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河南信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2025-2026学年高一下学期6月测试（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．2 B． C． D．4
2．已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则a，b，c共面
C．若，则 D．若a，b异面，b，c异面，则a，c异面
3．已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．-
4．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知样本数据a，b，c的平均数为3，方差为2，则，，的平均数为（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
6．已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（）
A． B． C． D．
7．已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数的定义域为为偶函数且.若时，，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则|
C． D．
10．在中，角所对的边分别为，且，为的中点，则（ ）
A． B．的最大值为
C．的周长的取值范围是 D．的最大值为
11．已知函数，则（ ）
A．是周期函数
B．在区间上单调递减
C．的值域为
D．的图象关于直线对称，但不关于点对称
三、填空题
12．如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形的周长为______．
13．某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____．
14．如图，与存在对顶角，，且，若，则_________.
四、解答题
15．已知是平面内两个不共线的向量，若，，，且三点共线.
(1)求实数的值；
(2)若，.
（ⅰ）求；
（ⅱ）若，四边形构成平行四边形，求点的坐标.
16．内角，，的对边分别为，，，满足．
(1)求证：；
(2)当角取得最大值时，的面积为，求．
17．A校和B校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2000名A校学生和2000名B校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的满足函数关系（n为组数序号，）；关于B校学生成绩的频率分布直方图如下图所示（纵轴为），假定每组组内数据都是均匀分布的.

(1)求的值；
(2)若B校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？
(3)现在设置一个标准来判定某一学生是属于A校还是B校，将成绩小于的学生判为B校，大于的学生判为A校，将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率A，将B校学生误判为A校学生的概率称为误判率B，误判率A与误判率B之和称作总误判率，记为.若，求总误判率的最小值，以及此时的值.
18．某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的．
(1)求甲得10分的概率；
(2)求甲得3分的概率；
(3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率．
19．如图①，已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上，，，是上半圆上的动点（不包含，两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题：
(1)当平面时，求的值；
(2)若，，求与平面所成角的正弦值；
(3)若，平面平面，设与平面所成的角为，二面角的平面角为，求取得最大值时的值.
试卷第1页，共3页
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《河南信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2025-2026学年高一下学期6月测试（一）数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B B C B D BC ABD
题号 11
答案 ABD
12．
13．
14．
15．【详解】（1），
又，三点共线，设，
则，故，故；
（2）（ⅰ）由（1）可知，，
故，
又，，故；
（ⅱ）四边形构成平行四边形，故，
又，设，则，
故，所以，解得，
故点的坐标为
16．
【详解】（1）由，可得．
由正弦定理可得．
故．
由余弦定理可得．
化简得．
（2）因为角取得最大值，所以为锐角，，
因为，所以，所以，
所以，所以为锐角，
则，
当且仅当即时取等号．
此时最大，且．
所以．
解得．
17．【详解】（1）由频率之和为1，故之和为，
解得：.
（2）根据B校学生成绩的频率分布直方图，设所求的分数为，
则，解得，所以应该奖励72分以上的学生.
（3），则时，
，
时，
，
由的单调性知，当最小，此时，所以总误判率最小为，此时.
18．
【详解】（1）由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件，
由独立事件概率公式得甲得10分的概率为．
（2）甲得3分有两种情况：甲答对第1题和第2题，甲答对第3题．且两种情况互斥，
故甲得3分的概率为．
（3）若甲恰好答对2道题目答辩成功，则甲必定答对第3题和第4题．
甲答辩成功的概率为．
若甲恰好答对3道题目答辩成功，则甲答对第2题、第3题、第4题，
或者答对第1题、第3题、第4题，或者答对第1题、第2题、第4题．
甲答辩成功的概率为．
由（1）可知甲得10分的概率为，所以甲答辩成功的概率为．
19
【详解】（1）连接交于点M，连接，
因为，，所以，
则平面平面，
依题意，平面，平面，所以，
所以，等腰梯形中，，
所以；
（2）因为等腰梯形的外接圆圆心在底边上，所以，
所以，又因为，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
过作于，连接，所以平面，
则为与平面所成的角，
由（1）可得，
，，
因为，所以，
所以，所以，解得，
所以，
所以与平面所成角的正弦值；
（3）作于，连接，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以是在平面内的射影，
因为，所以，
所以即为与平面所成的角为，则，
过作，垂足为，连结，
又，，平面，所以平面，
又平面，.所以，
所以为二面角的平面角，
所以，所以，，
所以，
当且仅当时，取得最大值，即取的最大值，
所以取得最大值时.
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答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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