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【2026年人教版数学八下期末专题复习】
专题03：四边形
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的4倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如图，在中，点D，E分别在，边上，且．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
4．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列条件正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，已知，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下面四个命题；
①相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形
②对角线相等的四边形是矩形
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
④对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．①③
7．如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，若，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．如图，在平行四边形中，E、F分别为边、的中点，O为的中点，过点O的直线分别交边、于点G、H，连接、、、．下列结论正确的是（ ）
A．的大小是的一半；
B．边的长度是边的一半；
C．四边形的面积是四边形面积的一半；
D．四边形的周长是四边形周长的一半．
9．如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．正方形中，将沿折叠，使得点B在上为点F，折痕为，连接、，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）四边形为菱形；（5）若，则正方形的面积为．其中正确的结论是（ ）
A．（1）（4） B．（1）（2）（5） C．（1）（3）（4） D．（1）（4）（5）
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知，如图在四边形中，，则添加一个_____________条件（只需填写一种）可以使得四边形为平行四边形．
12．已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为______．
13．彤彤用刻度尺（单位：）对直角三角形的尺寸进行测量．如图，点，对应的刻度分别为1，5，点，分别为边，的中点，点为的中点，则的长为_____．
14．如图，以正六边形一边为边向外作正方形，连接．则____________．
15．如图，点E是矩形内一点，连接、，．若，则的度数为________．
16．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________．
17．如图，已知矩形纸片，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为______．
18．如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为_____．
三、解答题（本大题共7个小题，其19题6分，20—21题各8分，22—23题各10分，24—25题各12分，共计66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．若一个凸多边形的内角和的比一个七边形的外角和多，求多边形的边数．
20．如图，菱形的对角线交于点O，延长至点F、E，连接 ．求证：．
21．如图，在四边形中，，点在边上，．求证：四边形是平行四边形．
22．如图，在中，对角线与相交于点，．
(1)求的度数；
(2)若，则的长为__________．
23．小丽与小明一起研究一个尺规作图问题：
已知在平行四边形中，以为一边，用直尺和尺规作一个菱形，其中点、分别在边，上．
小丽：如图1，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则四边形是菱形．
小明：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则四边形是菱形．
小丽：小明，你的作法有问题．
小明：哦……我明白了！
(1)给出小丽作法中四边形是菱形的证明；
(2)指出小明作法中存在的问题．
24．【问题背景】如图，正方形的边长为10，，分别为边，上的点．
(1)【问题发现】如图1，若，则与的数量关系为__________．
(2)【问题探究】如图2，在（1）的条件下，若是的中点，连接，求证：．
(3)【问题拓展】如图3，若，，点在边上，且满足，请直接写出的长．
25．按要求解答问题：
(1)如图1，在 中，，垂足为，点为边的中点，连接，．求证： ．
(2)如图2，在 中，点为边的中点，连接，将 沿折叠，点 落在 内处，连接并延长交 于点 ．求证： ．
(3)如图3，将 沿过点的直线折叠，点的对应点为，使于点，折痕交边于点，交边于点，若 ，， ，求四边形 的面积．
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【2026年人教版数学八下期末专题复习】
专题03：四边形
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由勾股定理可求，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可．
【详解】解：在中，，，，
，
是斜边的中点，
．
2．一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的4倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】利用内角和相邻外角互补的关系求出外角度数，再根据多边形外角和为计算边数．
【详解】解：设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为，
∵内角与相邻外角互补，
∴，
解得，
∵任意多边形的外角和为，
∴这个多边形的边数为．
3．如图，在中，点D，E分别在，边上，且．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】通过作构造平行四边形，得，结合已知得，再证，从而，即．
【详解】如图，过点作交延长线于，
，，
在上，即
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
．
4．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列条件正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定逐项判断即可．
【详解】解：由题意已有，还差或；
A、，一边平行，另一边相等，不能判定四边形是平行四边形；
B、，不能判定四边形是平行四边形；
C、由可得，不能判定四边形是平行四边形；
D、，则，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形．
5．如图，已知，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据多边形的外角和为，结合已知条件进行计算即可．
【详解】解：多边形的外角和等于
6．下面四个命题；
①相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形
②对角线相等的四边形是矩形
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
④对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．①③
【答案】A
【分析】①利用同旁内角互补，两直线平行，即可证得此四边形的两组对边分别平行，得平行四边形；②、③举反例等腰梯形，即可判断；④根据平行四边形与菱形的判定即可证得．
【详解】解：如图所示：
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
即相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形，
故①是符合题意的；
对角线相等的四边形不一定是矩形，也可能是等腰梯形，
故②是不符合题意的；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形；
故③是不符合题意的；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
故④是符合题意的；
7．如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，若，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【分析】由正方形和翻折的性质可知， ，，可解得，而，解得，即可求出的度数．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
由翻折的性质得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
8．如图，在平行四边形中，E、F分别为边、的中点，O为的中点，过点O的直线分别交边、于点G、H，连接、、、．下列结论正确的是（ ）
A．的大小是的一半；
B．边的长度是边的一半；
C．四边形的面积是四边形面积的一半；
D．四边形的周长是四边形周长的一半．
【答案】C
【分析】由题意易得四边形都为平行四边形，四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可进行排除选项．
【详解】解：由题意可得如图所示：
∵四边形是平行四边形，O为的中点，
∴，
∵E、F分别为边、的中点，
∴，
∴四边形都为平行四边形，
∵O为的中点，
∴，
∵过点O的直线分别交边、于点G、H，
∴根据平行四边形是中心对称图形可知：，
∵，
∴四边形是平行四边形，
对于A、B选项，随着直线的位置变化，平行四边形的形状也会随之改变，进而可知：的大小不一定是的一半，边的长度不一定是边的一半，故错误；
对于C选项：∵，
∴，
∵，
∴，故该选项正确；
根据三角形三边关系可知：，
∴，
即，
∴四边形的周长不一定是四边形周长的一半，故该选项错误．
9．如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据作图痕迹判断平分，结合平行四边形性质证得，从而求出和的长；然后在中利用勾股定理求出的长；最后利用平行线的性质证得，在中利用勾股定理求出的长．
【详解】解：由作图可知，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
即，
在中，．
10．正方形中，将沿折叠，使得点B在上为点F，折痕为，连接、，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）四边形为菱形；（5）若，则正方形的面积为．其中正确的结论是（ ）
A．（1）（4） B．（1）（2）（5） C．（1）（3）（4） D．（1）（4）（5）
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质，根据正方形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得：，故（）正确；
由折叠的性质可得：，，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，故（）错误；
∵平分，
∴点到的距离相等，
设点到的距离为，
∴，，
∵，
∴，故（）错误；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故（）正确；
∴与平行，
∴，
∵正方形中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，故（）正确．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知，如图在四边形中，，则添加一个_____________条件（只需填写一种）可以使得四边形为平行四边形．
【答案】（答案不唯一）
【分析】平行四边形一般有五种判定方法，①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；本题根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解．
【详解】解：添加 ，
∵四边形中，，
∴四边形为平行四边形．
添加，
∵四边形中，，
∴四边形为平行四边形．
12．已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为______．
【答案】
【分析】根据多边形内角和公式列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
根据多边形内角和公式，可得方程，
解方程得 ．
13．彤彤用刻度尺（单位：）对直角三角形的尺寸进行测量．如图，点，对应的刻度分别为1，5，点，分别为边，的中点，点为的中点，则的长为_____．
【答案】1
【分析】根据题意得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长为．
【详解】解：∵点，对应的刻度分别为1，5，
．
∵点，分别为边，的中点，
∴．
∵，点为的中点，
．
14．如图，以正六边形一边为边向外作正方形，连接．则____________．
【答案】/150度
【分析】根据正多边形的性质求出，，然后求解即可．
【详解】解：∵六边形为正六边形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴．
15．如图，点E是矩形内一点，连接、，．若，则的度数为________．
【答案】40
【分析】先根据矩形性质得到，，再根据等边对等角和三角形的内角和定理得到，，然后进行角度运算可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
16．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________．
【答案】
【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分及四边相等，从而求出和的长，在中利用勾股定理求出的长，最后利用等面积法求出的长即可．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，解得：．
17．如图，已知矩形纸片，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为______．
【答案】或3
【分析】分两种情况进行讨论：当时，当，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，
当时，如图所示：
∵，
∴点在上，
根据折叠可知：，，
设，则，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得，即；
当，如图所示：
根据折叠可知：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上，或3．
18．如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为_____．
【答案】
【分析】先根据作图判断平分，再结合平行四边形的性质证明，轴，进而设，结合勾股定理，利用建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：根据作图可知：平分，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵的顶点，点在轴的正半轴上，
∴轴，即轴，
∵，
∴设，
∴，，
∵，
∴，解得
∴．
三、解答题（本大题共7个小题，其19题6分，20—21题各8分，22—23题各10分，24—25题各12分，共计66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．若一个凸多边形的内角和的比一个七边形的外角和多，求多边形的边数．
【答案】
【分析】设多边形有条边，由题意，可得，解一元一次方程即可得出答案．
【详解】解：设多边形有条边，
根据题意，得，
解得：．
答：多边形的边数为．
20．如图，菱形的对角线交于点O，延长至点F、E，连接 ．求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合菱形的性质，等边对等角，得，整理得，又因为，得，故，即可作答．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
21．如图，在四边形中，，点在边上，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：，
∴．
，
∴四边形是平行四边形．
【分析】根据平行线的判定得出，再由平行四边形的判定证明即可．
【详解】略
22．如图，在中，对角线与相交于点，．
(1)求的度数；
(2)若，则的长为__________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，然后根据等边对等角和三角形内角和可求得，即可解答；
（2）根据平行四边形的对角线相互平分可求得，进而求出，由（1）可知，勾股定理求出，进而求出的长.
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形
，
，
，，
，
，
；
（2）解：∵四边形是平行四边形，对角线与交于点O，
，
，
，
由（1）知，
∴，
∴.
23．小丽与小明一起研究一个尺规作图问题：
已知在平行四边形中，以为一边，用直尺和尺规作一个菱形，其中点、分别在边，上．
小丽：如图1，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则四边形是菱形．
小明：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则四边形是菱形．
小丽：小明，你的作法有问题．
小明：哦……我明白了！
(1)给出小丽作法中四边形是菱形的证明；
(2)指出小明作法中存在的问题．
【答案】(1)由作图可知，，
，

四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形．
(2)小明的作法中以点为圆心，长为半径所作的弧与可能有两个交点，其中一个交点与点连线不与平行，即如下图形：
【分析】（1）根据作图得出，根据平行四边形的性质可得，即可得出四边形为平行四边形，进而根据邻边相等，即可判断为菱形；
（2）根据小明的作法：以点为圆心，长为半径所作的弧与可能有两个交点，其中一个交点与点连线不与平行．
【详解】（1）略
（2）略
24．【问题背景】如图，正方形的边长为10，，分别为边，上的点．
(1)【问题发现】如图1，若，则与的数量关系为__________．
(2)【问题探究】如图2，在（1）的条件下，若是的中点，连接，求证：．
(3)【问题拓展】如图3，若，，点在边上，且满足，请直接写出的长．
【答案】(1)（或相等）
(2)证明：如图1，延长，，交于点．
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
∴点是线段的中点，
又，
．
(3)的长为8或2
【分析】（1）由正方形的性质易得，则有；
（2），延长，，交于点．由正方形的性质可证明，再证明，则可得点是线段的中点，进而可证明结论成立；
（3）分两种情况：当点靠近点时；当点靠近点时，利用平行四边形的判定与性质及全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴（或相等）．
（2）证明：略；
（3）解：的长为8或2．
①如图2，当点靠近点时，过点作，交于点．
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
．
，，，
，
，
，
；
②如图3，当点靠近点时，过点作．同理，可得．
综上所述，的长为8或2．
25．按要求解答问题：
(1)如图1，在 中，，垂足为，点为边的中点，连接，．求证： ．
(2)如图2，在 中，点为边的中点，连接，将 沿折叠，点 落在 内处，连接并延长交 于点 ．求证： ．
(3)如图3，将 沿过点的直线折叠，点的对应点为，使于点，折痕交边于点，交边于点，若 ，， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)证明：延长 交于点，如图，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴ ，
∵点为边的中点，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴点F为的中点，
∵，
∴ ，
∴ ，
则 ；
(2)证明：由题意得，，，
∵点为边的中点，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
则 ；
(3)四边形 的面积为
【分析】（1）延长 交于点，根据平行四边形的性质得 ，则 ，即可证明 ，有 ，结合直角三角形的性质即可证明；
（2）由折叠得，，则有，，即可得到，进一步证明四边形 为平行四边形，则 ，即可证明 ；
（3）过点M作 交于点Q，则 ，根据面积公式求得 ，利用勾股定理求得，由折叠得，，，可得，利用面积差即可求得答案．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：过点M作 交于点Q，如图，

∵于点，
∴ ，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为20，， ，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
由折叠得，，，，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，整理得，
解得，
那么，
．
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