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湖南省吉首市第三中学2025-2026学年下学期4月月考九年级数学中考模拟试题
（考试时间：120分钟，满分120分）
注意事项：
答题前，将姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上，核对条形码信息；
选择题用2B铅笔填涂，修改时擦净痕迹；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写；
草稿纸、试题卷作答无效，答题卡不得折叠、涂改。
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分）
1．如果收入元记作元，那么支出元记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．深度求索（）公司独立开发的智能助手，理论上可支持每秒1万亿次以上的浮点运算，1万亿用科学记数法可表示为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图所示，该几何体的俯视图是 （ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．
C． D．
6．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．四个角都相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
7．如图，在中，，则的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．80°
8．一分钟仰卧起坐是监测学校体育与健康教育质量的一个项目．某校随机抽取了八年级10名女生的一分钟仰卧起坐测试数据进行统计，分别是40,38,32,34,40,38,45,50,40,45，那么这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A．40，38 B．40，39 C．38，40 D．40，40
9．如图，点D、E分别是，的中点，，则池塘的宽度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，且．那么点到y轴的距离是（　）
A．2 B．4 C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
11．______．
12．一个布袋里装有8个只有颜色不同的球，其中2个红球，6个白球．从布袋里任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为__________．
13．分式方程 的解为____．
14．等腰三角形的顶角为36°，它的底角为______．
15．关于x的方程有实数根，则a的取值范围是________．
16．已知反比例函数的图象与直线交于点，则这个反比例函数的解析式为______．
17．如图，在中，，，，角平分线与相交于点O，则点O到斜边的距离为______．
18．如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最大高度位置秋千底部所经过的路径长为__________米．（结果保留）
三、解答题（本大题共8个小题，19、20每题4分，21、22题每题6分，23题8分，24题10分，25题12分，26题16分，共66分）
19．（）计算：；
（）解方程：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．我校为了更好地开展学生体育活动，组织九年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理分为五组，下面给出了部分信息：
a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下
组别 成绩分 人数（频数）
b．组的数据：，，，，，，，，，，，，，，，
请根据以上信息完成下列问题：
(1)统计表中的___________，扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为___________度；
(2)抽取的九年级学生体育测试成绩的中位数为___________分；
(3)若该校九年级共有名学生参加了此次体育测试，请你估计该校九年级参加此次体育测试成绩达到分及以上的学生人数．
22．康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
(1)实践与操作

①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；
③顺次连结所得的四点得到四边形．
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______．
(2)猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．

23．拉布布（）盲盒凭萌趣设计火遍潮玩圈，是年轻人追捧的收藏新宠，稀缺隐藏款更是“一盒难求”．某商家借着这股潮玩热度，决定采购一批盲盒上架销售，采购时得知；购买2个隐藏款和5个普通款共需2300元；购买3个隐藏款和2个普通款共需2680元．
(1)请算出拉布布隐藏款和普通款的单价分别是多少？
(2)该商家计划总共购买60个盲盒（隐藏款+普通款），为吸引顾客，隐藏款的数量不少于普通款的．怎样采购才能让总费用最低？最低费用是多少元？
24．如图，是的直径，点C是上一点，平分交于点D，过点D作交的延长线于点E．
(1)求证：直线是的切线；
(2)延长与直线交于点F，若，，求的长．
25．某商店销售一种中性笔，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，这种中性笔的月销售量（支）是售价（元/支）的一次函数，其售价（元/支）、月销售量（支）、月销售利润（元）的部分对应值如下表．[注：月销售利润月销售量（售价进价）]
售价元/支） 30 32
月销售量（支） 200 180
月销售利润（元） 2000 2160
(1)中性笔的进价为________元，关于的函数关系式为________；
(2)商店销售这种中性笔月销售利润是否存在最大值，若存在，求出售价的值，若不存在，请说明理由；
(3)现商店决定每销售1支中性笔就捐赠元利润给“爱心助学”活动，要求在售价不超过37元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大，求的取值范围．
26．综合与实践
问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，是和的中点，将绕点顺时针旋转．
猜想证明：
(1)如图①，在旋转的过程中，当点，点在线段上，且点在的内部时，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；
(2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在边上时，连接，试说明（1）的结论是否依然成立，若成立请加以证明；若不成立请说明理由；
(3)如图③，若，，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点，，在同一直线上时，在，两点中的其中一点恰好是另一点与点构成的线段的中点，请直接写出此时的长．
湖南省吉首市第三中学2025-2026学年下学期4月月考九年级数学中考模拟试题
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B D B B D D A
11．20
12．/
13．
14．72°/72度
15．
16．
17．2
18．
19．解：（）原式；
（）∵，
∴，
∴或，
∴，．
20．解：
，
，
∴原式．
21．（1）解：据图表可知，组的人数为人，占比为，
可得参加测试的总人数为人，
则，
组的人数为人，
则组所对应扇形的圆心角．
（2）解：参加测试的总人数为，
中位数为个人的成绩从低到高排序后，第和第个学生成绩的平均数，
，，
第和第个学生成绩位于组，分别为组的第和第个数据，均为，
中位数为．
（3）解：据图表可知，体育测试成绩达到分及以上的学生人数为人，
所占比例为，
则九年级共有人成绩达到分及以上．
22．（1）解：由作图可得：，，
∴四边形是平行四边形，
该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
23．（1）解：拉布布隐藏款的单价为x元，普通款的单价为y元，
由题意可知
解得
∴拉布布隐藏款的单价为元，普通款的单价为元；
（2）设隐藏款的数量为a个，则普通款的数量为个
∵隐藏款的数量不少于普通款的，
∴
解得
∵总共购买60个百盒（隐藏款+普通款），
∴
∴
设总费用为w，
则
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w有最低费用，最低费用为（元）
即采购隐藏款10个，普通款50个总费用最低，最低费用是元．
24．解:（1）连接．

∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵．
∴，
∴，
∴．
又∵点D在上，
∴直线是的切线．
（2）连接交于点H，如图．
∵为直径，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴．
又∵=，
∴．
∵四边形为矩形，
∴，
∴．
∵四边形为矩形，
∴．
25．（1）解：设进价为元/支，
则由销售表可得，
解得；
设关于的函数关系式为，
将代入关系式可得，
解得，
则关于的函数关系式为；
故答案为：；
（2）解：存在，
由题意可得
，
，
二次函数图象开口向下，当时，函数值有最大值；
（3）解：要求在售价不超过37元，
，
新的销售利润
，
二次函数图象开口向下，对称轴为，
则当时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大，
，
解得，
的取值范围．
26．（1）解：，
理由：连接，
∵和均为等边三角形，是和的中点，
∴，，即，
∴点在同一直线上，
∴，
∴，
∴，
同理，，
；
（2）解：，
证明如下：连接，
∵均是等边三角形，
∴，
∵点O为的中点，
∴，
∴，
∵由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：情况一，
如图①，当点在同一直线上，连接，
∵点O为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点M为的中点，点O为中点，
∴，
∴，
即，
解得：；
情况二：∵为等边三角形，
∴，
∵点O为中点，，
∴，，
如图②，当点O为中点时，，
∵等边边长为，
∴在中，，
∴，
∵此时三点共线，
∴点B和点E重合，
又∵点M是直线与直线的交点，
∴三点重合，
∴此时的长为的长，
即，
综上所述，此时的长为或．

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