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江苏省天一中学宛山湖分校2025-2026学年高一下学期6月适应性考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ）
A． B．或 C．或 D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．有一组样本容量为10的样本数据为：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则该样本中（ ）
A．中位数与平均数的值不同 B．第70百分位数与众数的值不同
C．方差与极差的值相同 D．方差与标准差的值相同
5．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
7．已知三棱锥且平面，其外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，的面积为S，，，且满足，则该三角形的外接圆的半径R为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．已知为虚数单位，则（ ）
A．复数在复平面内对应的点位于第四象限
B．
C．
D．，则
10．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）
A．图（1）的平均数中位数众数
B．图（2）的平均数<众数<中位数
C．图（2）的众数中位数<平均数
D．图（3）的平均数中位数众数
11．如图，在棱长为的正方体中（ ）
A．与的夹角为
B．二面角的平面角的正切值为
C．与平面所成角的正切值为
D．点到平面的距离为
三、填空题
12．甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出的概率是______.
13．设向量，且，则m=_________.
14．如图，在棱长为6的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则过M，N，B三点的平面截此正方体所得截面的周长是______．
四、解答题
15．已知向量.
(1)若，求向量与的夹角；
(2)在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BC的中点，设，求的值.
16．某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

(1)求a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的60%分位数（分位数精确到0.1）；
(3)在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
18．如图，三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．
（I）证明：EF⊥DB；
（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．
19．某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
(1)求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；
(2)求经过3轮罚球后，比赛结束的概率；
(3)若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
试卷第1页，共3页
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《江苏省天一中学宛山湖分校2025-2026学年高一下学期6月适应性考试数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D B C A B ACD ACD
题号 11
答案 BCD
12． 13．-2 14．
15．（1）.（2）10
16．【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以；
（2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以第60百分位数在第三组，且为；
（3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有，
共有10种情况，
其中选出的两人来自不同组的有共4种情况，
故选出的两人来自不同组的概率为．
17．
【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
18．
【详解】（）[方法一]：几何证法
作交于，连接．
∵平面平面，而平面平面，平面，
∴平面，而平面，即有．
∵，
∴．
在中，，即有，∴．
由棱台的定义可知，，所以，，而，
∴平面，而平面，∴．
[方法二]【最优解】：空间向量坐标系方法
作交于O．
∵平面平面，而平面平面，平面，
∴平面，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示.
设OC=1,∵，，
∴,∴，
∴,,
,
∴BC⊥BD,又∵棱台中BC//EF,∴EF⊥BD；
[方法三]：三余弦定理法
∵平面ACFD平面ABC，∴,
∴，
又∵DC =2BC．
∴,即,
又∵，∴．
（II）[方法一]：几何法
因为，所以与平面所成角即为与平面所成角．
作于，连接，由（1）可知，平面，
因为所以平面平面，而平面平面，
平面，∴平面．
即在平面内的射影为，即为所求角．
在中，设，则，，
∴．
故与平面所成角的正弦值为．
[方法二]【最优解】：空间向量坐标系法
设平面BCD的法向量为,
由（）得,,
∴令,则,,,
，,
由于，∴直线与平面所成角的正弦值为．
[方法三]：空间向量法
以为基底,
不妨设，则
(由（）的结论可得）．
设平面的法向量为，
则由得取，得．
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角也为，
由公式得．
[方法四]：三余弦定理法
由，
可知H在平面的射影G在的角平分线上．
设直线与平面所成角为，则与平面所成角也为．
由由（）的结论可得，
由三余弦定理，得，
从而．
[方法五]：等体积法
设H到平面DBC的距离为h，
设,则,
设直线与平面所成角为，由已知得与平面所成角也为．
由，,
求得，所以．
19．
【详解】（1）设甲队球员罚进点球为事件，未罚进为事件，乙队球员罚进点球为事件，未罚进为事件.
因为，所以；同理，因为，所以.
则甲、乙均罚进的概率为，
甲、乙均未罚进的概率为，
所以甲、乙两队打成平局的概率为.
（2）设踢完轮后，甲队总得分为，乙队总得分为.
分类讨论：踢完3轮分差大于或等于3，且前1、2轮未提前结束，
①当3轮后甲队比乙队多3分，甲队3轮全进，乙队3轮全不进，即，则概率为：

②当3轮后乙队比甲队多3分，乙队3轮全进，甲队3轮全不进，即，则概率为：
综上，求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为.
（3）因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即四轮罚球结束时比分可能为或或，则需要分以下情况来讨论：
①比分为的概率为：
.
②比分为的概率为：
.
③比分为的概率为：
.
综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为.
答案第1页，共2页
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