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【2026年人教版数学八下期末专题复习】
专题01：二次根式
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需依据同类二次根式的加减法则及二次根式的乘除法则逐一判断各选项．
【详解】解：A选项，，正确，
B选项，，不正确，
C选项，，不正确，
D选项，，不正确，
故选A．
2．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：选项A中，被开方数，满足定义，故A是二次根式；
选项B中，被开方数，二次根号下负数无意义，故B不是二次根式；
选项C中，，可得，二次根号下负数无意义，故C不是二次根式；
选项D中，是三次根式，不满足定义，故D不是二次根式．
3．在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（ ）
甲：原式；
乙：原式
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误
C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误
【答案】A
【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质．
利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可．
【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确；
∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确；
∴ 甲、乙两种方法均正确，
故选：A．
4．已知，则运算符号“”是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式的运算，掌握二次根式的加减乘除运算法则是解题的关键．先化简，再将选项中的运算符号依次代入计算，判断等式是否成立，进而确定运算符号“”．
【详解】解：先化简，依次代入计算：
选项：；
选项：；
选项：；
选项：，符合等式要求，
运算符号“”是，
故选：．
5．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．
把的值代入所给公式即可求解．
【详解】解：将代入公式得，
．
故选：B．
6．已知，则的值为（ ）
A．11 B． C．1或11 D．或1
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质及代数式求值，解题的关键是依据二次根式的性质正确确定的取值．
根据二次根式的性质即可得到结果．
【详解】解：， 根据二次根式性质
， 即或；
， 根据二次根式性质
；
当时，；
当时，．
的值为1或11，此结果对应选项．
故选：C．
7．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
【答案】D
【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴，
∴，
解得，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
8．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据二次根式有意义的条件判断x的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简即可得到结果．
【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0，
∴，
∴，
∴．
9．已知是整数，则自然数m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了求二次根式中的参数．
由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可．
【详解】设（为非负整数），
则，
即，
∵为自然数，
∴，
即，
完全平方数的可能值为，对应，
当时，（不在选项中）；
当时，（不在选项中）；
当时，（不在选项中）；
当时，（对应选项B）；
故选B．
10．已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（）
①若，则；
②若，时，则至少存在一组、满足条件，
③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】①若，整理得，，得到，结合推出，可判断①错误；若，，则，整理得，，得出可判断②错误；③计算，得出，由，均为正整数，推出，，可判断③错误．
【详解】解：①若，
则，
整理得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
若成立，
解得，与已知，均为正整数矛盾，
∴不正确，
∴①错误；
②若，，
则，
∴，
整理得，，
∴，
∵左边是正整数乘无理数（结果为无理数），右边是整数（有理数），不可能相等，
∴不存在满足条件的m，n，
∴②错误；
③，
∵均为正整数，且不是完全平方数，
比较等式两边的有理部分与无理部分可得．
两边平方得．
∵均为正整数，
∴．
∵为正整数，必为45的约数中的完全平方数，
∴，即，
此时，满足为正整数且不是完全平方数的条件．
∵，
∴，
∴，
∵，均为正整数，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴不存在正整数，，，使等式成立，
∴没有符合条件的A，B，
∴③错误．
综上可知，三个说法均错误．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________ ．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：根据题意得，
解得：．
12．已知：，则______．
【答案】9
【分析】化简，然后对比分析得，，代入计算即可．
【详解】解：∵
=
=
∴，
∴
故答案为：9
【点睛】本题考查二次根式的加减，根据知识点解题是重点．
13．边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为 _____．
【答案】/
【分析】此题考查了因式分解的应用，二次根式的化简运算，解题的关键是正确将因式分解．
根据长方形的面积和周长得出，，再利用因式分解将原式化为，再代入计算即可．
【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为，面积为，
∴，，
∴
．
故答案为：．
14．若，则“（ ）”内的最简二次根式是________．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘除运算，最简二次根式，用除以即可求解．
【详解】解：，
即“（ ）”内的最简二次根式是，
故答案为：．
15．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：________________．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．
根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ 。
原式 =
．
故答案为：．
16．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为______．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根的实际应用，二次根式的乘法．
先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，根据长方形的面积列式计算，即可得余下部分的面积．
【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和，
∴这两个小正方形的边长分别为，，
∴余下部分的面积为．
故答案为：．
17．若实数x、y同时满足，则的值为________．
【答案】/0.2
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可求出y的值，再计算即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
∴，
∴．
18．西汉末年刘歆在制定《三统历》时，使用了一种有趣的算法——“调日法”，它是中国古代独创的加权分数逼近法．某数学兴趣小组借助这一数值调整技巧，通过把一个无理数化成所有分子全是1的“简单连分数”形式，从而得到这个数的近似值．他们把这一类无理数写成“简单连分数”表达形式，如：
因此记为，其中[ ]中的“1”表示的整数部分，[ ]中的“”表示循环节是1，2并无限重复下去；类似地我们可以将的“简单连分数”表达形式记为，其中__________，将的“简单连分数”表达形式记为其中__________．
【答案】 2 90
【分析】根据题意，先明确记号中各部分的定义，第一个数为所求无理数的整数部分，再仿照题目给出的的变形过程归纳规律，计算得到结果．
【详解】解：对于因为，所以的整数部分，
∴仿照的变形过程：
；
因此，故；
对于因为，所以的整数部分，根据，的规律，可得循环节的第二个数为，因此．
三、解答题（本大题共7个小题，其19题6分，20—21题各8分，22—23题各10分，24—25题各12分，共计66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：
(1)，
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．先化简，再求值：
化简，其中
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简与求值和二次根式的运算，先根据分式的运算法则对原式进行化简，再把x的值代入化简后的算式计算即可．根据分式的运算法则对分式进行正确的化简是解题关键．
【详解】解：，
，
，
，
；
当时，原式．
21．若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”．
(1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ；
(2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
（1）由题意知，计算求解即可；
（2）由题意知，计算求解即可．
【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”，
，
；
（2）解：与是互为“相关代数式”，
，
整理得，，
是有理数，
，，
解得．
22．喜欢观察的小张同学发现座钟发出的嘀嗒声并不一定是每秒发出一次．他通过查询资料得到如下信息：座钟的摆针摆动一个来回的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），取，．假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，求该座钟在一分钟内大约发出多少次嘀嗒声？（结果取整数，参考数据：）
【答案】42次
【分析】本题考查了二次根式的应用，先理解题意，再代入数值到，求出，再结合一分钟，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，，取，
则，
∵一分钟，
∴，
即该座钟在一分钟内大约发出次嘀嗒声．
23．如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形．
(1)若，，．求乙容器的体积；
(2)若，，求甲盒子的侧面积
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式乘法运算的应用，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键．
（1）利用长方体的体积公式计算即可求解；
（2）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解．
【详解】（1）解：由题意得乙容器的体积；
（2）解：∵长方体体积相同，高相同，
∴甲、乙底面积相同．
∴，
∴，
∴甲盒子的侧面积为：．
24．学习完《二次根式》后，小慧在数学课外资源拓展活动中，她和启智小组的同学们遇到一道题：
已知，求的值．她是这样解答的：
解：∵
，，
请你根据小慧的解题过程，解决如下问题：
(1) ；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）仿照例题的化简解答即可．
（2）仿照例题的化简解答即可．
（3）先化简，得出，再利用代入计算，即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，
故
．
25．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；
(2)化简：；
(3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______．
【答案】(1)；
(2)
(3)，
【分析】本题考查了新定义问题，完全平方公式，二次根式的性质，解题的关键是理解“横负纵变点”的概念．
（1）根据“横负纵变点”的概念，求解即可；
（2）将转化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质求解即可；
（3）根据完全平方公式以及二次根式的性质求得，再根据“横负纵变点”的概念，求解即可．
【详解】（1）解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为；
由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为；
（2）解：，
∴；
（3）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴点M的“横负纵变点”为．
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【2026年人教版数学八下期末专题复习】
专题01：二次根式
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（ ）
甲：原式；
乙：原式
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误
C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误
4．已知，则运算符号“”是（ ）
A． B． C． D．
5．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A．11 B． C．1或11 D．或1
7．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
8．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．已知是整数，则自然数m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（）
①若，则；
②若，时，则至少存在一组、满足条件，
③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________ ．
12．已知：，则______．
13．边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为 _____．
14．若，则“（ ）”内的最简二次根式是________．
15．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：________________．
16．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为______．
17．若实数x、y同时满足，则的值为________．
18．西汉末年刘歆在制定《三统历》时，使用了一种有趣的算法——“调日法”，它是中国古代独创的加权分数逼近法．某数学兴趣小组借助这一数值调整技巧，通过把一个无理数化成所有分子全是1的“简单连分数”形式，从而得到这个数的近似值．他们把这一类无理数写成“简单连分数”表达形式，如：
因此记为，其中[ ]中的“1”表示的整数部分，[ ]中的“”表示循环节是1，2并无限重复下去；类似地我们可以将的“简单连分数”表达形式记为，其中__________，将的“简单连分数”表达形式记为其中__________．
三、解答题（本大题共7个小题，其19题6分，20—21题各8分，22—23题各10分，24—25题各12分，共计66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：
(1)，
(2)
20．先化简，再求值：化简，其中
21．若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”．
(1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ；
(2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值．
22．喜欢观察的小张同学发现座钟发出的嘀嗒声并不一定是每秒发出一次．他通过查询资料得到如下信息：座钟的摆针摆动一个来回的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），取，．假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，求该座钟在一分钟内大约发出多少次嘀嗒声？（结果取整数，参考数据：）
23．如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形．
(1)若，，．求乙容器的体积；
(2)若，，求甲盒子的侧面积
24．学习完《二次根式》后，小慧在数学课外资源拓展活动中，她和启智小组的同学们遇到一道题：
已知，求的值．她是这样解答的：
解：∵
，，
请你根据小慧的解题过程，解决如下问题：
(1) ；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
25．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；
(2)化简：；
(3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______．
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