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南开中学 2025-2026 学年度（下）初 2028 届期末
数学模拟一试题卷
（全卷共四个大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答．
2．考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卡．
一、选择题（本大题 12个小题，每小题 3分，共 36分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答．题．卡．中将正确答案所对应的方框涂
黑．
1．国产人工智能大模型 DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全
球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是
（ ▲ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ▲ ）
A． x3 x5 x15 B． a4 a2 a6
C (xy)6 xy xy5． D．（ m n)( m n) m2 n2
3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（ ▲ ）
A．3，4，7 B．6，8，15 C．5，12，13 D．5，5，11
4．下列事件中，属于必然事件的是（ ▲ ）
A. 买一张彩票中大奖 B. 云层又黑又低时会下雨
C. 软木塞浮在水面上 D. 有人把石头孵成了小鸡
5．世纪花园居民小区收取电费的标准是 0.6元/千瓦时，当用电量为 x（单位：千瓦时）时，收
取电费为 y（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是（ ▲ ）
A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量
B．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量
C．y是自变量，x是因变量
D．x是自变量，y是因变量，0.6元/千瓦时是常量
6．如图，小明站在堤岸的 A点处，正对他的 S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多
远，于是他沿堤岸走到电线杆 B旁，接着再往前走相同的距离，到达 C点．然后他向左直行，
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当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于 D点．那么 C，D两点间的距离就
是在A点处小明与游艇的距离．在这个问题中，可作为证明△SAB≌△DCB的依据的是（ ▲ ）
A．SAS或 SSS B．AAS或 SSS C．ASA或 AAS D．ASA或 SAS
6题图 7题图
7．按如图所示的运算程序，若输入 x 2， y 1，则输出结果为（ ▲ ）
A．1 B．4 C．5 D．9
8．小开家与学校相距 1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了 10
分钟，接着她加快步伐匀速行走，用 10分钟便到了学校．下列图象中表示小开行走的路程（米）
与时间（分钟）之间的关系的是（ ▲ ）
A． B． C． D．
9．下列说法中，正确的是（ ▲ ）
A．相等的角是对顶角 B．三角形的三条高交于一点
C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行
D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
10．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第 1个图形有 6个小圆，第 2个图形有 10
个小圆，第 3个图形有 16个小圆，第 4个图形有 24个小圆，…，依次规律，第 9个图形圆的
个数为（ ▲ ）
A．94 B．85 C．84 D．76
10题图 11题图
11．在 Rt ABC 中， ACB 90°，将三角形折叠，使得点 B与线段 BC延长线上的点 E重合，
折痕分别与 AB边交于点 D，与 BC边交于点 F，连接DE交 AC边于点G，若 AC 3CG且GE 1，
则 AB边的长度为（ ▲ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
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12. 已知 A x2 6x n2 ，B 2x2 4x 2n2 3 ，（其中 n为常数）下列结论正确的个数为 (▲ )
①若 A x2 6x n2 是完全平方式，则 n 3；
1 65
②若 n是 A B 0的一个解，则 4n2 ；
n2 9
③若 2023 A A 2020 0，则 2023 A 2 A 2020 2 4；
④当 2A B 5 2A B 19 取最小值时，则 x的取值范围是 2 x 1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共 10个小题，每小题 3分，共 30分）请将正确答案直接填写在答．题．卡．相
应的横线上．
13．随着世界科技的不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有
0.000000005米的晶体管，该数用科学计数法表示为 ▲ 米．
14．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极端温度环境，火星车使用的是新型隔热保
温材料——纳米气凝胶，该材料导热率 K(W/m.k)与温度 T（℃）的关系如下表：
温度 T（℃） 100 150 200 250 300 350 …
导热率K(W/m.k) 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 …
根据表格中两者的对应关系，若导热率为 0.5W/m.k，则温度为 ▲ ℃．
15．如图，是由 25个完全相同的小正方形地块组成的五彩花园，一只蜜蜂自由飞翔，则它落在
花园中阴影部分的概率是 ▲ ．
16．代数式 x2 4x 3的最小值为 ▲ ．
17．等腰 ABC中，已知一角等于 50°，求三角形的底角为 ▲ ．
18．两个直角三角板如图摆放，其中∠ABC=∠BDE=90°，∠A=45°，∠E=30°，若 C是 DE
上一点且 AC∥BD，则∠ABE的度数为 ▲ ．
15题图 18题图
19．如图，在 ABC 中，点 D为 BC中点，连接 AD．点 E为 AB上一点，连接CE 交 AD于 F ．若
CF 3EF ， S AEF 2，则 S ABC ▲ ．
20．如图，在等边三角形 ABC中，点 D，E分别在边 AC，BC上， AD CE，连接 BD，AE，
点 M，N分别在线段 BE，BD上，满足 BM BN，MN ME，若 DBC : BEN 8 : 7，则 AEN
的度数为 ▲ ．
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19题图 20题图 22题图
21.一个各位上的数字均不为 0的四位正整数，若千位上的数字与十位上的数字之比，等于百位
上的数字与个位上的数字之比，且比值m为正整数，则称这个四位数为“相似数”，比值m称为
6 2
这个四位数的“相似比”．例如 6231，因为 2，比值 2为正整数，所以 6231为“相似数”，
3 1
“相似比”为 2．已知 X，Y都是“相似数”，其中 X的个位数为 6，Y的个位数为 3，且 Y的相似
比为 2，若 X+Y能被 7整除，求出所有满足条件的 X和 Y一共有 ▲ 组．
22.如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是CB的延长线和 BA的延长线上的点， AE BD，
延长DA交CE于点 F ，G是 AD上一点，且CG CA，CG交 AB于点 H．下列结论：
① DFC 60 ；② DCG 2 ACE；③CF AF GF；④GH BD GD．
其中正确的是 ▲ .（填序号）
三、计算题：（本大题共 2个小题，共 28 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤，请将解答过程书写在答．题．卡．中对应的位置上．
2
23．（20 3分）计算：(1) (2.026 π)0+ 22 (2) m (2m)3 ( m)2 8m22
(3) 20262 2025×2027； (4) (a 3b+2c)(a+3b+2c)；
24．（8 2分）化简求值： 2x y x y
3
x y 2y2 2x ，其中 x 1， y ．2
四、解答题（本大题共 6 个小题，28-30 题每题 8分，31-32 题每题 10 分，33 题 12 分，共 56
分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答．题．卡．中对应的
位置上．
25．（8分）如图，在△ABC中， ABC 90 ．
(1)尺规作图：作 AC的垂直平分线交 AC于点 E，交 BC于点 D，连接 AD．（保留作图痕迹，不
写作法，不用下结论）；
1
(2)在（1）的条件下，若 AD平分 CAB，求证： AB AC．
2
证明：∵DE为 AC的垂直平分线，
∴DE⊥AC，
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又∵ ABC 90 ，
∴AB⊥BC，
又∵ AD平分 CAB，
∴ ① ，
在Rt△ABD与Rt△AED中
DE DB

AD AD
∴Rt△ABD≌Rt△AED （ ② ）
∴ ③ ．
又∵DE为 AC的垂直平分线，
∴ AE ④ ．
AB 1 AC ．
2
26．（8分）我市义务教育学校全面施行优化课间时长，上午、下午各安排一次 30分钟的大课
间体育活动．某学校编制《课间 10分快乐菜单》可供班级选择：A．踢足球，B．踢毽子，C．跳
绳，D．丢沙包，E．跳皮筋，学校就学生参加这五项课间活动的意向对学生进行了抽样调查（每
名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
(1)本次参与抽样调查的学生共有 ▲ 人；
(2)补全条形统计图；
(3)在最喜欢“跳绳”的学生中，有五位同学“表现优秀”，现从最喜欢“跳绳”的学生中选出
一名同学参加上级的跳绳比赛，被选取的一人恰好是“表现优秀”的概率是 ▲ .
(4)该校共有 1860名学生，请估计选择“踢毽子”的学生有多少人？
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27．（8 分）已知：如图， ABD CBE，AB=BD，BC BE，若 AD 2，DC 3，BC 4．
(1)证明：△ABC≌△DBE；
(2)求△DFC与△BFE的周长的和．
28．（10分）如图1，已知八边形 ABCDEFGH 相邻的两边互相垂直，且 AB AH，DC DE．动
点 P从八边形顶点 A出发，沿着八边形的边以每秒 a cm的速度逆时针运动，当 P运动到点 E时
2
调头，以原来的速度原路返回，到 A点处停止运动．△PAH的面积为 S cm ，运动时间为 t（秒），
S与 t的图象如图 2所示，请回答以下问题：
(1) AB ▲ cm，DE ▲ cm， a ▲ cm / s；
(2)当点 P第一次在边CD上运动时，求S与 t的关系式；
(3)点 P在返回过程中，△AHP面积为 30cm2时，直接写出时间 t的值．
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29．（10分） “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在“整式的乘除”这一章的学习过程中，我
们经常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．借助直观、形象的几何模型，加深
对乘法公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟代数与几何内在的统一性．材
料 1：如图 1，现有若干张 3种不同型号的卡片：边长为 a，b正方形卡片，长为 a，宽为 b的
长方形卡片；
材料 2：用材料 1中的卡片拼成图 2（卡片间不重叠无缝隙），可以用来验证我们学过的“和的完
全平方公式”： a b 2 a2 2ab b2．
2 2
验证如下：∴ S正方形ABCD 2S长方形EGKD S正方形AFGE S正方形GHCK 2ab a b ，
而 S 正方形ABCD a b
2
，
∴ a b 2 a2 2ab b2
(1)写出图 3中所验证的等式： ▲ ；
(2)请利用材料 1中的卡片，设计一个几何图形来计算 a b a 2b ，并写出计算过程；
(3)用（1）中的等式解决下面问题：如图 4，已知正方形 ABCD的边长为 a，M、F分别为 AD、
CD上的点，已知 AM=7，CF=5，长方形MNFD的面积为 15，分别以MN、MD为边作正方形，
求阴影部分面积．
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30．（10分）（1）如图 1，已知 ABC ，分别以 AB，AC为边作 ABD， ACE ，使得 AD AB，
AE AC ， BAD CAE 90°，连接 DE，取 DE的中点 P，连接 AP．
①若 BAC 30°， AB 4，AC 3，则△EAD的面积为 ▲ ；
②请写出 AP与 BC的关系，并说明理由；
(2)如图 2，已知锐角 ABC ，分别以 AB，BC，CA为边向外作 ABZ ， BCX ， CAY ，它们
6
均为等边三角形，连接 BY ，BY= ，点 P为 ABC 内的一动点，连接 PA，PB，PC，PX，PY，
7
PZ，当 PA PB PC 的值最小时，请直接写出 PX PY PZ 的值．
图 1 图 2
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