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2026年安徽省芜湖市鸠江区九年级下学期三月份学情自测数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分 ）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．云南年温差小，日温差大．某市初春上午温度上升记作，那么下午温度下降记作（ ）
A． B． C． D．
2．2025 年1 月 26 日消息，工信部今日发布 2024 年通信业统计公报．截至2024年12月底，中国基站总数达万个，用户达亿，中国预计将在2025年实现商用，将“亿”用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．为了解学生上学、放学途中的用时情况，合理安排学生进、离校时间，学校随机抽取了20名学生，收集了他们某一天上学、放学途中的用时(单位：分钟)数据．根据数据绘制的统计图如右图所示．
下面有四个推断：
①这20名学生上学途中用时均没有超过；
②这20名学生放学途中用时最短为；
③这20名学生放学途中用时在以内的人数超过一半；
④根据图中散点的分布情况，可以推断该校学生上学途中用时和放学途中用时比较接近．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知一次函数与（a，b为常数，且），在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
10．如图，O是坐标原点，，…，都是等腰直角三角形，它们的斜边均在x轴正半轴上，直角顶点，…，均在反比例函数（）的图像上，则点的横坐标为（ ）
A． B．+
C．2 D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11．若分式有意义，则a的取值范围是____________．
12．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是______．
13．如图，在中，，若，则 ___________．
14．如图，正方形的边长为4，点E在边上运动（不与点A、D重合），，点F在射线上，且，连接，交于点G，连接．下列结论：①；②；③的面积最大值是2；④若，则点G是线段的中点．其中正确结论的序号是________．
三.（本题共16分）
15．计算：．
16．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形向上平移个单位，再向右平移个单位，平移后得到三角形，其中图中直线上的点是点A的对应点．

(1)画出平移后得到的；
(2)在直线上存在一点，使，，，所围成的四边形的面积为6，请在直线上画出所有符合要求的格点．
四.（本题共16分）
17．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．
中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化，每年5月21日为国际茶日．某茶店5月份第一周绿茶、红茶的销售总额分别为1500元，900元，已知红茶每克售价是绿茶每克售价的1.2倍，红茶的销售量比绿茶的销售量少3000克．问绿茶、红茶每克的售价分别是多少元？
(1)设绿茶每克销售价格为x元，则用含x的式子把表格补充完整；
售价（元/克） 销售量（克） 销售总额（元）
绿茶 x 1500
红茶 900
(2)列出方程，完成本题解答．
18．（8分）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
N 奇数 4的倍数
表示结果 1＝12﹣02 3＝22﹣12 5＝32﹣22 7＝42﹣32 9＝52﹣42 … 4＝22﹣02 8＝32﹣12 12＝42﹣22 16＝52﹣32 20＝62﹣42 …
一般结论 2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2 4n＝　 　
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）24＝（ 　 　）2﹣（ 　 　）2；
（ⅱ）4n＝　 　；
（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n﹣2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设4n﹣2＝x2﹣y2，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数， 则x2﹣y2＝（2k）2﹣（2m）2＝4（k2﹣m2）为4的倍数． 而4n﹣2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设x＝2k+1，y＝2m+1，其中k，m均为自然数， 则x2﹣y2＝（2k+1）2﹣（2m+1）2＝　 　为4的倍数． 而4n﹣2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数． ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2﹣y2为奇数． 而4n﹣2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
五.（本题共20分）
19．如图，为外一点，过点作的切线，为切点，分别连接，AO并延长交于点、，若，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．在综合实践课上，兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表：
实践报告
活动课题 测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离
活动工具 测角仪、皮尺等
测量过程 【步骤一】如图，在湖岸上的凉亭处测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向；
【步骤二】从凉亭处沿湖岸向东方向走了100米到处，测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向（点A、B、C在同一平面上）；
解决问题 根据以上数据计算湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离（结果精确到1米）．
请你帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据：，）
六.（本题共12分）
21．某校课外兴趣小组在本校学生中开展“垃圾分类”知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A、B、C、D四类，其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，学生可根据自己的情况任选其中一类，学校根据调查情况进行了统计，并制成了不完整的条形统计图和扇形统计图：
(1)本次共调查了学生____人，被调查的学生中，类别为C的学生有____人；
(2)求类别为A的学生数；
(3)求扇形统计图中类别为D的学生数所对应的圆心角的度数；
(4)若该校有学生1500名，根据调查结果估计该校学生中对“垃圾分类”知识“非常了解”和“比较了解”的人数一共约为多少人？
七.（本题共12分）
22. 如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点．
（1）求证：；
（2）连接交于点H，连接，．
（ⅰ）如图2，若，求证：；
（ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值．
23．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，拋物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点位于线段上方，求面积的最大值；
(3)若图象的最大值与最小值的差为4，求的取值范围．
2026年安徽省芜湖市鸠江区九年级下学期三月份学情自测数学试卷答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A D C C C D B B
11．
12．1
13．
14．①③④
15．解：
．
16．（1）解：如图所示，即为所求：

（2）在点的两边分别取3个单位长度得到点D，点D即为所求．
17．解：（1）依题意，填表如下
售价（元/克） 销售量（克） 销售总额（元）
绿茶 x 1500
红茶 900
（2）设绿茶每克售价为x元，则红茶每克的售价为，依题意得：
，
解得；，
经检验，是分式方程的解；
故绿茶每克售价为0.25元，红茶每克售价为0.3元．
18.【小问1详解】
（）由规律可得，，故答案为：，；
（）由规律可得，，故答案为：；
【小问2详解】解：假设，其中均为自然数．
分下列三种情形分析：
若均为偶数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．
若均为奇数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．
若一个是奇数一个是偶数，则为奇数．
而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．
由可知，猜测正确．故答案为：．
19．（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
为的直径，
，
，
，
切于点，
，
，
，
，
在中，，，
，
解得：，
，
，
在中，，
，
解得：，
．
20．解：如图，过点作于点，
由题意得：，，
在中，，
，，
在中，，
，
，
米，
，
米，
答：湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离约为米．
21．解：（1）100÷50%＝200（人），
200×14%＝28（人），
故答案为：200，28；
（2）“A类”的人数为：200 100 28 12＝60（人）
（3），
答：扇形统计图中类别为D的学生数所对应的圆心角的度数是21.6°；
（4）（人），
答：该校有学生1500名学生中对“垃圾分类”知识“非常了解”和“比较了解”的人数一共约为1200人．
22．证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴，，∴，
又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴．
与中，∴．∴．
（2）（ⅰ）∵∴，又．，∴，∵，∴，
∴，∴
（ⅱ）∵是菱形，∴，又，，∴，
∴，∵．，∴，∴，即，
∴，∴，∵，，，∴，
∴，即，∴∴，
故．
23．（1）解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的解析式为，与轴交于点；
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
点位于线段上方，点的横坐标为，
，
过点作轴，交于点，
，
，
，
面积的最大值为；
（3）解：图象的最大值与最小值的差为4，
①当点在点上方时，
，且，
，
解得或0（舍去），
，
②当点在点下方时，
此时点在点左侧，不满足题意，
点在点右侧，
，
解得或（舍去），
综上所述，的取值范围是或．

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