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上海市南洋中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．异面直线所成的角的取值范围：___________．
2．用集合符号表述语句“平面经过直线”：________．
3．已知扇形半径 ，圆心角为，那么它的面积为________．
4．若，则________．
5．函数，的值域是________．
6．向量在向量上的投影向量的坐标为________．
7．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ， ，则原四边形中最长边的长度为________．
8．如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．

9．在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为____________.
10．已知平面向量，，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________．
11．把函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于点对称，则实数的最小值为___________.
12．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是___________．

二、单选题
13．已知函数 的最小正周期为 ，则实数的取值是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数，则函数的部分图象可以为（ ）
A．B．
C．D．
15．设，为不重合的平面，，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ）
①若，，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，，，则；
A．① B．①② C．①③ D．①④
16．在单位正方体中，点P在线段上，点Q线段上．①二面角的大小为定值；②长度的最小值为．对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
三、解答题
17．已知实系数一元二次方程有虚根，另一根为．
(1)求实数的值；
(2)求的值．
18．如图，在四面体中，，， 分别为 的中点
(1)求证：直线和为异面直线.
(2)求直线和所成角的大小.
19．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米．
(1)求线段的长度；
(2)若，求两条观光线路与之和的最大值．
20．已知，，记．
(1)求函数的解析式，并求在上的单调减区间；
(2)若，恰有2个零点，，求实数的取值范围和的值．
21．我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记为虚数单位.
(1)设，求复向量与的模；
(2)对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由.
(3)我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由；
试卷第1页，共3页
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《上海市南洋中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题》参考答案
题号 13 14 15 16
答案 B A A A
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．3
8．18
9．6
10．;
11．
12．
17．
【详解】（1）实系数一元二次方程有虚根，
代入可得，
化简得，
，解得.
（2），，
.
18．
【详解】（1）由平面，故平面，而平面，，
又平面，故平面，故直线和为异面直线；
（2）取中点，连接、，由于、分别为、的中点，
所以，且，
故直线和所成角，即或其补角，
因为，故，因为，故，故，
所以直线和所成角为.
19．
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
，得，
所以线段的长度为3千米．
（2）设，因为，
所以，在中，由正弦定理得，
，
所以，，
因此
因为，所以．
所以当，即时，取到最大值6．
所以两条观光线路与之和的最大值为6千米．
20．
【详解】（1）解：由向量，，
可得 ，
因为，可得，
令，解得，
所以函数在上的单调减区间.
（2）解：由，
因为，所以 ，
当时，即时，函数单调递增；
当 时，即时，函数单调递减，
且当时，可得，可得，
当时，可得，可得 ，
当 时，可得，可得 ，
因为在恰有2个零点，则 有两个根，
即有两个根，则 ，解得 ，
即实数的取值范围为 ，
由函数在恰有2个零点，即在的两个根，
令，可得 ，即在 的两个根，
又由 的图象关于直线对称，所以，即 ，
即 ，所以，所以.
21．
【详解】（1）因为，所以，
所以的模为；
因为，所以，
可得的模为；
（2）不存在
，
得，
若与平行，则，
得，
得，而，则此方程无实数根，
故不存在实数，使得与平行.
（3）因为，所以，
由复数的三角不等式，
由，得，所以，
所以，
综上所知，.
答案第1页，共2页
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