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江西省2026年初中学业水平考试数学试题
说明：1.本试题卷满分120分，考试时间为120分钟。
2.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效。
一、单项选择题 (本大题共6小题，每小题3分，共18分)
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置。错选、多选或未选均不得分。
1.下列图书馆标志不是轴对称图形的是
2.2025年是“十四五”规划收官之年，是中国式现代化进程中具有重要意义的一年.我国经济顶压前行、向新向优发展，民生保障更加有力，社会大局保持稳定，第二个百年奋斗目标新征程实现良好开局.经初步核算，2025年国民总收入为1393 700亿元.
1 393 700亿用科学记数法表示为
A. B. 1.3937×106
C. D.
3. 如图, 已知a∥b, ∠1＝40°, 则∠2的度数为
A. 40° B. 100°
C. 120° D. 140°
4.下列运算正确的是
A. m＋2m＝3m B.
C. D.
5.如图是2020—2024年全国城市声环境功能区昼间、夜间达标率统计图，则下列说法正确的是
A. 2024年夜间达标率较2020年提高了1.2%
B. 夜间达标率逐年上升
C. 2022年昼间达标率最高
D. 昼间达标率逐年上升
6.如图，观察函数. 的图象，可以发现方程. 在0,1之间有根.取0,1的平均数0.5,当x＝0.5时, y＜0,进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程. 另一根更接近的是
A. － 4.5 B. － 4
C. － 3.5 D. － 3
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7. 有理数－ 的倒数为 .
8.在平面直角坐标系中，将点(2，1)向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为
9.我国智能制造蓬勃发展，某工厂引进A，B两种型号智能机器来加工某种零件.已知A每小时比B多加工50个零件，A加工1640个零件所用时间与 B加工1230个零件所用时间相等，求A，B每小时各加工多少个零件.设B每小时加工x个零件，可列分式方程为 .
10.生活中的剪刀蕴含着数学知识.如图10－1是某剪刀，其结构主要包括剪刃、剪柄和指圈.当剪刀张角最大时，其理想化模型如图10－2，剪刃所在直线与指圈所在半圆相切.已知AC与BD相交于点O, CE为半圆的直径, OC＝9, CE＝6,则此时张角∠AOB的大小为 °.
11. 如图,在矩形ABCD中, AB＝3, BC＝4, E是边AD上的动点,连接BE,过点C作CF⊥BE 于点F.当△BFC面积最大时, DE 的长为 .
12. 如图,点P在直线y＝－x＋b(b＞0)上,过P作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A，B，矩形OAPB 的面积为1(O为坐标原点).若满足条件的点P有且仅有三个，则点P 的横坐标为 .
三、解答题 (本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13. (1) 计算:
(2)解不等式：
14. 如图, D, E分别在△ABC的边BA, CA的延长线上,DE ∥BC,
AD＝3, AB＝5, DE＝5, 求BC的长.
15. 先化简: 再从0，1，2中选择一个合适的数作为x代入求值.
16.如图，在8×4的正方形网格中，△ABC的顶点B，C均在格点上， MN 为△ABC的中位线.
(1)请仅用无刻度直尺作∠ABC的平分线，交MN 于点P；(保留作图痕迹)
(2)若网格中小正方形的边长为1，则(1)中BP的长为 .
17. 如图, AD为⊙O的直径, AD＝4, B, C是⊙O上的点，四边形OABC 为菱形.
(1)求 的长；
(2) 延长AD到点P, 使得DP＝2,求证：PC是⊙O的切线.
四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18.如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽(xùn)、坎、离、艮(gèn)、兑”八个卦象.每个卦象由三个爻(yáo)组成,其中“一”表示阳爻，“－－”表示阴爻.
(1)若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是 ；
(2)现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率.
19. 如图, 四边形ABCD是平行四边形, A(－2, m), B(2,0), C(0,－1), 点D在x轴上,反比例函数 的图象经过点A.
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) P为边BC上的一点，直线AP交双曲线另一支于点Q,当△ABP 的面积等于□ABCD的面积的 时，求点Q的坐标.
20.“以球之名，为城而战”，2025年江西省城市足球超级联赛于7月12日在南昌八一体育场拉开帷幕.赛事的成功举办极大激发了参赛球员和群众的城市归属感，推动了文旅等相关产业的发展.在常规赛阶段，分南北两个赛区，采取赛区内主客场双循环积分制(每两队之间进行两场比赛)，北区共20场比赛，南区共30场比赛.赛制规定：每队胜一场得x分，平一场得y分，负一场得0分.以下是常规赛结束时积分及进/失球个数部分数据.
积分表
北区 胜/平/负 积分 南区 胜/平/负 积分
九江队 4/3/1 15 宜春队 */*/* *
上饶队 */*/* * 赣州队 6/2/2 20
南昌队 3/*/2 m 抚州队 */*/* *
景德镇队 */*/* * 新余队 */*/* *
鹰潭队 */*/* * 萍乡队 */*/*
吉安队 */*/*
根据以上信息解答下列问题：
(1) x＝ , y＝ , m＝ ;
(2)分别求两个赛区平均每场比赛进球个数；
(3)现收集了7名球员每个人的进球个数(最多的进7个球)，甲乙两位同学对这组数据进行分析，得到如下结果：
甲：平均数为3，极差为4；乙：众数为2，平均数为4.
试分别判断甲乙两人的分析是否有一定的可信度，并说明理由.
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21. 如图,在△ABC中, AB＝AC, ∠BAC＝30°, 点P在BC的延长线上, 将AP绕点A按逆时针方向旋转30°得到AQ，连接CQ，PQ.
(1) 求证: BP＝CQ;
(2) 若 ,求BP的长.
22.为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表：
具体问题 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度
主要工具 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺
截面示意图
操作步骤 1.在水平地面上选定一个激光发射点A，使A位于土坑上底面直径DE所在的直线上； 2.操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； 3.调整反射镜与水平线的夹角θ，使得从A处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最右端F 处； 4.在线段AD上确定一点B，使得从B处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最左端G 处. (以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内)
测量数据 AB＝18m, DE＝12m, ∠CAB＝30°, ∠CBD＝60°, θ＝22.5°.
参考数据 sin75°≈0.966 , cos75°≈0.259 , tan75°≈3.732 , ≈1.732.
根据以上信息，完成下列任务.(结果精确到0.01m)
任务一：计算点C离水平地面的高度；
任务二: 计算∠GCF＝ °, ∠BCG＝ °;
任务三：计算土坑的深度.
六、解答题(本大题共12分)
23.如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”.
(1)试判断 与 是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由：
(2)如图1,若 与 互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为A , A ,记C , C 组成的图形为C.
① 试猜想a 与a 的数量关系，并证明；
② 进一步探究可知C为中心对称图形，请确定C的对称中心的位置；(直接写出结果)
③ 如图2,若 分别为 上的点，且四边形. 为正方形，求 的值.
江西省2026年初中学业水平考试
数学试题卷参考答案
一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1. B 2. C 3. D
4. A 5. B 6. B
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7. － 2 8. (－1,1) 9.
10. 150 11. 1 12. 1或 或
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13. 解: (1) 原式
＝1.
(2) 去分母: 3x－1＜2x,
移项： 3x－2x＜1,
合并同类项：x＜1.
14. 解: ∵DE∥BC, ∴∠B＝∠D, ∠C＝∠E, ∴△ABC∽△ADE,
＝x＋1.
∵x≠0且x≠±1, ∴将x＝2代入上式, 得原式＝2＋1＝3.
16. 解:(1) 作图如图所示.
17. 解: (1) 连接OB.
∵四边形OABC 为菱形, ∴OA＝AB, AB∥OC.
又∵OA＝OB, ∴△AOB 是等边三角形.
∴∠A＝60°, ∴∠AOC＝120°.
的长为
(2) 证明: 连接CD.
由(1) 可得∠COD＝60°,
∵OC＝OD, ∴△COD 是等边三角形,
∴CD＝OD＝2, ∠OCD＝∠ODC＝60°.
∵DP＝2, ∴DP＝CD, ∴∠DCP＝∠P＝30°.
∴∠OCP＝∠OCD＋∠DCP＝90°,
∴PC是⊙O的切线.
四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18. 解: (1)
(2) 记“乾、坤、震、巽”分别为a, b, c, D.
列表法：
树状图：
第一卦象
第二卦象
由表或树状图可得，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.
其中满足条件的结果有: (a,c), (a, d), (c, a), (c, d), (d, a), (d, c)共6种.
所以所求概率为
19. 解: (1) 如图, 过点A作AM⊥x轴于点M.
∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC, AD＝BC, ∴∠ADM＝∠CBO,
∴△ADM ≌△CBO(AAS).
∴AM＝CO＝1, ∴A(－2,1).
∴k＝(－2)×1＝－2,
∴反比例函数的表达式为
(2) ∵△ABP 的面积等于 ABCD的面积的 ∴P为BC的中点，∴P的坐标为
设直线AP 的表达式为y＝ ax＋b,则解得
∴直线AP 的表达式为 即直线AP经过坐标原点，由中心对称可得Q(2,－1).
20. 解: (1) 依题意得 解得
∵常规赛中，北区每队比赛的场次为8场，∴南昌队3胜3平2负，
∴m＝3×3＋3×1＋2×0＝12.
故x＝3, y＝1, m＝12.
(2) ∵各赛区总进球数与失球数相等, ∴北区总进球数为7＋4＋7＋10＋15＝43,
∵南区总进球数为116＋17＋8＋8＋15＋11＝75,
(3)甲的数据分析不可信，理由如下：∵至少有1个7，极差为4，∴最小数为3，则平均数大于3，与平均数为3相矛盾.
乙的数据分析有一定的可信度, 如①2,2, 2, 3, 5, 7, 7; ②2, 2, 2, 3, 6, 6,7;③2,2, 2, 4, 5, 6, 7; ④2, 2, 2, 2, 6, 7, 7; ⑤2, 2, 2, 4, 4, 7, 7.(只要列举其中一组数据说明即可)
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21. 解: (1) ∵AP绕点A按逆时针方向旋转30°得到AQ,
∴∠PAQ＝30°, AP＝AQ.
∵∠BAC＝30°, ∴∠BAP＝∠CAQ.
∵AB＝AC, ∴△ABP≌△ACQ (SAS),
∴BP＝CQ.
(2) 过点Q作QH⊥BC,交BC的延长线于点H.
∵AB＝AC, AP＝AQ, ∠BAC＝∠PAQ＝30°,
∴∠B＝∠ACB＝75°, ∠APQ＝∠AQP＝75°.
∵△ABP≌△ACQ, ∴∠ACQ＝∠B＝75°.
∵∠CAP＝15°,∴∠APB＝60°,
∴∠QCH＝30°, ∠QPH＝45°.
∴BP＝CQ＝2QH ＝4.
22. 解:(1) 如图,连接DE,过点C作CK⊥GF交GF于K, 交DE于H,则(
∵∠CAB＝30°, ∠CBD＝60°, ∴∠ACB＝30°,
∴BC＝AB＝18.
在Rt△CBH 中,
即点C离水平地面的高度约为15.59m.
(2) ∠GCF＝30°,
∠BCG＝15°.
(3) 在Rt△CBH中, ∵∠CBH＝60°, ∴∠BCH＝30°.
∴∠GCK＝∠BCH－∠BCG＝30°－15°＝15°, ∴∠CGK＝75°,
∴∠FCK ＝∠GCK＝15°, ∴△CGK≌△CFK (ASA), ∴GK＝FK＝6.
在Rt△CGK 中, CK＝GK·tan75°≈6×3.732＝22.392,
∴HK ＝CK－CH＝22.392－15.588＝6.804≈6.80,即土坑的深度约为6.80m.
六、解答题(本大题共12分)
23. 解: 与 互为“伴随对称抛物线”，理由如下：
的顶点为(2,0), 将x＝2代入 中，得 即 经过(2,0).
的顶点为(1,1), 将x＝1代入 中，得 即 经过(1,1).
证明如下：
两式相加得
②C的对称中心为线段A A 的中点.
如图, 设A A 与B B 相交于点P,
∵四边形A B A B 为正方形, ∴P为C的对称中心,
过点P作直线l⊥y轴，垂足为M ，过点B 作 垂足为N.
可证 得
设 则 即
又∵
∵点B 在C 上, 化简整理得
∴(h －2)(h －1)(h ＋1) ＝(h －2)(h 2－1)＝h 3－2h －h＋2＝4.

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