乙两车相距千米时，或．
其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.如图，线段的长为，点在线段上运动，以为边长作等边三角形再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为连接，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
4.如图，已知点，，，是矩形 各边的中点， ， 动点从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点运动的路程为，过点作 于点，则 的面积关于的函数关系的图象如图所示，那么这条路径可能是图中的( )
A. B.
C. D.
5.如图所示，在、两地之间有一车站，甲车从地出发经站驶往地，乙车从地出发经站驶往地，两车同时出发，匀速行驶，图是甲、乙两车行驶时离站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论：的值为；的值；小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系为：；乙车到达地前，两车与车站的路程之和不超过时行驶时间的取值范围为其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.如图，矩形纸片中，，，点、分别在、上，将、分别沿、翻折，翻折后点与点重合，点与点重合．当、、、四点在同一直线上时，线段长为( )
A. B. C. D.
7.如图，正方形的边长为，，是对角线，将绕着点顺时针旋转得到，交于点，连接交于点，连接则下列结论：
四边形是菱形；的面积是；；其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
8.定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将，两点间距离的最小值称为点与图形的“点图距”如图，在等边三角形中，点的坐标为，点，在轴上．记动点与等边三角形的“点图距”为，则随变化的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，共28分。
9.如图，正方形边长为，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连接，周长的最小值为 ．
10.某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲款机器人先从起点匀速出发，几分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲，追上后以原速度返回起点．甲款机器人被追上后以原速度的倍继续走向终点．在整个过程中，甲、乙两款机器人之间的距离与甲款机器人行走时间之间的函数关系如图所示．
下列结论中，正确的有 填序号
甲款机器人出发后，乙款机器人追上甲；乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为；点的坐标为；甲款机器人到达终点用了
11.如图，在边长为的正方形中，点是对角线延长线上一点，，连接．
线段的长为 ；
过点作与的延长线相交于点，点是的中点，则的长为 ．
12.如图，在矩形中，动点从点出发，沿的路径匀速运动到点处停止．设点运动路程为，的面积为，表示与的函数关系的图象如图所示；则下列结论：；；当时，点运动到点处；当时，点在线段或上，其中所有正确结论的序号的是 ．
13.如图，菱形的对角线相交于点，为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，则的最小值为 ．
14.如图，四边形是矩形，，以点为坐标原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，点为线段上一动点，连接，将沿折叠，使点的对应点落在的三等分点处，此时点的坐标为 ．
15.一次函数，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ．
16.如图，在中，，，，是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长等于 ．
17.如图，在菱形中，，，线段点在点的左侧在直线上移动，且，当为直角三角形时，的长为 ．
18.如图，正方形的顶点，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形按照这样的规律，则点的坐标为
三、解答题：本题共17小题，共185分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
在平面直角坐标系中，为原点，菱形的顶点，，，矩形的顶点．
填空：如图，边长为______，对角线长为______，______度，______度，点的坐标为______，点的坐标为______；
将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，，设，矩形与菱形重叠部分的面积为．
如图，当边与相交于点、边与相交于点，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
在矩形沿水平方向向右平移的整个过程中，求最大值直接写出结果即可．
20.本小题分
下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证提示：取的中点，连接
请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：______；
如图，若点是边上任意一点不与、重合，其他条件不变求证：；
在的条件下，连接，过点作，垂足为设，当四边形是平行四边形时，求为何值．
21.本小题分
阅读下列材料并解决问题：
如图，有一张边长为的正方形纸片，其对角线、交于点，将该纸片进行一系列操作后，可以得到钻石型五边形如图，数据如图所示．
操作
小德在边上取两点、，在边上取两点、，使，小德沿虚线，裁剪，如图，将该纸片剪成，，三块，再按照图所示进行拼接．根据小德的剪拼过程，解答问题：
线段的长为 ；
图中所有与线段相等的线段有_____________，请求出线段的长．
操作
小胜说：将图所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你借助无刻度直尺和圆规，按照小胜的说法设计一种方案：在图所示纸片的边上找一点，在纸片的另一边上找一点，画出裁剪线的位置，此时，线段_____________．
22.本小题分
已知四边形是边长为的正方形，点为平面内一点，且满足．
如图，点在正方形内部，，点是上一点，连接，当时，延长交于点．
依题意补全图形；
求的面积用含的式子表示
正方形对角线与交于点，点，是线段上的两个动点，且满足，连接，，当取最大值时，直接写出的最小值．
23.本小题分
【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点，．

【问题解决】：
如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ；
若，如图，得到此时与重合，延长交于点，
试判断四边形的形状，并说明理由；
连接，求的长；
在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．
24.本小题分
在正方形 中，是边 上的一个动点不与点，重合，连接 ，为点关于直线 的对称点．
连接 ，作射线 交射线 于点，依题意补全图．
若 ，求 的大小用含 的式子表示；
用等式表示线段 ， 和 之间的数量关系，并证明；
已知 ，连接 ，若 ，，是正方形 的对角线 上的两个动点，且 ，连接 ， ，直接写出 的最小值．
25.本小题分
阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
例如：当时，求的最小值．
解：，又
，，当时取等号．的最小值为．
请利用上述结论解决以下问题：
当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ．
当时，求的最小值．
请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙墙足够长，另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
26.本小题分
【实践探究】下面是小明同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
准等距点定义：四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两个端点距离不相等，但到另一条对角线的两个端点的距离相等，那么称这个点为“准等距点”如图，在四边形中，点是对角线上的一点，，且，则点就是一个“准等距点”． 根据“准等距点”的定义，我猜想菱形一定有“准等距点”． 例题：如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，则点是一个“准等距点”下面是我的证明过程： 证明：连接． 因为四边形是菱形，所以． 因为点在上，所以 又因为，所以点是一个“准等距点”． 随后，我又进一步思考，如何找到四边形的“准等距点”呢？
任务如图，请用尺规作出四边形的一个“准等距点”要求：不写作法，保留作图痕迹．
任务已知一个四边形，对角线于点，且，，四边形的面积为若四边形存在“准等距点”，直接写出的长度．
任务如图，在四边形中，是上的点，，延长交于点，延长交于点，且试说明点是四边形的准等距点．
任务试研究以下四边形的“准等距点”个数的情况．
若对角线垂直但互相不平分，则“准等距点”的个数为 个；
若对角线互相平分但不垂直，则“准等距点”的个数为 个；
若对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一条对角线时，则“准等距点”的个数为 个；
若对角线既不垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一条对角线的中点，则“准等距点”的个数为 个；
若对角线既不垂直，又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点，则“准等距点”的个数为 个．
27.本小题分
如图，已知正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，且一次函数的图象经过点，分别交轴，轴于点，．
求正比例函数、一次函数的解析式；
求的面积．
28.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点，的坐标分别为，，动点从点沿以每秒个单位的速度运动；动点从点沿以每秒个单位的速度运动．，同时出发，设运动时间为秒．
在时，点坐标______，点坐标______；
当为何值时，四边形是矩形？
运动过程中，四边形能否为菱形？若能，求出的值；若不能，说明理由．
29.本小题分
阅读材料对于直角三角形我们有如下结论：
直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
即：如图，在中，，若，
则．
请根据以上材料，解决下列问题：
如图，在菱形中，，是线段上的动点点不与点重合，在的右上方作菱形，且，连接，．
当点与点重合时，______度．
当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？请说明理由．
交于点，当点是的中点时，求证：点是的中点．
30.本小题分
如图，在中，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向右运动，当点与点重合时，停止运动设点的运动时间为秒，连接．
当秒时，求的长；
如图，将沿直线折叠，使得点的对应点恰好落在边上，求此时的值．
31.本小题分
已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒
当为何值时，四边形是平行四边形？
在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
在线段上有一点，且，当运动______ 秒时，四边形的周长最小，并画图标出点的位置．
32.本小题分
定义：如果一个三角形存在两边的平方和等于第三边平方的倍，我们称此三角形为“三倍平方三角形”．
若一个三角形的三边长分别是，，，这个三角形是“三倍平方三角形”吗？请判断并说明理由．
若一个直角三角形是“三倍平方三角形”，且其中一条直角边长为，求该直角三角形的另外两条边长．
33.本小题分
综合与实践
如图，在菱形中，，对角线，的交点为，是对角线上一动点，点在的延长线上，且．
特例研究如图，当点与点重合时，探究线段与的大小关系，请你直接写出结论： 填“”“”或“”
类比探究如图，当为线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸如图，菱形的边长为，点与点重合．若，分别在射线，射线上，且，，请直接写出线段的长．
34.本小题分
我们定义：把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“亮点”，例如求一次函数的“亮点”，联立，得方程组，解得，则一次函数的“亮点”为．
求一次函数的“亮点”；
若一次函数的“亮点”为，求，的值．
35.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，点是直线上的一个动点，且点不与点重合，连接，设点的纵坐标为，的面积为．
求、的值；
点的坐标为 ；
求与之间的函数关系式；
当时，以点为直角顶点作等腰直角，直接写出点的坐标．
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